數學是一種隱喻_風聞
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本文為數學家Yuri Ivanovich Manin在1990年國際數學家大會一個小組會上的發言。他將數學視為一種比喻, 他強調：對數學知識的詮釋是具有高度創造性的行為。在某種程度上, 數學是一部關於自然和人類的小説。你不可能準確地説出數學教給我們的是什麼, 正如你無法準確地説出《戰爭與和平》教會了我們什麼一樣。數學教學本身往往被對這種教學的重新思考所吞噬。
撰文 | Yuri Ivanovich Manin
翻譯 | 袁向東
校對 | 馮緒寧
1902, H. Poincaré首次出版他的著作《科學的假設》(La Science et l’hypotése), 它成了一本暢銷書。該書的第一章涉及數學推理的性質。Poincaré討論的是人們熟知的哲學爭論問題：數學知識能夠化歸為某些基本的 (“綜合的”) 真理的同義重複的長鏈, 或是它還含有其它的東西? 他論證説, 數學的創造力歸因於對初始假設及定義的自由選擇, 其後, 通過對推演出來的結論和可觀測世界的比較, 對這些定義和假設加以約束。
比起 Poincaré 時代的人, 我們似乎對精細的哲學思考已興趣大減, 這倒不是科學本身變得不那麼大眾化之故。象 S. Weinberg 的《最早的三分鐘》(The first Three minutes) 和 S. W. Hawking 的《時間簡史》 (a Brief history of time) 就受到極大的歡迎, 各處的報紙都給予好的評論。問題在於人們的普遍興趣的基調已經變了。對新的物理理論的自悖性 (paradoxality), 人們不再表現得那麼激動, 而更多地是從實用主義的角度去理解和認知 (對觀賞藝術的認知與此極為相象：最初展出印象派畫家的作品是一種精神上的革命, 但戰後先鋒派掀起的毎一次新潮都立即帶上了學院派的家族特色)。
在這種氛圍中, 過去那種有關數學基礎危機和無窮的本質的激烈討論, 看來幾乎目前的情勢無關, 似乎肯定是不合時宜的。聽眾對有關數學教育或是新一代計算機的事有着更強烈的興趣。
因此, 我決定在本小組的會上提交一篇不加虛飾的文章, 在其中我把我們這門科學看作是一類特殊職業人員關於自然語言的一種通用語, 並視其所起的作用為一種特殊的説話方式 (a special case of speech) 。這也意味着我會談及中學與大學的數學訓練問題。
比喻主義(Metaphors)
比喻 (“metaphor”) 這個詞在這裏是作為非專用詞來使用的, 下述引語——引自 P. Carse 的書《有限與無限的遊戲》——最能表達它的含義：
比喻是像與不像的結合, 使得任何一物決不可能變成其它東西。
“從根本上説, 全部語言具有比喻的特徵, 因為不管它用來表示什麼, 它仍舊只是語言, 絕對跟它所表示的東西不相等。”
“自然 (nature) 的不可言表性正是語言的可能性之所在。”
將數學視為一種比喻, 我想要強調的是：對數學知識的詮釋是具有高度創造性的行為。在某種程度上, 數學是一部關於自然和人類的小説。你不可能準確地説出數學教給我們的是什麼, 正如你無法準確地説出《戰爭與和平》教會了我們什麼一樣。數學教學本身往往被對這種教學的重新思考所吞噬。
這種看法似乎跟歷史悠久的用於科技計算的應用數學的傳統不符。
事實上, 我只想讓數學基於技術的一面和基於人的本性的一面恢復到某種平衡的狀態。
兩個例子
讓我通過討論兩個互不相關的對象：Kolmogorov 複雜度 (complexity) 和 K. Arrow 的“獨裁者定理”(“Dictator Theorem”), 來試着説明數學這種比喻的潛在威力。
問題：《戰爭與和平》是具有高度組織的對象還是一個幾乎是隨機組合的對象?
只要我們的知識的內容由符號來表示 (詞語、數、字、…), 我們得以保存和處理的信息量就受到物理條件的限制。我們總要依賴各種信息壓縮的方法, Kolmogorov 複雜度對這種壓縮的效率加上了一些絕對的限制。當我們説起, 比如由運動方程表示的物理定律時, 我們是指一個物理系統的行為的精確描述可以通過將這些定律轉換成計算機程序而實現。但是, 我們能夠發現和利用的定律的複雜度是清楚地被界定的。我們能肯定不存在具有任意高的複雜度的定律支配着只是“初等的”系統嗎?
討論到這兒, 已經完全不是數學了。在座的都是數學家, 我必須就此止步。不過, 這也是一切比喻的命運。
(2) Arrow 的獨裁者定理大約是在 1950 年發現的。從數學上講, 它是一條組合學的陳述, 描述某種以二元關係取值的函數。直觀上看, 它是有關社會的選擇 (Social Choice) 問題的形式化的討論, 假定立法者要制定一條法律, 用以使投票者的個人意願服從集體的決定。如果問題是從兩個供選擇對象中擇一, 標準的辦法是得票多的當選, 然而, 通常的候選者都超過兩個 (試想一下資金分配問題), 於是就要求投票人根據他們的好惡將候選者排序。那麼, 能夠從任何一組表述個人嗜好的數據中提取出集體決定的算法該是什麼樣的呢? Arrow 考慮了一些自然而符合民主的公理 (例如, 對於A 和B , 若每個人都更喜歡 A而不是 B, 則社會將選擇A 而不是B ) 。然而, 他發現, 當選擇對象多於兩個時, 問題得以解決的唯一辦法是任命一位成員 (“獨裁者”), 並讓他的個人嗜好成為社會的嗜好。 (實際上, 這是後來發現的 Arrow 定理的各種改寫版本中的一種。它也只適用於有限社會(finite society)的情形; 對無限的情形, 可通過高精度過濾器(ultrafilter, 不妨稱之為“統治階級制度”)來做出社會決定。)
在某種程度上, 這條定理以例子闡明瞭 J-J. 盧梭的社會契約的思想的要旨。
理想化的民主選擇 這一概念所內含的基本矛盾, 可用下述有三名投票人和三個選擇對象的事例加以説明. 故事説有三位遊俠騎士來到一個叉路口, 那裏有一塊碑石, 上面銘刻着預言路人將要遭難的碑文：
向左走的人將失去他的劍; 向右走的人將失去他的馬; 朝前走的人將失去他的頭。
騎士們於是下馬商量對策。這個故事的俄羅斯版本中, 這些騎士都是有名姓和個性的：最年輕而充滿激情的叫阿遼沙·波波維奇, 歲數最大又最聰明的是多佈雷尼亞·尼基季奇, 年齡居中的是位慢性子的農夫, 名叫伊利亞·穆羅梅茨。阿遼沙認為他的劍比馬更重要, 他的馬又比他的頭更有價值; 多佈雷尼亞認為他的頭最重要, 其次是他的劍, 再其次是他的馬; 而伊利亞看重他的馬甚於他的頭, 他的頭又甚於他的劍。
讀者會注意到, 他們每一位的偏愛物的次序組成的是同一個循環 (只是起點不同), 結果是：你可以在任意兩個選擇對象間根據多數意見作出選擇, 但這些決定合起來看是矛盾的。民主程序不可能為我們提供一張規定好選擇次序的表。騎士們無可奈何只好把決定權交給多佈雷尼亞。
Arrow 的定理有沒有告訴我們一些以前不知道的事情呢? 是的, 只要我們打算認真嚴肅地討論這條定理, 也就是説, 要仔細地看看它的組合證明, 簡要地想象一下各種假設可能在現實生活中出現的情況以及在其中的基本邏輯步驟, 並依靠嚴格的數學推理的邏輯來完善我們的不嚴密的想象。例如, 我們能更好地理解政策制訂中的某些騙局和意想不到的危險, 整個社會很容易 (甚至是全心全意地) 陷入其中 (諸如不加質疑地接受在位的統治集團提出的供選擇的對象的表, 儘管編制這類表可能是作出社會抉擇的中心課題)。
至此, 我們進入了這次討論的主題：數學推理跟自然語言的論述到底區別何在, 為何帕斯卡“秩序” (Pascalian “ ordre”) 統治着我們專業化的符號活動, 是否它真的因“深奧而無用”了呢?
語言和數學
大約 30 年前, 數學與人類相互作用、相互影響的一個十分有趣的時期開始了：人們首次嚴肅認真地嘗試了自動翻譯問題, 最初的努力, 讓人痛心地失敗了, 至少對許多樂觀派人士是如此, 他們原以為在這一領域不存在基本的障礙, 所要做的只是去克服處理極大量信息所帶來的技術性困難。換言之, 他們想當然地認為, 翻譯在原則上是靠並不十分複雜的算法進行的, 該算法只需弄得很清晰並補足寫成為一種計算機程序即可。
這一想法是數學比喻的一個很好的例子 (實際上, 它是用於腦科學研究的一般的“計算機比喻” (computer metaphor)的實例)。
這個比喻已證明了對理論語言學特別富有成效, 因為它迫使語言學家開始以前所未有的清晰性和完整性來描述人類語言中的詞彙、語意, 詞法和句法. 通過這種程序, 人們發現了某些全新的概念和工具。
然而, 自動翻譯已取得 (和正在取得) 的成功是很不夠的. 業已清楚, 寫成文字的人類語言, 對任何用於翻譯甚或是演繹的算法操作而言, 乃是最壞的輸入數據。 (我在這裏“然而”一番, 是因為人類語言作為諸如統計研究的素材並無任何特別之處) 。
上述事實可被認為是人類語言的普遍性質, 並值得加以關注你必須首先捨棄 (儘管出於十分樸素的考慮) 一種慣常的説法：由於人類語言的 含義世界 太廣大又太鬆散, 至不可能出現一種組織得很好的用於描述它的元語言(譯註: 即用於進行語言分析的語言)。問題的關鍵在於, 即使我們把這個世界嚴格地限制在小整數量的算術這種子集內, 我們仍面臨着同樣的困難, 事實上, 這一困難正是必須將整個算術符號體系具體化, 將計算的基本規則具體化, 進而將符號代數具體化的決定性理由. 甚至人類語言的基本算術詞彙從根本上講是古式的：原始社會中的有限自然數序列“壹、貳、叁、無限多”, 在指數尺度上被重新導出, 成了我們的“千、百萬、十億, 無窮數 (zillion)”。相對小的數 (像 1989) 的表示實際上是它的十進制名字而不是這些數本身。
Viète 的代數優於 Diophantus 的半詞語代數, 其理由並非是它能表示新的含義, 而在於它對算法操作具有無可比擬的極高的靈敏度 (susceptibility)(我們中學代數中的“恆等變換”)
科學語言 (the language of science) 的特徵是文本 (text) 和它的生產者/使用者之間在直觀性和情感紐帶方面的破裂, 但它從新的計算的自動化中得到補償。在它們適用的 (雖是受限制的) 領域中, 科學語言已證明比使用日常語言敍述的傳統, 即柏拉圖和亞里士多德式的文化, 有着無法比擬的更高的效率。那麼, 為什麼我們的科學論文還要寫成詞語和公式的無組織的混合物呢? 部分原因是我們還需要那些情感紐帶, 部分原因則是某些含義 (像人類價值) 用人的日常語言能給予最好的解釋。但是, 即使作為科學語言的一種媒體, 人的語言也有着某些固有的優點：藉助空間和定性方面的想象, 它能幫助我們理解各種“結構穩定”的性質 (‘structurally stable’ properties) , 諸如自由參數的數目 (維數), 極度狀態的存在性, 以及對稱性等。直率地講, 它使得我們有可能使用對科學的比喻。
比喻和證明
我想, 我在這裏宣揚的觀點跟中學和研究生課程有關。
本世紀前半葉的普通數學教育具有應用的傾向。它教給學生處理日常生活問題和向學院水平的工程與科學計算平穩過渡所需的最低限度的基本知識和技能。但是, 我們越來越清楚地感到, 這種課程設置由於專業數學家的活動而中斷了。眾所周知, 在美國出現了新數學 (New math), 在其他國家也有類似的數學教育大綱. 這些大綱規定在中學講授從數學專業訓練中借用來的各種概念和原理：集合論, 公理化的證明方式以及強調嚴格定義的教學方法。
新數學 曾被廣泛地接受, 但是它的傳播也伴隨着抗議的聲響; 到 70 年代和 80 年代, 這種抗議已匯成一部大合唱。評論家們不同意新數學擁護者的基本要旨。且不論基於認知科學和學習心理學的反對意見, 我只來回憶那些涉及證明在數學中的作用的總的估價意見。
眾所周知的 N Bourbaki 的論述代表了一種觀點：“自希臘時代以來, 所謂數學, 亦即證明。” 依照這種理解, 嚴格的證明成為新數學教學大綱中的原則問題, 理由是這樣的：
a)證明幫助我們理解數學事實;b)嚴格證明是現代專業數學中最本質的要素;c)數學具有得到普遍承認的嚴格性標準。
這些觀點受到了廣泛的批評, 諸如 Gila Hanna 在其書《數學教育中的嚴格證明》(OISE Press, Ontario, 1983) 中所做的那樣。特別地, Gila Hanna 指出：數學家們遠非是全體一致地接受這種嚴格標準的 (參照邏輯主義者、形式主義者和直覺主義者之間的爭論); 從事研究的數學家經常違背該書中指出的所有規則。
按照我的看法, 這種批判有點文不對題。
問題的要害在於由於強調證明而造成的各種基本價值觀處於不平衡狀態。證明本身是“真理”概念的衍生物. 而除了真理, 還有其他價值觀念, 其中包括“活力” (activities), “美”和“理解”, 這些在中學教學及其後的教學中都是本質的要素. 忽略這些價值觀的教員 (或大學教授) 會失敗得很慘. 不幸, 這也不是人們的普遍認識。對圍繞 René Thom 的突變理論的爭論所作的社會學分析表明, 引起這場爭論和批判的正是價值取向從 形式真理 轉向 理解 所致。當然, 突變理論是一種成熟的數學比喻, 而且也只應該這樣來評價它。
從教育學的角度看, 證明 只是各種類型的數學內容中的一種。還有許多不同類型的數學內容：計算, 附有解釋的綱要, 計算機程序, 算法語言的描述, 還有常被忽視的關於形式定義和直觀概念間聯繫的討論。每一類型都有其自身的規則, 特別地有其嚴格性的規則, 它們之所以尚未被整理出來只是因為它們還沒有受到特別的注意。
教師的關鍵任務是在他或她的課程所限定的範圍內, 展現和論證數學活動及其基本價值取向的多樣性。當然, 各類的內容要按等級加以組織。目標可以是從獲得初等的算術和邏輯推導能力到編制程序的能力, 從最簡單的日常生活問題到現代科學思維的各種原理。在由這些目標織成的譜系中, 強調“嚴格證明”的各種基準, 這就有把握佔領周邊的陣地了。
説過這些, 我必須強調我的論證絕不是想貶斥嚴格的數學推理這種觀念。這種觀念是數學中的一條基本原則, 從這個意義上講, Bourbaki 肯定是對的。由於沒有外部的客觀的研究對象, 工作的基礎又是基於有限的熱愛數學者圈內的意見一致, 所以若沒有嚴格的規則加以持久不懈的控制, 數學便無法發展。在嚴格意義上的數學的可應用性 (像在阿波羅登月計劃中數學的不可或缺性) 緣於我們控制具有令人吃驚的長度的符號演算的能力。
嚴格推理這一觀念的存在, 比起事實上很難達到嚴格推理顯得更為本質。數學的自由 (G. Cantor) 只能在 嚴酷的必然 (iron necessity) 的限度內發展。現代計算機的硬件就是這種必然的體現。
比喻幫助人類在這神化的純淨空氣中呼吸。
本文來自數學譯林。原題：Mathematics as Metaphor. 譯自：《Selected Papers of Yu. Ⅰ. Manin》, World Seientific, Vol. 199, pp. 557-564. 該文作者在 1990 年國際數學家大會一個小組會上的發言, 由作者本人將此文收入他的選集——譯註
本文經授權轉載自微信公眾號“數學文化”，載於《數學譯林》，“數學大院”經授權編輯整理發佈。
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