代數幾何學“聖經”_風聞
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《代數幾何學原理》（EGA）是代數幾何的經典著作，由法國著名數學家 Alexander Grothendieck（1928-2014) 在J. Dieudonné的協助下於20世紀50—60年代寫成。在此書中，Grothendieck首次在代數幾何中引入了概形的概念，並系統地展開了概形的基礎理論。EGA的出現具有劃時代的意義，對現代數學產生了多方面的深遠影響。
下文為中譯本《代數幾何學原理》（高等教育出版社）譯者前言。
撰文 | 周健
為了方便初次接觸這本書的讀者，譯者將從以下三個方面做出簡要的介紹，以便讀者能夠獲得一個概略的瞭解這三個方面就是：一、EGA的成書背景，二、EGA的重要影響，三、EGA的翻譯經過。
在開始之前，有必要先釐清一個概念即EGA有狹義和廣義之分。狹義的EGA是指已經完成的第一章到第四章， 發表在Publications Mathématiques de l’I.H.E.S.，Tome 4，8，11，17，20，24，28，32 (1960-1967) 中①，廣義的EGA是指Grothendieck關於這本書的寫作計劃，在引言中可以看到個簡略的列表，共包含13章涉及非常廣泛的主題，並歸結到Weil猜想的證明上後面的各章內容雖然並沒有正式寫出來，但大都以草稿的形式出現在了SGA，FGA②等多部作品之中，應該被看成是前四章的自然延續。
本次中譯本的範圍只是EGA的前四章，但對於下面要談論的EGA來説我們不得不作廣義的理解，因為計劃中的13章內容原本就是一個有機的整體，各章相互照應，具有前後貫通的理論構思，而且説到EGA對後來的影響也必須整體地來談。
一
EGA的成書背景
代數幾何考察由代數方程所定義的幾何圖形的性質，已經有漫長而繁複的歷史。特別是其中的代數曲線理論，這已經被許多代的數學家使用直觀幾何語言、函數論語言、抽象代數語言等進行過詳細的討論，並積累了豐富的知識和研究課題。
20世紀初、意大利學派的幾位數學家 (Catelnuovo，Enriques等) 進而完成了代數曲面的初步分類但在這一階段，傳統方法開始受到質疑，僅使用座標和方程的語言在陳述精細結果時越來越難以滿足數學嚴密性的要求。O. Zariski 意識到了問題的嚴重性，開始着手建立代數幾何所需的交換代數基礎。他所引人的Zariski拓撲、形式全純函數等概念使代數幾何逐步具有了獨立於解析語言的另一種陳述和證明方式。J.-P. Serre的著名文章FAC和GAGA等③進而闡明，藉助層上同調的語言，在Zariski拓撲上也可以建立起豐富而且有意義的整體理論。Grothendieck在EGA中繼續發展了Serre的理論，把代數閉域上的結果推廣為任意環上 (甚至任意概形上) 的相對理論，使數論和代數幾何重新統在以交換代數和同調代數為基礎的完整而嚴密的體系之下 (此前代數整數環和仿射代數曲線曾被統一在Dedekind整環的語言之下) ，可以説完成了Zariski以來為代數幾何建立公理化基礎的目標。
Grothendieck在扉頁上把EGA題獻給了O. Zariski和A. Weil，這確認了Zariski對於EGA成書的重大影響。我們再來看A. Weil對於EGA的關鍵影響，這就要説到Weil的著名猜想，揭示了有限域 (比如F=Z/pZ) 上的代數方程組在基域的所有有限擴張中的有理解個數所具有的神秘規律。Weil把這種規律用Zeta函數④的語言做出了表達，列舉了Zeta函數所應具有的一些性質。其中還特別指出，這種Zeta函數的某些信息與另個代數方程組 (前述方程組是這個方程組通過模p約化的方式而得到的) 在複數域上所定義出的複流形的幾何或拓撲性質會有密切的關聯。Weil還預測到，為了證明他的這一系列猜想，有必要對於有限域上的代數幾何對象發展出一套上同調理論，並要求這種上同調具有與復幾何中的上同調十分相似的性質。在此基礎上，上述猜想便可以藉助某種Lefschetz不動點定理而得以建立。
Weil的這個思路深刻地影響了代數幾何語言的發展。上面提到的FAC就是朝向實現這一目標所邁出的重要一步⑤。但是僅靠凝聚層上同調理論被證明是不夠的。Grothendiek在Serre工作的基礎上完成了一次思想突破，他意識到層上同調這個理論格式可以擴展到更廣泛的“拓撲”上，這種“拓撲”已經不是傳統意義下由開集公理所定義的拓撲，而是要把非分歧的覆疊映射也當作“開集”來使用。基於這個想法定義出的上同調 (即平展上同調) 後來被證明確實能夠滿足Weil的要求⑥，但為了要把該想法貫徹到有限域、代數數域、複數域等各種不同的環境裏 (比如為了實現Weil猜想中有限域上的幾何與復幾何的聯繫)，就必須儘可能地把古典代數幾何中的各種幾何概念 (如平滑、非分歧等)推廣到更般的語言背景下。
EGA和很大部分的SGA (如前所述，它們原本就應該是EGA的組成部分) 都在致力於完成這種理論構建和語言準備的工作。最終，Weil猜想的證明是由Deligne⑦完成的，閲讀他的文章就會發現，EGA-SGA的體系在證明中起到了多麼實質的作用。
二
EGA的重要影響
EGA-SGA的出現對於後來的數學發展產生了多方面的深遠影響。
首先，概形已經成為數論和代數幾何的基礎語言，它的作用完全類似於流形之於微分幾何，充分印證了這個理論體系的包容性、靈活性、方便性以及嚴密性。
其次， 在概形理論和方法的基礎上，不僅Weil猜想得以圓滿解決，而且很多困難的猜想都陸續獲得解決，比如説Mordell猜想、Taniyama-Shimura猜想、Fermat大定理等。以Mordell猜想為例，Faltings最早給出的證明中就使用了Abel概形的參模空間、p可除羣、半穩定約化定理等關鍵工具，這些都是建立在EGA-SGA的體系之上的⑧。再看Fermat大定理的證明，它是建立在自守表示的某些結果、模曲線的算術理論、Galois表示的形變理論等基礎上的，後面的兩個理論都離不開EGA-SGA的體系。
EGA-SGA的體系不僅為解決數論中的許多重大猜想奠定了基礎，而且也催生了很多新的觀念和理論體系，試舉幾個典型的例子如下:
(1) 恆機理論
這是Grothendieck為了解決Weil猜想中與Riemann假設⑨相關的部分而提出的理論設想 (基於Serre的結果)。與Deligne證明中的獨特技巧不同，該理論試圖建立一個良好的“恆機”範疇，使Riemann假設成為一個代數演算的自然結果。這個思路並沒有取得成功，因為其中涉及的“標準猜想”看起來是極為困難的問題。但“恆機”的想法本身不僅沒有就此消亡，反而日益顯示出強勁的生命力。它首先在Deline的Theotie de Hodge I， II，III中得到了側面的印證，後來又在關於L函數特殊值的一系列猜想中扮演了關鍵角色 (以恆機式上同調的形式)，並因此促成了概形同倫理論的發展。另外值得一提的是，Grothendieck在構造恆機範疇時所引人的Tannaka範疇概念也被證明具有非常普遍的意義。
(2) 代數疊形理論
這起源於Grothendieck使用函子語言來重新解釋參模理論的工作 (FGA)。Hilbert概形和Picard概形的構造是第一批重要的結果， 但後來發現許多在代數幾何中很平常的參模函子並不能在概形範疇中得到表識。代數疊形的概念就是對於概形的一種推廣，目的是把那些有重要意義但又不可表識的參模函子也納入幾何框架之中。這一理論無論從技術上還是從結果上都是EGA-SGA體系的自然延伸，它的應用範圍已經超出數論和代數幾何中的問題，擴展到數學物理等領域。
(3) 導出範疇與轉三角範疇
這個理論最初是Grothendieck為了恰當表述上同調對偶定理所構思的概念框架。現在它的應用範圍已經擴展到了多個數學分支 (如有限羣的模表示、雙有理幾何、同調鏡像對稱等)，並被髮掘出一些新的意義。Voevodsky構造恆機範疇的“導出”範疇時就使用了這套語言。
(4) p進剛式解析幾何
這個理論最初是Tate把Grothendieck拓撲的考慮方法引入p進解析函數中而定義出來的幾何理論，Raynaud又使用形式概形的語言對它做出了重新的解釋。後來該理論被應用到穩定約化、曲線基本羣、p進合一化理論、p進Langlands對應等諸多問題之中。
限於譯者的理解程度，只能先説到這裏，還有很多話題未能觸及。
三
EGA的翻譯經過
EGA的中文翻譯開始於2000年，到了2007年中，前四章的譯稿已大致完成。在隨後的校訂工作中，譯者逐漸意識到兩個更大的問題。
第一，我們知道Grothendieck寫作EGA的一個主要動機是要給出Weil猜想的詳細證明 (除了Riemann假設的部分)。但是前四章只是陳述了一些最基礎的理論，尚未深入探討那些比較核心的話題。如果不結合後面的內容 (比如SGA) 來閲讀的話，就看不到這四章理論的許多實際用途，也不能更充分地理解作者的思維脈絡，而且與後來的那些廣泛應用相脱節。
第二，EGA-SGA體系是建立在一系列預備 知識和先行工作的基礎上的。首先，EGA中大量使用了Bourbaki數學原理中的結果 (特別是“代數學”、“交換代數”、“一般拓撲學”等卷)，作者Grothendieck和協助者Dieudonné都是Bourbaki的成員。另外，正如作者在引言中所指出的，閲讀EGA還需要準備兩本參考書:
R. Godement， Topologie algébrique et théorie des faisceaux。⑩
A. Grthediecke， Sur quelques points d’algèbre homologigue。⑪
最後，作者還告訴我們，EGA的前三章完全是脱胎於Serre的FAC，所以僅從詳稿的校訂工作來説，譯者也必須對上面提到的這些書籍論文做出系統的梳理和把握。
這兩個問題迫使譯者持續對相關的著作加深瞭解，並翻譯其中的某些部分，藉此來檢驗EGA譯稿的準確性和適用性，提高譯文的質量，這些工作仍在進行中。
由於理解上的不足，譯文中一定還有譯者未曾注意到的錯漏之處，敬請讀者指正譯者將另外準備“勘誤與補充”一文，報告可能的錯誤，並介紹某些背景信息，以及與其他文獻的聯繫等，此文將放置在下面的網址中:
http://www.math.pku.edu.cn/teachers/zhjn/ega/index.html
EGA中譯本的出版工作幾經波折最終能夠達成，與丘成桐教授的運籌和指導是分不開的，感謝丘成桐教授的關心和鼓勵。
在翻譯工作的最初幾年裏，譯者得到了趙春來教授的莫大支持和幫助。趙老師曾專門組織討論班，以早期譯稿為素材進行討論，初稿得以完成，完全是得益於趙老師的無私關懷，譯者衷心感謝趙老師長期以來所給予的工作和生活上的多方支持。
巴黎南大學的Luc Illusie教授和J.-M. Fontaine教授十分關心此譯本的出版工作，併為此做了許多工作。Illusie教授熱心於中法數學交流，培養了許多中國學生，也給予譯者很多指導，他還專門與法文版權所有者Johanna Grothendieck女土及法國高等科學研究所 (IHES) 進行聯絡，為中文版獲得授權創造了良好的條件，併為此版寫了序言誠摯感謝Illusie教授為此付出的熱情和心力。東京大學的加藤和也教授和巴黎南大學的Michel Raynaud教授也給予譯者很大鼓勵，在此一併致謝。
譯者還要感謝首都師範大學李克正教授、華東師範大學陳志傑教授、台灣大學康明昌教授、中科院晨興中心田野教授、信息工程研究所劉石柱老師以及眾多師友對於此項工作給予的熱情鼓勵。同時感謝譯者所在單位的歷任領導對此項工作的理解和包容。
最後，感謝高等教育出版社理科學術著作分社王麗萍分社長和編輯李鵬先生在出版工作上的堅持不懈和精心籌備，感謝波士頓國際出版社 (International Press) 秦立新先生的大力協助。
注
①新版EGA第一章由Springer-Verlag於1971年出版。
②SGA的全稱是Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie，FGA的全稱是Fondements de la Géométrie Algébrique。
③FAC的全稱是Faisceaux Algébriques Cohérents，發表在The Annals of Mathematics，2nd Ser.， Vol.61，No.2(1955)，pp.197-278，中譯名“代數性凝聚層”；GAGA的全稱是Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique，發表在Annales de l’institut Fourier，Tome 6(1956)，pp.1-42，中譯名“代數幾何與解析幾何”。
④算術概形都可以定義出Zeta函數，通常就稱為Hasse-Weil Zeta函數，Riemann Zeta函數也包含在其中。
⑤Weil也以自己的方式為代數幾何建立了一套基礎理論，並寫出了Foundations of Algebraic Geometry(1946)及Variétés Abéliennes et Courbes Algébriques(1948)等書，他在這個基礎上證明了對於曲線的上述猜想。
⑥參考：Grothendieck，Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L，Séminaire Bourbaki 1964/65，279。
⑦參考:Deligne，La conjecture de Weil，I. Publications Mathematiques de l’I.H.E.S.，Tome 43，n°2（1974），p.273-307，中譯名“Weil猜想I”。
⑧對於Mordell猜想本身，後來也有一些較為“初等”的證明。
⑨這並不是原始的Riemann假設，只是與它具有類似的形狀。
⑩中譯名“代數拓撲與層理論”。
⑪中譯名“同調代數中的幾個關鍵問題”。
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