泡利：得天獨厚的量子理論構造者_風聞

泡利是量子論、量子力學和量子場論的構造主角之一。不相容原理、矩陣力學解氫原子問題、泡利方程、自旋—統計定理以及預言中微子等是人們熟知的泡利的幾項成就。此外，就對物理學的理解與闡釋能力而言，泡利也是罕有其匹的。關注泡利的成長過程有助於我們理解什麼是合格的教育。真受過教育者做科學的範兒會彰顯一份從容。

撰文 | 曹則賢 (中國科學院物理研究所)

來源 | 選自《物理》2025年第1期

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少年天才

沃爾夫岡·泡利，德文全名為Wolfgang Ernst Friedrich Pauli，1900年4月25日出生於奧地利維也納。泡利的父親名為Wolfgang Josef Pascheles (1869—1955)，後來自作主張把姓Pascheles改成了Pauli。老泡利是維也納大學的醫學化學老師，1922年在兒子沃爾夫岡·泡利作為物理學家已經名滿天下時獲得了全職教授位置，比兒子早了一年。老泡利本人也是個學者，也忙着發表論文，故泡利早年的文章會署名Wolfang Pauli, Jr.，以示區別。老泡利在布拉格長大，1879—1883年間他上中學時有個同班同學叫Ludvig Mach，這個路德維希·馬赫是Ernst Mach的長子。恩斯特·馬赫就是我們熟知的生理學家、物理學家、實證主義哲學家大神馬赫，在1867—1895年間是布拉格大學的實驗物理教授。直到馬赫1916年去世，泡利一家和馬赫一家都保持着親密交往。小泡利實在是太可愛、太聰明瞭 (圖1)，估計是泡利天生的靈氣太討馬赫喜歡了，這個爺爺輩的學術巨擘答應做他的教父，故泡利的中間名是馬赫的名Ernst。

圖1 泡利20個月大時和母親的合影

泡利成長在學者之家，教父又是馬赫這樣的大神，小時候學習的條件相當不錯。馬赫不僅讓小泡利擺弄他的各種科學儀器，還指點小泡利應該閲讀的科學著作，1913年馬赫更是在他的力學名著Die Mechanik in ihrer Entwickelung (力學歷程) 扉頁上手書“Meinem lieben Patenkind Wolf in freundlichem Gedanken (懷着愉快的心情致我親愛的乾兒子小狼狼) ”來鼓勵小泡利閲讀。馬赫還推薦維也納大學的函數論名家維爾廷諤 (Wilhelm Wirtinger，1865—1945) 教授輔導小泡利的數學，到1914年泡利就學完了微積分。泡利就讀的中學是維也納的Dobling中學，他的同班同學庫恩 (Richard Kuhn，1900—1967) 是1938年的諾貝爾化學獎得主，比泡利早7年。

泡利18歲中學畢業，兩個月後發表第一篇研究論文，主題是廣義相對論。此後，泡利進入慕尼黑大學，投入索末菲的門下。在1919年，導師索末菲讓泡利為德國數學百科全書撰寫關於相對論的綜述文章，經一年後寫成237頁的長文，至今為經典範文。有文獻説，泡利19歲時就掌握了他那個時代最前沿的數學與物理，對外爾關於規範場論雛形的工作和愛因斯坦的廣義相對論都有深刻的見解。1919年5月10日，外爾寫信給他表達了合作的意願。那一年，外爾可是名滿天下的數學物理巨擘，而泡利不過是大二的學生。索末菲本人及其門下一眾弟子，特別地是朗德、海森堡和泡利，都是量子論的奠基人。泡利在21歲時上完大三即博士畢業{不必驚訝，有那時德語國家學制短且是真老師教的原因}，博士論文研究的是氫分子離子H2+模型 (Über das Modell des Wasserstoffmolekülions)。

泡利畢業後到哥廷恩大學玻恩門下做了一年的研究助手，後轉往哥本哈根的玻爾研究所從事研究，1923—1928年間在漢堡大學做教授。在1922—1928年這段時間裏，泡利對量子論和量子力學的建立做出了幾個奠基性工作。就對量子論的全面理解來説，泡利可能是第一號的。1926年，由H. Geiger和Karl Scheel編輯的《物理手冊》(Handbuchder Physik)之23卷為量子 (Quanten) 特輯，第一章即為泡利貢獻的量子論，278頁 (圖2)。其他六章皆為實驗類文章。這是對薛定諤波動力學出現之前的量子理論的系統回顧。

圖2 泡利1926年《量子論》一文的目錄截圖

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量子力學著作

論及一個科學家的學術貢獻，唯一作者的論文或書籍能夠提供比較可靠的依據。泡利的量子力學文章可大致羅列如下：

(1) Wolfgang Pauli, Theoretische Bemerkungen über den Diamagnetismus einatomiger Gase,Zeitschrift für Physik 2(3), 201—205 (1920)；

(2)Wolfgang Pauli, Jr., Quantentheorie und Magneton (量子理論與磁子), Physikalische Zeitschrift 21 (21-22), 615—617 (1920)；

(3) Wolfgang Pauli, Über das Modell des Wasserstoffmolekülions (關於氫分子離子模型),Annalen der Physik 373(11), 177—240 (1922)；

(4) Wolfgang Pauli, Jr., Über die Gesetzmäßigkeiten des anomalen Zeemaneffektes (關於反常塞曼效應的規則性), Zeitschrift für Physik 16(1),155—164 (1923)；

(5) Wolfgang Pauli, Jr., Zur Frage der Zuordnung der Komplexstrukturterme in starken und in schwachen aüßeren Feldern (強或弱場下複雜結構項的指認問題), Zeitschrift für Physik 20(1), 371—387 (1923)；

(6) Wolfgang Pauli, Zur Frage der theoretischen Deutung der Satelliten einiger Spektrallinien und ihrer Beeinflussung durch magnetische Felder (論一些譜線的伴線及其受磁場影響的理論意義), Naturwissenschaften 12(37), 741—743(1924)；

(7) Wolfgang Pauli, Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren (論原子中電子的閉合殼層與譜線複雜結構之間的關係), Zeitschrift für Physik 31(1), 765—783 (1925)；

(8) Wolfgang Pauli, Über die Intensitäten der im elektrischen Felde erscheinenden Kombinationslinien (論電場中出現的組合線的強度), Dan. Mat. Fys. Medd., 7(3), (1925)；

(9)Wolfgang Pauli, Jr., Über den Ein fl uß der Geschwindigkeitsabhängigkeit der Elektronenmasse auf den Zeemaneffekt (論速度依賴的電子質量對塞曼效應的影響),Zeitschrift für Physik 31(1), 373—385 (1925)；

(10) Wolfgang Pauli, Quantentheorie (量子論), Handbuch der Physik 23, 1—278 (1926)；

(11) Wolfgang Pauli, Jr., Über das Wassersto ff spektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik (論新量子力學觀點下的氫光譜),Zeitschrift für Physik 36(5)，336—363 (1926)；

(12) Wolfgang Pauli, Jr., Über Gasentartung und Paramagnetismus ( 論 氣 體 簡 並 與 順 磁 性), Zeitschrift für Physik 41(6-7), 81—102 (1927)；

(13) Wolfgang Pauli, Jr., Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons (走向磁電子的量子力學),Zeitschrift für Physik 43(9-10), 601—623(1927)；

(14) Wolfgang Pauli, Über das H-Theorem vom Anwachsen der Entropie vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik (論新量子力學觀點下的關於熵增的H-定理), In: Probleme der modernen Physik, Arnold Sommerfeld zum 60. Geburtstage, gewidmet von seinen Schülern, 30—45, Leipzig (1928)；

(15) Wolfgang Pauli, Diracs Wellengleichung des Elektrons und geometrische Optik (狄拉克電子的波動方程與幾何光學),Helvetica Physica Acta 5(3), 179—199 (1932)；

(16) Wolfgang Pauli, Einige die Quantenmechanik betreffenden Erkundigungsfragen (幾個關於量子力學的問題),Zeitschrift für Physik 80(9-10),573—586 (1933)；

(17) Wolfgang Pauli, Über die Formulierung der Naturgesetze mit fünf homogenen Koordinaten Teil I: Klassische Theorie (論用五同質座標表述

自然定律之一：經典理論)，Annalen der Physik (Series 5), 410(3), 305—336 (1933)；

(18) Wolfgang Pauli, Über die Formulierung der Naturgesetze mit fünf homogenen Koordinaten. Teil II: Die Diracschen Gleichungen für die Materiewellen (論用五同質座標表述自然定律之二：狄拉克物質波方程),Annalen der Physik (Series 5), 410(4), 337—372 (1933)；

(19) Wolfgang Pauli, Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik (波動力學的一般原理), Handbuch der Physik 24 (1), 83—272 (1933)；

(20) W olfgang Pauli, Théorie quantique relativiste des particules obéissant à la statistique de Einstein-Bose (遵循愛因斯坦—玻色統計之粒子的相對論量子力學),Annales de l’Institut Henri Poincaré 6(2), 137—152 (1936)；

(21) Wolfgang Pauli, Contributions mathématiques à la théorie des matrices de Dirac (對狄拉克矩陣理論之數學的拓展),Annales de l’Institut Henri Poincaré 6(2), 109—136 (1936)；

(22) Wolfgang Pauli, Über ein Kriterium für Ein-oder Zweiwertigkeit der Eigenfunktionen in der Wellenmechanik (論波動力學中本徵函數的單值或二值的判據),Helvetica Physica Acta 12(2), 147—168 (1939)；

(23) Wolfgang Pauli, The connection between spin and statistics,Physical Review 58(8), 716—722 (1940)；

(24) Wolfgang Pauli, Über die Invarianz der Dirac’schen Wellengleichungen gegenüber Ähnlichkeitstransformationen des Linienelementes im Fall verschwindender Ruhmasse (論狄拉克波方程關於無靜止質量情形下線元相似變換的不變性),Helvetica Physica Acta 13(3), 204—208 (1940)；

(25) Wolfgang Pauli, Relativistic field theories of elementary particles,Reviews of Modern Physics 13(3), 203—232 (1941)；

(26) Wolfgang Pauli, On Dirac’s new method of field quantization,Reviews of Modern Physics 15(3),175—207 (1943)；

(27) Wolfgang Pauli, Diracs Feldquantisierung und Emission von Photonen kleiner Frequenzen (狄拉克場量子化與低頻光子發射),Helvetica Physica Acta 19(4), 234—237 (1946)；

(28) Wolfgang Pauli, Eine Methode zur Bestimmung von Oszillatorenstärken (f-Werten)aus dem Starkeffekt (一個由斯塔克效應決定振子強度(f-值)的方法),Zeitschrift für Physik 124(1-2), 121—128 (1947)；

(29) Wolfgang Pauli, On the connection between spin and statistics,Progress of Theoretical Physics 5, 526—543 (1950)；

(30) Wolfgang Pauli, Der Begriff der Wahrscheinlichkeit und seine Rolle in den Naturwissenschaften (概率的概念與其在自然科學中的角色), Verh. Schweiz. Naturf. Ges., 76—79 (1952)；

(31) Wolfgang Pauli, Remarks on problems connected with the renormalization of quantized fields, Il Nuovo Cimento(10), 4(supplemento), 703—710 (1956)；

(32) Wolfgang Pauli, Continuous groups in quantum mechanics, Report CERN 56—31 (1956). 重現刊印見於Ergebnisse derExaktenNaturwissenschaften 37, 85—104 (1965)；

(33) Wolfgang Pauli, Die Verletzung von Spiegelungs-Symmetrien in den Gesetzen der Atomphysik (原子物理規律中的鏡像對稱破缺),Experientia 14(1), 1—5 (1958).

關於量子力學的專著，則有Wave Mechanics，Selected Topics in Field Quantization 和General Principles of Quantum Mechanics 三種，在後來的Pauli Lectures on Physics 中分別位列卷 5，卷 6 和卷 8。此 外 ， 泡 利 1926 和 1933 年的兩篇Handbuch der Physik上的文章也有單行本。泡利應該算是量子力學的詮釋者 (interpreter) 之一，其他有能力擔當這一角色的還包括約當、狄拉克和馮·諾伊曼。

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不相容原理

在原子論以及量子論的初級課本中都會提及泡利不相容原理。依當前Wikipedia的Pauli exclusion principle詞條，該原理的表述為“不能有兩個或多個半整數自旋的粒子 (比如費米子) 在遵循量子力學規律的體系內同時佔據同樣的量子態 (two or more identical particles with half-integer spins (i. e., fermions) cannot simultaneously occupy the same quantum state within a system that obeys the laws of quantum mechanics)”。不得不説，這個表述是個非常糟糕的轉述。首先，這裏的量子態是個非常含混的概念，其次半整數自旋的説法還得再等上幾個月才會有，至於自旋與統計 (費米子) 之間的關係那更是個很久以後長長的故事。泡利不相容原理出現在泡利的“論原子中電子的閉合殼層與譜線複雜結構之間的關係”一文中，其收稿時間是1925年1月16日，而烏倫貝克 (George Uhlenbeck，1900—1988) 和古德施密特 (Samuel Goudsmit, 1902—1978) 提出電子自旋文章的投稿時間則是當年10月17日。

鹼金屬的雙線及其反常塞曼效應是泡利思考多年的問題，關於其描述有一個經典理論無法自圓其説的發光電子之量子性質的二值問題，對此其類似惰性氣體閉合構型的原子實要依一個團動量{Rumpimpuls.猜測這是要説原子實是球對稱的，總角動量為0}或者作為磁-力學 (magnetomechanische) 反常之載體的形式參與。在強場情形下，原子實與發光電子之間的耦合強度可忽略，這兩個分系統，就穩態數目以及量子數的值和磁能量的值而言，可以當作鹼金屬原子那樣的原子實加上發光電子而無需賦予其他的量子性質。由此得到對原子中電子的一個用四量子數表示的一般分類法，除了主量子數(Hauptquantenzahl)n和兩個副量子數(Nebenquantenzahl)k1,k2外，當有外場時還要引入一個量子數m1。泡利的主量子數、副量子數的分別令人忍俊不禁。依德國大學的制度，讀博士的，除了要有一個主修專業 (Hauptfach) 外，還都要有一個副修專業 (Nebenfach)。泡利用haupt，neben作標籤，信手拈來。約當的副專業是動物學，所以這老兄先提出了量子生物學一詞。一個學位副專業為動物學的量子力學奠基人所提出的量子生物學，有那麼兩分靠譜。

關於原子的構造模型，泡利在斯通納 (Edmund Clifton Stoner，1899—1968) 的文章中找到了啓發，通過對斯通納工作的思考實現了實質性的進步 (ein wesentlicher Fortschritt durch Überlegungen von E. C. Stoner erzielt) 。斯通納指出，一個閉合的子團 (abgeschlossene Untergruppe) 裏的電子數，依賴於標記它的量子數k，而與主量子數n無關，也即與其他子團的存在無關。k=1的，有兩個電子；k=2的，有六個電子；k=3的，有十個電子。進一步地，對於給定的主量子數n，從在磁場下的鹼金屬光譜得出的單電子的能級數目——此情形下所有的簡併能級都展開了——正好等於對應同一個n值的惰性氣體的閉合殼層裏的電子數目。泡利認識到，閉合殼層裏的電子數目的問題，如果電子的狀態可以由四個量子數定義的話，可以約化為每一個狀態容納一個電子的簡單規則 (This led Pauli to realize that the complicated numbers of electrons in closed shells can be reduced to the simple rule of one electron per state if the electron states are defined using four quantum numbers)。

圖3 泡利1925年論文p.776上的截圖

後來傳為泡利不相容原理的，出現在該文的p.776上(圖3)。Es kann niemals zwei oder mehrere äquivalente Elektronen im Atom geben, für welche in starken Feldern die Werte aller Quantenzahlen n,k1,k2,m1 (oder, was dasselbe ist, n,k1,m1,m2) übereinstimmen. Ist ein Elektron im Atom vorhanden, für das diese Quantenzahlen (im äußeren Felde) bestimmte Werte haben, so ist dieser Zustand‘besetzt’”. 這段可大致翻譯如下：“在原子中永不會出現兩個或多個等價的電子，其在強場下的量子數n, k1, k2, m1(或者n, k1, m1, m2，也是一樣的)相同。若原子中有個電子，它的這些量子數 (在外場下) 具有確定的值，則這個狀態是‘佔據的’”。泡利用的量子數記號n, k1, k2, m1對應現在的n, l, m; ms。你看，泡利的表述要比textbook writers嚴謹得多，這就是我們學物理不能指望textbooks的原因。

泡利説，對此規則的進一步 (找) 理由我們給不出來 (Eine nähere Begründung für diese Regel können wir nicht geben)，就是它自己看起來蠻自然的。這個問題，只當我們獲得關於量子論之基礎原理的進一步深化才有可能解決 (nach einer weiteren Vertiefung der Grundprinziplen der Quantentheorie erfolgreich angreifbar sein)。僅僅等到第二年，薛定諤方程即告問世，當將薛定諤方程用於氫原子問題時，前三個量子數得到了解釋，且它們之間的關係也變得一目瞭然。至於第四個量子數，就在1925年底，烏倫貝克和古德施密特大膽地提出了電子自旋的概念。

後來關於泡利不相容原理的表達變成了“對於多粒子體系，總的波函數關於兩全同粒子對調只能是對稱的 (玻色子) 或者反對稱的 (費米子) ”。看，還是在強調一種神奇的二值性 (Zweideutigkeit) ，即要麼對稱要麼反對稱。

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構造矩陣力學

1925年，玻恩看明白了海森堡論文中要用到的數學是矩陣，於是要求泡利來完成其中的數學部分，但泡利拒絕了。在玻恩和約當構造矩陣力學的文章Zur Quantenmechanik一文 (收稿日期為1925年9月27日) 出來後，泡利迅速跟上了這門新的力學，發表了“新量子力學觀點下的氫原子譜”，用矩陣力學得到了氫原子光譜巴爾末項的表達。這是第一個矩陣力學應用的案例。如同狄拉克的矩陣力學論文，泡利這篇論文是矩陣力學發展過程中的重要環節。詳情參見本系列的《量子力學之矩陣力學》一文，此處從略。

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量子力學的泡利方程

由反常塞曼效應、海森堡的半量子數以及泡利不相容原理，終於催生了電子自旋的概念。1925年，在荷蘭萊頓，兩個莽撞的年輕人在埃倫費斯特 (Paul Ehrenfest，1880—1933) 的鼓勵下，投出了論電子轉動的論文。論文共三篇，分別為

(1) G. E. Uhlenbeck, S. Goudsmit, Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderung bezüglich des inneren Verhaltens jedes einzelnen Elektrons (用一個與單電子之內在行為有關的要求代替非力學強制假設),Naturwissenschaften 47, 953—954 (1925)；

(2) G. E. Uhlenbeck, S. Goudsmit, Spinning Electrons and the Structure of Spectra,Nature 117, 264—265 (1926)；

(3) S. Goudsmit, G. E. Uhlenbeck, Over Het Roteerende Electron En de Structuur der Spectra (論轉動電子與譜結構)，Physica 6, 273—290 (1926).一文用德、英、荷三語種發表，可見作者對確立優先權的重視。這裏的Spinning，轉動的，就是荷蘭語的roteerende，德語的Rotierende，英語的rotating，沒有什麼特別的。漢語關於spin的“自旋”譯法裏的“自”，屬於翻譯者強加的。西語也有時強調自旋，會説self-rotation, eigene Rotation。據説，科洛尼希(Ralph Kronig，1904—1995)先提出了電子自旋的概念，但泡利認為電子自旋如欲產生h/2那麼大的角動量，表面線速度要超過光速{也是瞎扯。電子的大小恐不好定義}，肯定不對。科洛尼希未敢投稿，可惜了。關於自旋發現的故事，可參閲Abraham Pais, Niels Bohr’s Times, Clarendon Press(1991)。

實是磁鈍的(magnetisch unwirksam)，因此，在論及鹼金屬譜時量子數只應賦予發光電子。關於X-射線和鹼金屬譜的雙線問題，海森堡的解釋是存在經典無法描述的二值性[Weiner Heisenberg，Zeitschrift für Physik 32, 841(1925)]，烏倫貝克和古德施密特覺得還有一種可能，即用不同於朗德的四量子數來描述電子，其意義分別為：n和k如前是描述電子軌道的主量子數和方位角量子數，而將R賦予電子的自旋(eine eigene Rotation des Elektronszuordnen)。

泡利看到關於自旋的論文出現當時是如何反應的，筆者不瞭解。但是，又是泡利對自旋概念之發展做出了關鍵的一步，即提出二分量的波動方程——泡利方程。

二分量波函數形式的波動方程稱為泡利方程，有些地方會稱為薛定諤—泡利方程，是泡利在1927年的Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons一文中表述了的。比較1925年玻恩和約當創立矩陣力學的第一篇文章題目Zur Quantenmechanik，照顧到德語介詞zu(to)的意思，我傾向於把Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons譯成“走向磁電子量子力學”，強調這裏關注的是一個構造過程。

對於一個電荷為q 處於電磁場(A,ϕ)下的粒子，泡利方程的一般形式為

果是出現在量子力學之前的，想來好笑。學問的歷史邏輯不一定是學問的內稟邏輯，但學問的歷史邏輯一定自有其道理，是欲為學問創造者應該瞭解的道理。混淆了學問的歷史邏輯一定程度上會給理解帶來困難。

納入量子力學[Werner Heisenberg, Pascual Jordan, Anwendung der Quantenmechanik auf das Problem der anomalen Zeemaneffekte (量子力學在反常塞曼效應問題上的應用) ,Zeitschrift für Physik 37, 263—277(1926)]，但欲處理這個本徵矩在外場下受力的情形，就遭遇了獨有的形式困難 (eigentümliche formale Schwierigkeiten)。泡利注意到，恰當地使用約當—狄拉克的變換理論，其允許得到薛定諤函數的一般正則變換，根據本徵函數的方法可以得到關於磁電子行為的量子力學描述而無需動用多值函數。為此，要將電子之繞某固定方向的角動量分量作為新的獨立變量，相應地，每一個量子態本徵函數都分裂成兩個函數ψα(qk)，ψβ(qk)。當然，還要得到在外場下的微分方程，其應和海森堡與約當的矩陣方程等價。

泡利要做的，是把繞固定方向的電子本徵(磁)矩作為獨立變量引入波函數，並定義相應的算符。在經典理論中，電子總磁矩s與對應的轉角χ是一對正則變量，但轉角χ是Zyklisch{週期的，循環的，不出現的，cyclic, ignorable，kinosthenic}，它不出現在哈密頓量中，總磁矩s是守恆量。剩下的就是磁矩的z-分量及其共軛的轉角φ這一對正則變量(sz, φ)。狀

彎子而直接代入合適的算符。泡利的這一段自白很重要(圖4)，後來把由泡利方程近似得來的歸於原子物理的內容當作嚴謹的進一步研究出發點的研究，讓我想起錯層壘起的高樓：每一層相對於下一層看似都沒偏離幾毫米，就是頂端的重心在基礎外，就算不坍塌也是無意義的樣子貨。

圖4 泡利1927年論文p.607上的截圖

圖5 泡利1927年論文p.608上的截圖

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自旋-統計定理

泡利關於自旋的一個值得一説的工作是自旋—統計定理 (spin—statistics theorem)。確切地説，這個原理是泡利的學生菲葉茨 (Markus Fierz，1912—2006) 1939年率先提出來的[Markus Fierz, Über die relativistische Theorie kräftefreier Teilchen mit beliebigem Spin(任意自旋的自由粒子的相對論理論),Helvetica Physica Acta 12(1), 3—37(1939)]，但是在泡利指導下進行的 (unter Leitung von Prof. W. Pauli ausgeführt)。1940年泡利系統地重新推導了一遍，提出了此定理證明需要的三個公設。1949年，費曼 (Richard Feynman，1918—1988) 給出了一個全新的推導，1950年泡利又發文指出費曼實際上是明顯地用到了他提出的前兩個公設，至於第三公設，費曼先允許負概率的出現然後甩掉那些概率大於1的場論結果，實際上是隱性地使用了第三公設。{這些大科學家的工作，筆者沒有能力評論，但是遇到負概率以及大於1的概率這樣的理論，筆者本能地有排斥的衝動}。施温格(Julian Schwinger，1918—1994) 1950年基於時間反演不變性的證明，是在伯林凡特 (Frederik Belinfante，1913—1991)1940年基於電荷共軛不變性的證明後的一個新進展，這導致了泡利1955年將自旋—統計定理同CPT定理聯繫起來 [W. Pauli, L. Rosenfelf, V. Weisskopf(eds.),Niels Bohr and the Development of Physics, McGraw—Hill(1955)]。相關內容超出筆者的理解能力，略去不論。

菲葉茨指出，在沒有外場的情形下，可以給出自旋為整數的或者半整數但大於1的粒子的波場。自旋為整數的粒子必有玻色統計，而自旋為半整數的粒子則必有費米—狄拉克統計 [Es zeigt sich, dass Teilchen mit ganzem Spin stets Bosestatistik, Teilchen mit halbganzem Spin stets Fermi-Dirac-Statistik hahen müssen]{1939年，這個瑞士人堅持用玻色統計和費米—狄拉克統計的説法，他是有多討厭愛因斯坦}。自旋小於等於1的粒子的自由波場已表明，單個粒子的荷密度與能量可唯一地確定，是規範不變量，而對於高自旋的粒子僅僅總荷與總能量是這樣的。

泡利1940年的文章提到了公設I和公設II，1950年提到的三個公設如下：

(1) The vacuum is the state of lowest energy. So long as no interaction between particles is considered the energy difference between this state of lowest energy and the state where a finite number of particles is present is finite {即自由粒子能量正定}.

(2)Physical quantities (observables) commute with each other in two space-time points with a space-like distance{類空距離的兩時空點上的觀察量對易}.

(3) The metric in the Hilbert-space of the quantum mechanical states is positive definite. This guarantees the positive sign of the values of physical probabilities{保證概率是0到1之間的正經的數}.

自旋與統計聯繫的問題是相對論不變的量子場論 (relativistically invariant quantized field theories) 語境下的問題。引用泡利的原話，自旋與統計之間的聯繫是狹義相對論最重要的應用之一 (the connection between spin and statistics is one of the most important applications of the special relativity theory)。有興趣的讀者請研讀相關文獻。此外，菲葉茨和泡利在1939年還有關於電磁場下任意自旋粒子的相對論波函數的討論[M. Fierz, W. Pauli, On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field,Proc. Roy. Soc. A 173, 211—232(1939)]，也值得關注一下。

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關於泡利矩陣的補充

量子力學的泡利方程的一個關鍵角色是泡利矩陣，但是不要誤解為泡利創造了這個矩陣3-矢量，泡利矩陣也出現在其他語境，且早於1927年。泡利在1927年文章607—608頁上的腳註中提到，是約當提醒他注意到那些矩陣同四元數之間的聯繫。記四元數為

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多餘的話

泡利是個幸運兒，自己聰明不算，還得到了良好的教育，他的教父馬赫、他的論文導師索末菲和他第一份工作的老闆玻恩都是巨擘級的人物，他的生父和中學時輔導他數學的教授也都是一流的學者。有些人上了一輩子學也沒可能遇到一個合格的老師。

泡利是一個早熟天才 (child prodigy，Wunderkind)，成年後依然保持早熟天才的特點。他本人對量子力學做出貢獻的幾個關鍵點上的表現似乎説明了這一點。1925年，玻恩認識到了海森堡的色散關係呼喚矩陣力學，他首先想到的是前助手泡利，此時泡利已經去了漢堡大學。泡利毫不猶豫地拒絕了，他甚至認為玻恩的公理化嘗試會毀了海森堡的直覺物理。等到玻恩—約當以及玻恩—海森堡—約當的矩陣力學文章面世以後，泡利迅速跟了上來，他用矩陣力學解決了氫原子問題，證明了矩陣力學的可實用性。泡利本人是不相容原理的提出者，對自旋的概念卻持否定態度，結果讓古德施密特和烏倫貝克率先提出了自旋概念。後來偏偏是泡利給出了帶自旋的電子波動方程，後來又和學生一起證明了自旋—統計定理。1926年，薛定諤提出了波動方程，泡利也不是很熱心，但又是他1927年第一個提出了波函數為二分量函數的波動方程，由其得到的許多結果後來成了原子物理的內容。

量子力學是個四面漏風的構造性學問。它的一些部分地成功的應用掩蓋了它的諸多不盡如人意處。所謂account for a phenomenon取決於我們對phenomenon認識了多少以及我們對“account for”的要求之高低。泡利是理論物理領域裏橫衝直撞的殺手，他只問是否有自己感興趣的問題，自己是否及時趕上了，而不會受什麼專業的限制。然而，如果仔細研讀泡利的量子論和量子力學論文，其始終具有狹義相對論的底色。泡利的性格與能力，應了量子力學這門構造性學問誕生的時代性召喚。

圖6 泡利在講解量子力學(1929)

對量子力學，包括之前的量子論以及後來的量子場論，有比較全面理解的，依筆者淺見，大約只有約當、泡利與狄拉克三人。也許因這三人皆才氣逼人，故都不太討喜。據説泡利很毒舌，這讓很多人受不了。埃倫費斯特給泡利起了個外號“Die Geissel Gottes” (上帝之鞭)，這又似乎是讚美。科學失去了批判的良心，恐怕也會淪為世俗的買賣。山巔之上的舞蹈不要指望被山腳下的人欣賞。泡利高才、孤傲，但是活躍在索末菲、愛因斯坦、玻爾、玻恩、約當、海森堡、薛定諤、狄拉克、馮·諾伊曼等一干高人並起的量子力學奠基時代，他的學術生活倒也從不缺別人的理解與欣賞 (圖6)。這又是泡利的一大幸運。

參考文獻

[1] von Meyenn K(ed.). Wolfgang Pauli, Wissenschaftlicher Briefwechsel (泡利學術信件). Springer，1979—2000

[2] Enz C P. No Time To Be Brief (不容了了). Oxford University Press，2002

[3] Pais A. The Genius of Science. Oxford University Press，2000

[4] Pauli W. Science，1946，103(2669)：213

本文經授權轉載自微信公眾號“中國物理學會期刊網”。

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