陶哲軒：做數學一定要是天才嗎？_風聞
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——陶哲軒
翻譯 | 戴童
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數學不僅僅是成績、考試和技巧
掌握了數字後，你就不再只是讀數字了，這就像讀書時讀到單詞一樣，你將讀出數字的含義。
——哈羅德·傑寧，《管理》
本科生在學習數學時，通常非常看重成績，而考試通常注重對技術和理論的記憶。學生不一定真正理解了概念，而考試對智力或直覺的要求也不太高。這其實無可厚非：在真正掌握數學之前，一個人必須練習一定量的理論和技巧，就像在能彈奏好一樣樂器之前，你也需要大量練習一樣。如此一來，你有多少與生俱來的數學天賦和直覺貌似並不重要，如果無法計算多維積分、使用矩陣方程、理解抽象定義或用歸納法正確地證明，那麼你就不太可能玩得轉高等數學。
然而，等過渡到研究生階段時，你會發現數學的學習水平變得更高——更重要的是，你要真正開始“做數學”了。這需要你擁有更多的智力，僅依靠記憶和學習，或者複製現有論點或案例的能力，恐怕就不夠了。通常，一個人得放棄或至少改一改自己在本科階段的學習習慣。比起專注於考試成績等人為標準，你更需要自我推動式的學習方法和實驗經歷，來加深自己對數學的理解。
值得注意的是，在個人學習中，即使是你給自己定下的衡量標準（比如記住定理和證明的數量或在資格考試中的解題速度）也不應該被過分強調，甚至因此犧牲實實在在掌握基礎數學的機會，否則你會成為古德哈特定律（當一項措施變成了目標，它就不再是一個好措施了。）的犧牲品。這些標準只能用來粗略評估你對某個主題的理解程度，不應成為一個人學習的主要目標。
本科及以下學習階段，數學課主要教授高度發達的、完善的數學理論，這些理論大多在幾十年甚至幾個世紀前就被制定了；而在研究生階段，你將開始接觸尖端的、“活生生”的東西，這些東西可能與你在本科階段所熟知的內容大不相同（但更有趣）！然而，你也不能跳過本科階段——在嘗試飛行之前，你必須先學會走路。
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數學不僅是嚴格和證明
每個銀河系文明的歷史大多會經歷三個不同但可識別的階段，即生存階段、探索階段和成熟階段，也稱為“怎麼辦”“為什麼”和“在哪裏”階段。例如，第一階段的特點是“我們怎麼找東西吃？”，第二階段的特點是“我們為什麼吃東西？”，第三階段的特點是“我們應該在哪裏吃午飯？”。
——道格拉斯·亞當斯，《銀河系漫遊指南》
數學教育大致也可以分為三個階段。
1.“不嚴格”階段。在這個階段，數學以非正式的、直觀的方式出現，教學大多基於舉例、模糊的概念和比比劃劃。例如，老師在講微積分的時候通常會引入斜率、面積、變化率等概念。這個階段的教學重點更多會放在計算上，而不是理論上。這個階段一般要持續到本科的早期。
2.“嚴格”階段。在這個階段，學生會被教導要“正確”地做數學，必須以更精確和正式的方式工作和思考，比如用ε和δ重新做微積分。這一階段的學習重點主要放在了理論上。人們希望能順暢地使用抽象的數學對象，而不必過多關注這些對象的實際意義 。這個階段通常是本科後期和研究生早期。
3.“後嚴格”階段。在這個階段，學生應當適應了自己所選研究領域的一切嚴格基礎，準備重新審視和完善自己之前在本領域中初步形成的“不嚴格”的直覺。但這次，直覺得到了嚴格理論的堅定支撐。比如在這時，學生能通過與標量微積分的類比，或通過非正式、半嚴格地使用無窮小量、大 O 符號等，在矢量微積分中快速、準確地計算，並能在必要時，將所有此類計算轉化為嚴格的論證。這一階段學習強調的是應用、直覺和“大局觀”，研究生後期及以後的學習階段皆是如此。
眾所周知，從第一階段過渡到第二階段是相當痛苦的，可怕的“證明問題”是許多數學本科生的噩夢。但從第二階段過渡到第三階段同樣重要，不該被忽視。
當然，知道如何嚴格思考至關重要，因為這能讓你避免許多常見錯誤，消除諸多誤解。但遺憾的是，這也會引發一個意想不到的後果：“模糊”或“直觀”的思維（如啓發式推理、從例子中合理推斷，或在與物理學等其他領域做比較時）會被鄙視為“不嚴謹”。很多時候，學生最終會摒棄自己最初的直覺，只能在形式層面上做數學，結果在數學學習的第二階段就停滯不前了。除此之外，這還會影響一個人閲讀數學論文的能力。在論文中遇到哪怕是一個小小的打字錯誤或歧義時，僵硬的思維方式也會導致“編譯錯誤”——像計算機無法理解和執行代碼一樣被卡住。
嚴格，不是為了摧毀一切直覺，它應該被用來摧毀“錯誤”的直覺，同時澄清和優化“正確”的直覺。只有把嚴格的形式和正確的直覺結合在一起，我們才能解決複雜的數學問題：前者用於正確處理細微之處，後者用於正確把握大局；缺少任何一個，你都將在黑暗中摸索很久（就算你的想法可能具有啓發性，但效率極低）。因此，一旦完全適應了嚴格的數學思維，你就該重新審視自己的直覺，並用新的思維能力來測試和完善這些直覺，而不是急着摒棄它們。想做到這一點，一個辦法是問自己一些愚蠢的問題；另一個辦法是反覆學習自己的領域。
數學家想達到的理想狀態是，每一個啓發式論證都能自然地引出與其對應的嚴格論證，反之亦然。如此一來，你就能同時運用大腦的左、右兩半來解決數學問題，也就是用你在現實生活中慣用的解決問題的方式來解決數學問題。
值得一提的是，處於上述三個教育階段的“數學家們”在數學寫作中仍可能犯形式錯誤。而這些錯誤的性質也往往因寫作者所處不同階段而有所不同。
處於第一階段的“數學家”經常犯形式錯誤，因為他們無法理解嚴格的數學形式在實際中是如何運作的，只會盲目地應用形式化規則或啓發式方法。即使有人明確指出了這些錯誤，他們往往也很難理解和糾正。
處於第二階段的“數學家”也可能犯形式錯誤，因為他們對形式化的理解尚未完善，或者，他們無法用足夠合理的檢查來與直覺或其他經驗法則進行對照，從而捕捉符號錯誤等問題，或無法正確驗證工具中的關鍵假設。然而，一旦這些錯誤被指出，他們通常可以進行檢驗（也可以修復）。
處於第三階段的“數學家”也不是完美的，他們在寫作中還可能犯形式錯誤，但這往往是因為他們不再需要形式化來進行高水平的數學推理，而主要依靠直覺，然後將這種直覺（可能不正確地）轉化為形式化的數學語言。
這三種錯誤的區別可能導致一種現象（處於較早學習階段的讀者們往往為此感到十分困惑）：“後嚴格”階段的數學家的論證也會出現許多打字錯誤或其他形式錯誤，但整體上，論證相當合理。局部錯誤在傳播一段時間後會被其他局部錯誤抵消。相反，一旦“不嚴格”或“嚴格”階段的“數學家”的論證中引入了一個錯誤，在沒有被堅實的直覺檢驗的情況下，這個錯誤可能會被“瘋傳”，直到論證結束時，留下一個毫無意義的結論。
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問自己一些愚蠢的問題，並作答
不要只是閲讀，要與它鬥爭！提出自己的問題，尋找自己的例子，發現自己的證明。假設有必要嗎？反之亦然嗎？在經典的特例中會發生什麼？退化的情況呢？證明在哪裏使用了假設？
——保羅·哈爾莫斯，《我想做數學家》
在學習數學時，無論是閲讀書本還是聆聽講座，你通常只看到了最終產品——對一個數學主題精緻、聰慧而優雅的介紹。
然而你會發現，探究“新”數學的過程要混亂得多，一路上都在追求天真、徒勞、無趣的目標。
雖然人們很容易忽視這些“失敗”的探究路線，但實際上，這些對於我們深入理解一個主題是必不可少的，通過排除法，我們終將把注意力集中在正確的前路上。
因此，你應該毫不畏懼地提出“愚蠢”的問題，挑戰某主題相關的“傳統智慧”。這些愚蠢的問題偶爾會引出一個令人驚訝的結論，但更多時候，它們會簡單地告訴你：為什麼會存在“傳統智慧”？——這是非常值得了解的故事。
例如，針對某主題下的一個標準引理，你不妨想一想：如果去掉一個假設條件會發生什麼？或者，強化其結論會如何？如果一個簡單結果通常用方法X來證明，你可以探究一下，可否通過方法Y來證明。而新的證的明可能還不如原來的證明優雅，或者新證明根本行不通——無論是哪種情況，都有助於闡明方法X相對於方法Y的優勢，這在證明非標準引理時可能會派上用場。
在聽講座時，提出“愚蠢”但具建設性的問題，會澄清講座中的某些基本問題——這是完全被接受的行為。例如，論證中的陳述X是否暗示了陳述Y（或相反）？演講者引入的術語是否與大家已知的類似術語有關？等等。如果不積極提問，你可能會在講座中感到困惑。而且演講者通常很欣賞這種反饋——這表明至少有一名聽眾在認真聽講啊！演講者一般會抓住這個機會，向你和其他聽眾做出更好的解釋。然而，那些不能立即昇華講座內容的問題，最好還是等講座結束後再提出。
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反覆學習自己的領域
即便是相當優秀的學生，在找到問題的解決方案並整齊地寫下論證過程後，也會合上書本去尋找其他事做。這樣一來，他們會錯過工作中一個重要而具啓發性的階段。……一位好老師應該理解並讓學生深刻認識到，沒有任何問題會被完全榨乾。
老師的首要職責之一就是不要讓學生們覺得數學問題之間是彼此孤立的，或與其他事物更是毫無關聯的。當我們回顧問題的解決過程時，就會得到一個天然的機會去探究問題之間的聯繫。
——喬治·波利亞，《怎樣解題》
在數學中，學習永遠不會真正停止，即使在你所選的領域內也是如此。比如，我在寫完關於基礎調和分析的論文十多年後，仍在不斷學習這一領域中令人驚訝的新知識。
即便知道基本引理X的陳述和證明，也不應想當然地接受這個引理；相反，你應該深入挖掘，直到真正理解這個引理的全部內涵。
你能找到其他證明方法嗎？
如果這個引理有兩種證明，你知道它們在多大程度上是等價的嗎？它們的推廣方式是否不同？它們有哪些共同的主題？相較之下，它們各自有哪些優、缺點？
你知道每個假設為什麼都是必要的嗎？已知的/推測出的/啓發式的推廣有哪些？是否有更弱、更簡單的版本滿足某些應用？有哪些模型示例能展示這個引理在實際中的應用？在什麼情況下使用這個引理是合適的，什麼情況下不合適？它能解決什麼樣的問題，又無法解決什麼樣的問題？在數學的其他領域是否存在類似的引理？這個引理是否適用於更廣泛的範式或計劃？
在你的領域開展講座、撰寫筆記或其他闡述性材料，即使僅供個人使用，也特別有用。最終，你利用這類高效速記法內化了艱澀的結果，這不僅能讓你毫不費力地運用這些結果，提高自己的能力，還能騰出思維空間去學習更多知識。
另一種深入瞭解自己領域的有效方法是選取本領域的一篇關鍵性論文，對該論文進行“引文搜索”，也就是説，搜索引用了這篇論文的其他論文。今天，你能找到很多工具來進行引文搜索，比如MathSciNet就提供了這一功能，甚至一般的搜索引擎經常也能提供你前所未知的有用的“靶子”。
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換地方學習
學習的三大支柱：多見世面、多歷磨難、多學知識。
——據説是本傑明·迪斯雷利所作“威爾士三題詩”
選擇在不同於本科的學習機構攻讀研究生，或者換個地方攻讀博士學位，是一個非常好的主意。
就算是頂尖的數學系，也不可能在每個領域都具備優勢，因此，能在多家數學系學習將拓寬你的視野，令你接觸多種數學文化，見識現有專業領域之外的有趣工具和數學內容。此外，如果在不同的地方學習或工作過，你將有機會與更多同一領域的數學家長期交流，相比一直留在同一機構裏，這種交流將對你的職業發展大有裨益——畢竟，一個人在某一領域的職業發展前景，在很大程度上取決於同行們的認可度。所以，這對你在數學領域的未來職業生涯來説非常有益。
此外，換地方學習將幫助你實現從本科生到研究生（你要邁過嚴格和證明的門檻）或從研究生到博士生（你要學會主動出擊，而非完全依賴導師）的心理轉變。雖然在轉變期間，留在同一機構可能會讓人感到舒適和便利，但這也可能會減慢個人的數學發展進程。
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做數學一定要是天才嗎？
我們最好對“天才”和“靈感”這類概念保持警惕：它們就像魔杖，任何想看清事物本質的人都應該謹慎使用。
——何塞·奧特加·伊·加塞特，《小説筆記》
做數學一定要是天才嗎？
答案是否定的。為數學做出有益的、實質性的貢獻，一個人確實需要努力工作，深入瞭解自己的研究領域，學習其他領域和工具，提出問題，與其他數學家交流，並思考“大局”。當然，這個人還需要具備一定的智力、耐心和成熟性。但一個人並不需要某種神奇的“天才基因”，憑空撈出深刻的見解、出人意料的解決方案或其他超自然力。
傳説中的孤獨、可能還有點兒瘋癲的天才無視文獻或其他傳統智慧，僅憑某種難以解釋的靈感，或許還加上一點兒痛苦經歷的點綴，就能想出一個讓所有專家都困惑的、驚人的原創解決方案。這種形象雖然迷人又浪漫，但至少在現代數學世界裏往往是不切實際的。當然，人類在數學領域確實取得了令人矚目、深刻且非凡的成果，但這些都是多年來——甚至是幾十年來，許多優秀和偉大的數學家憑藉不懈的努力和穩步的進步累積下來的成就。
從一個階段到下一個階段的理解上的進步，可能卓越不凡，有時也相當出乎意料，但它仍是建立在先前工作的基礎之上的，而不是完全從零開始的。例如，懷爾斯關於費馬大定理的工作，或佩雷爾曼關於龐加萊猜想的工作就是如此。
實際上，我發現了當今數學研究的一個現實：進步是自然而然、累積性地通過努力工作、直覺引導、文獻閲讀和一點兒運氣獲得的。其實，這比我作為數學專業學生時所想象的——主要由稀有“天才”的神秘靈感推動了數學進步——更令人心滿意足。這種“天才崇拜”引發了許多問題，因為沒有人能定期地、可靠地、正確地產生這些非常罕見的靈感。如果有人聲稱自己能做到這一點，我建議你對他們的説法持懷疑態度。
試圖以這種不可能的方式做數學，會產生無端的壓力，可能會讓一些人過分沉迷於“大問題”或“大理論”，而另一些人則會對自己的工作或工具失去“健康”“恰當”的懷疑態度，還有一些人甚至會因為過於沮喪而放棄繼續數學工作。此外，將成功歸因於先天的才能（這是無法控制的）而不是努力、規劃和教育（這些是可以控制的），也會引發其他問題。
當然，即使我們摒棄了“天才”這一概念，在任何時代，仍會有一些數學家比其他數學家更快、更有經驗、更有知識、更高效、更細心或更有創造力。然而，這並不意味着只有“頂尖”數學家才能做數學——這是將絕對優勢與比較優勢混淆的常見錯誤。
有趣的數學研究領域之廣，問題數量之龐大，遠遠超出了頂級數學家所能包攬的範圍。而且，你所掌握的工具或想法或許能挖掘出其他優秀數學家所忽視的東西，尤其，即使是最偉大的數學家在研究數學時，也難免存在弱點。只要你具備相關教育背景、興趣和一定的才能，就會在數學的某個領域中做出堅實、有用的貢獻。
你的成果或許不是數學中最引人注目的部分，但實際上，這往往是一樁好事——很多時候，一個主題的平凡細節其實比任何花哨的應用更重要。此外，在真正有機會解決一個著名問題之前，你有必要在眾人的目光之外“磨尖自己的牙齒”——看看當今任何偉大數學家的早期出版作品，你會明白我的意思的。
在某些情況下，過多的天賦可能對一個人的長期數學發展有害——這有點反常識。比如，如果問題解決得太容易，一個人可能就放棄投入太多精力去努力工作、提出“愚蠢”的問題或擴大自己的探索範圍，最終，這可能導致技能停滯不前。此外，如果習慣了“隨隨便便就能成功”，那一個人大概不會培養出應對真正的困難時所需的耐心。當然，天賦很重要，但更重要的是如何培養和激發它。
還要記住一點，專業數學研究不是一項“體育運動”——這與數學競賽截然不同。做數學的目標不是獲得最高的排名、最高的分數或最多的獎項、榮譽，而是增加對數學的理解（既是為了自己，也是為了同行和學生），併為數學的發展和應用做出貢獻。為了完成這些任務，數學確實需要一切願意投入的優秀人才。
本文經授權轉載自微信公眾號“圖靈新知”，
原文來源：https://terrytao.wordpress.com/career-advice/。
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