從反函數的觀點看逆矩陣_風聞

要想讓線性代數生動起來，除了介紹一些精彩應用的例子，一個可行的辦法是強調幾何的語言。所謂幾何語言，簡單講，就是用線性變換代替矩陣，用抽象向量代替列向量。代數語言具體清晰，而幾何語言直觀明快。通常的教科書往往過分強調代數語言，導致思路曲折，概念引入缺乏動機，掩蓋了線性代數的本質。

本文從“單射”和“滿射”入手，引出反函數概念，採用更直觀的方式描述逆矩陣。這種觀點可能比通常的“−1 = −1 = ”式定義更具幾何特色，更能直接、深刻地觸及逆矩陣的數學內涵。

撰文 | 朱慧堅（玉林師範學院數學與統計學院副教授）、丁玖（美國南密西西比大學數學系教授）

我們在之前的文章《矩陣乘法為什麼是這樣定義的？》中，運用包羅萬象的抽象函數概念，論證了矩陣乘法定義中積矩陣元素表達式的合理性和必要性。與矩陣乘積運算直接相關的一個關鍵術語是“逆矩陣”，同樣，我們可以借用反函數的思想來幫助理解這個處處有用的數學對象。

單射和滿射

中學教科書裏，有一章專講“反函數”。物理學有個説法，每種基本粒子都有對應的反粒子。可惜，數學不是物理，並非每個函數都有反函數，具有反函數的函數必須滿足如下條件：它將定義域一對一地映射到值域上，符合這個要求的函數也被稱為單射（injection）。更數學化地説，一對一的函數: → 意指，對於定義域中的任意兩個元素和，若() = ()，則必定有 = ；或言之，一對一的函數將定義域中的不同元素映射成值域中的不同元素。

抽象函數: → 定義中的兩個集合和，第二個集合可以換成任何一個包含它的集合，在集合論的眼裏沒有發生變化，比如一個將定義域 = {1, 2, … , 365}映射到有理數集 = 當中的函數，也可以被視為將同一個定義域映射到實數集 = 裏；雖然它們各自的並不相同，但本質上是一樣的函數。事實上，任何函數: → 中的“目標集合”都可以換成的值域()，即所有函數值組成的集合。

這樣看來，如果: → 是一對一的，那麼: → ()不僅是一對一的，而且是映上的，映上的函數也稱為滿射（surjection）。同時是單射和滿射的函數稱為雙射（bijection），即對於()中的任意一個元素，有且僅有中的一個元素使得() = 。我們稱雙射為一可逆函數。如果: → 將映射到之上，給定函數的“映上”條件保證了上述可逆函數定義中的“有”發生，而“一對一”的假設確保了“僅有”成立。本文為了討論矩陣求逆問題，我們碰到可逆函數: → 時總假設它是一個滿射，這樣，下一段引進的的反函數將定義在上。

可逆函數: → 意味着中的所有元素與中的所有元素，通過形成了一一對應關係。這種相互對應關係構成了定義的“反函數”概念之基礎。可逆函數: → 的反函數是這樣定義的：對於中的任一元素，被映射到的屬於的那個唯一存在的元素，就是這個反函

算子和可逆矩陣

有了高中生熟知的反函數概念作鋪墊，我們可用同樣的思想引進大學線性代數中逆矩陣的

其中是階的單位矩陣，其對角元素為1，其餘元素為0。單位矩陣和任何矩陣如能合法相乘，即左邊矩陣的列數等於右邊矩陣的行數，不論它是左乘還是右乘，結果都是那個被乘矩陣，如同數1在算術中的角色。單位矩陣所對應的線性算子是恆等算子，即它把每個向量映到自己。

在絕大多數線性代數教科書中，公式(2)通常用作逆矩陣的定義，即對於給定的階方陣，如果存在階方陣，使得等式 = 和 = 都成立，則稱為的逆矩陣。按照如上的算子觀點，在此定義中，第一個等式 = 意味着是一對一的線性算子（因為若非如此，則存在兩個不同的向量和使得 = ，從而 = = = ，與 ≠ 矛盾）；第二

方陣的“單滿等價”

到目前為止，事情似乎進行得很順利很成功，然而，喜歡思考的讀者的腦袋瓜裏可能會冒出一個疑問：既然屬於方陣，形狀是特殊的正方形，它或許會像方方正正的君子風範一樣，具有比一般狹長形或瘦高形矩陣更好的數學品質？具體來説：作為“一對一”線性算子的方陣是否已經自動具備了“映上”的性質？或者對偶性地問：作為“映上”線性算子的方陣是否已經自動具備了“一對一”的性質？如果對於它們的回答都是“Yes, sir”，那麼逆矩陣定義中的兩個等式就可以只取其中之一，因為另一個就成為直接推論了。

答案確實是肯定的，即對方陣而言，算子性質“一對一”隱含“映上”，反之算子性質“映上”推出“一對一”。為了解釋好這兩個重要結論，我們假設讀者已經知曉線性空間的代數運算，懂得有限維線性空間的維數概念，理解任何矩陣的值域和零空間都是線性子空間，並且至少

結合之前的討論我們得知，方陣是單射（滿射）當且僅當存在同階方陣使得 = ( = )。更進一步，以上的推理論證了只對方陣有效的一個令人喜悦的真理：方陣如果是一對一的，那麼它就是映上的，因此它的逆矩陣存在唯一；方陣如果是映上的，那麼它就是一對一的，因此它的逆矩陣存在唯一。

至此，我們用高中生都學過、但許多大學生都沒有真正領會的反函數思想，證明了如下關於逆矩陣的優美定理：

定理 1 設為一行列矩陣，則如下結論成立：

非方陣“最多得其一”

上述用於方陣的定理 1 能推廣至非方陣嗎？我們先看一個實例，設矩陣有2行3列。使得 = 的矩陣必須有3行2列，這時的單位矩陣為2階的；滿足 = 的矩陣也必須有3行2列，但此時單位矩陣為3階的。我們當前要問的問題是：如果矩陣滿足等式 =

定理 2 的結論在教科書中通常是用“矩陣秩”的性質證明的。矩陣的秩一般用行列式定義：它是矩陣中不等於0的子行列式的最大階數。秩的性質包括：它不大於矩陣行數和列數之最小值；矩陣積的秩不大於每個因子的秩。在定理 2 中乘積和的秩都不大於和的最小值，而這個最小值小於和的最大值，導致結論(i)和(ii)中的等式無法成立。這裏採用算子的語言證明了定理 2，避免了對矩陣秩概念的依賴性。

自然，當 < 時，一個行列矩陣有可能與一個行列矩陣相配合，使得它們乘出一個階單位矩陣。類似地，當 > 時，一個行列矩陣有可能與一個行列矩陣相配合，

則將向量(1, −1)映到零向量，故不是一對一的，因而也不是映上的。

一般矩陣儘管沒有經典意義下的逆矩陣，數學家們總有辦法在更廣泛的意義下定義逆矩陣，稱為廣義逆矩陣，不過這將是另一篇文章的主題。

怎樣求逆矩陣？

沒有見過逆矩陣計算公式的讀者或許納悶上例中的2階逆矩陣是如何獲得的。這裏我們解析出一般2階可逆矩陣的逆矩陣公式，並據此推廣到一般的可逆矩陣。對於2階方陣

將齊次方程 = 0具體寫出兩個分量的二元一次方程組

稱為原矩陣的伴隨矩陣，記為∗，但不要理解為常用此記號的的共軛轉置。它的轉置矩陣（即第行第列元素是原矩陣的第行第列元素）的每一個元素可以這樣得到：劃去矩陣的對應位置那個元素所在的行和列，剩下一個元素，它同時也被視為該元素所定義的1行1列矩陣行列式的值，再取合適的符號：如果行指標與列指標之和為偶數，則取正號；如果行指標與列指標之和為奇數，則取負號。比如，要算出∗的第二行第一列元素，劃去的第一行第二列元素所在的行和列，剩下元素組成的1階行列式是，因為1 + 2為奇數，所以在前添一負號便得∗的第二行第一列元素−。

拉普拉斯展開

上面2階方陣的伴隨矩陣概念可以直接推廣，但需借用一般行列式的概念。階方陣的行列式||在通常的教科書中被定義為! ≡ ( − 1) ⋯ 2 ∙ 1個帶符號乘積之和，其中每個乘積的個因子取自中既不同行又不同列的元素，再賦予一個恰當的正號或負號：當這個元素依

這個行列式的定義語言看似美妙，計算過程卻很繁瑣，費時費力。好在它有其他等價定義，隨時可用，其中一個稱為行列式的拉普拉斯展開，由法國數學家拉普拉斯（Pierre- Simon Laplace，1749-1827）首次提出。它的好處是隻要定義了 − 1階方陣的行列式，就可用這一公式計算階方陣的行列式。具體做法是，給定階方陣，任取它的一行或一列，比方説第行，則

正如此行列式的3!項3個元素乘積代數和定義所得到的結果。

“花瓶”公式

現在可以推導出可求逆矩陣的逆矩陣表達式了。設為一階方陣，它的伴隨矩陣∗被定義