這種廣義逆矩陣，由彭羅斯在24歲時重新發明｜N文粗通線性代數_風聞

不少同學在初學線性代數時感到迷茫、痛苦，體會不到課程的實際意義。這很大程度上是因為，教材為了由淺入深、循序漸進，須從基礎的抽象概念講起，而真正直觀的部分，往往要等到後面的細分領域或具體應用。於是初學者往往知其然，不知其所以然；只見樹木，不見森林。希望本文能讓你換個視角，以輕鬆有趣的日常眼光，看到一個不一樣的線性代數。

本文是系列文章《N文粗通線性代數》的第五篇。在上篇文章中，我們討論瞭如何處理線性方程組無解、有無窮多解的情形。當A為滿秩方陣時，線性方程

撰文 | 吳進遠

上回書説到，某近視宅男，某日下樓到早點鋪買早餐。眼鏡忘在家裏，看不清黑板上寫的價目。於是，宅男就一邊排隊，一邊聽着前邊顧客買早點的品種數量，和服務員小妹報的總價，據此計算各種早點品種的單價。

宅男買了早餐，一邊吃，一邊思考。我們知道，只有正方形的矩陣，也就是説，行數與列數相同的矩陣，才可能存在逆矩陣。不過，即使是正方形的矩陣，也不一定有逆矩陣。因為一個矩陣存在逆矩陣的條件，除了必須是方的，它還必須是滿秩的。可是，我們在現實世界中，經常會遇到不方的矩陣，或者不（列）滿秩的矩陣。對於這種情況，難道我們就只能乾瞪眼，一籌莫展嗎？

這個問題本身是一個實實在在的問題。在求解線性方程組的時候，儘管我們可能無法求出方程的唯一解，但我們希望通過這個方程組瞭解未知數之間的關係。這就要求我們去尋找一個任意矩陣的廣義逆矩陣。

（1）假美術老師教的真數學

一個任意矩陣A，不管這個矩陣是不是方的，也不管它的秩滿不滿，假如有個矩陣G，符合 AGA = A 這樣一個條件，則G就被稱為A的一個廣義逆矩陣。如果同時符合 AGA = A 和 GAG = G 這兩個條件，則G被稱為一個自反的廣義逆矩陣。我們下面討論一個例子。

矩陣的作用可以用座標變換來解釋，實際上，繪畫攝影都可以看成是座標變換。當然我這樣説藝術家們會抄起苕帚把我趕出去，所以這裏需要限定我們説的是像我這樣的假美術老師。比如有一天，我畫了一個蘋果。

我自己畫技很差，但如果換成一個經過訓練的畫家，應該不難畫得像下圖那樣非常像。

這個圖實際是P出來的，用在這裏是為了表明有的畫家確實是可以畫到這麼像的。

我們可以把攝影看成是一個矩陣：A。它的作用是把實物（x）或者畫作（v）變成照片（u）。

實物變成照片：u = Ax

畫作變成照片：u = Av

同樣，我們可以把繪畫看成一個矩陣：G。它的作用是把實物或者照片變成畫作。

實物變成畫作：v = Gx

照片變成畫作：v = Gu

在現場，我們不難看出畫作和實物是很不相同的，同樣，照片和實物，照片（斜着一定角度拍攝的照片）和畫作也都是不同的。

不過，我們可以進行如下操作：

這個過程中，照片1如果和照片2相同，則繪畫矩陣G可以看成是攝影A的廣義逆矩陣，因為它們符合 AGA = A。

同理，我們可以進行如下操作：

如果畫作1和畫作2相同，則有 GAG = G。

這裏強調一下，繪畫顯然不是攝影的逆矩陣，因為我們不可能從照片畫出一個真的蘋果，哪怕是一個三維的模型蘋果也不行。但繪畫卻是攝影的廣義逆矩陣，因為把照片通過繪畫變成畫作之後，再把畫作通過攝影變成照片，這兩張照片是一樣的。

同理，攝影不是繪畫的逆矩陣，但卻是它的廣義逆矩陣。

兩者同時是對方的廣義逆矩陣，並且都是自反的。

（2）尋找靠譜的廣義逆矩陣

現在，我們換數學老師換一個角度來討論。廣義逆矩陣要滿足什麼條件呢？如前所述，對於一個矩陣A，如果有另一個矩陣G，滿足 AGA = A 這個條件，G 就是A的一個廣義逆矩陣。我們仍然用近視宅男買早餐為例，來説明廣義逆矩陣的定義。

比如宅男前面假定只有兩個顧客，如下表所示。

這兩筆買賣構成一個線性方程組，用矩陣乘法寫出來是這樣的：

很顯然，這裏我們有三個未知數，卻只有兩個方程，約束條件不夠，不可能有唯一解。從係數矩陣上看，這個矩陣是矮胖的，顯然不是列滿秩的，因此這個矩陣沒有對應的逆矩陣。但我們可以定義這個矩陣的廣義逆矩陣。

這個定義可以畫成下面這樣一個圖。

早餐店有三種食品，三個單價構成向量x。兩個顧客購買不同品種食品的數量，構成一個2行3列的矩陣A。而兩位顧客購物總價構成一個有兩個元素的向量y。總價的計算過程是一個矩陣乘法 Ax = y，這個計算如圖中第一行所示。

我們從兩個顧客的購物總價y出發，儘管無法計算出三種食品的準確單價，但完全可能算出一組可能的單價u，如上圖第二行所示。這個算法説到底是把y裏的兩個元素拿來做線性組合，這個線性組合可以看成是一個矩陣乘法：u = G y，其中G是A的廣義逆矩陣，它可以從A計算出來，儘管這個計算比較複雜，我們暫時先不討論。注意，這裏算出的可能單價u與我們事先知道的單價x完全可能是不相同的，但這組可能單價應該是靠譜的。

可是，“靠譜”又是什麼意思呢？我們通過上圖第三行來解釋。簡單説，就是 Au=y。或者説，當我們用這一組新的可能單價去代替我們事先知道的真實單價，以此計算前兩位顧客的購物總價時，得到的結果必須不變。具體在我們這個例子中，我們事先知道的單價：油餅3元，茶葉蛋4元，豆腐腦7元。而使用廣義逆矩陣，我們可能算出另一組可能單價：油餅3元，茶葉蛋5.5元，豆腐腦5.5元。這一組可能單價顯然不是我們事先知道的真實單價，但由這組可能單價算出的兩位顧客的購物總價卻是不變的。實際上，當茶葉蛋單價加豆腐腦單價等於11元時，我們總會得到相同的結果。

（3）廣義逆矩陣可能不止一個

我們要求廣義逆矩陣“靠譜”，或者説 AGA=A，這是一個非常松的條件。因為這個條件很鬆，因此對於一個矩陣A，完全可能有無窮多個矩陣G滿足條件。因而一個矩陣可能有無窮多個廣義逆矩陣。

當然，如果矩陣A是一個滿秩的方陣，則它的廣義逆矩陣就只有一個，這個廣義逆矩陣就是我們以前學過的逆矩陣。

在 AGA = A 中，確實（GA）這個乘積有點像單位矩陣，因為它與A相乘還會得到A：A（GA） = A，但（GA）通常不是單位矩陣，它通常只能還原A，而不能還原其他矩陣。

（4）在廣義逆矩陣中挑三揀四

雖然滿足 AGA = A 的矩陣G是一個“靠譜”的廣義逆矩陣，但滿足這個條件的矩陣G在一般情況下會有無數個。像我們前面這個例子中，只要一個矩陣G能算出茶葉蛋單價加豆腐腦單價等於11元，它就可以算一個廣義逆矩陣。

我們自然會想到，能不能讓我們挑選的廣義逆矩陣範圍縮小一點，最好能縮小到只剩下一個？

我們人類一向如此，任何事物沒有的時候焦慮，多了也焦慮。比如富家小姐挑女婿，先提個條件要個子高，符合條件的多了就又提條件要家裏富，然後再提條件要長得帥。

縮小廣義逆矩陣範圍其實也是這個思路，沒有什麼萬里挑一的事情不能通過加限制條件來實現，如果不行，那就再加幾個條件。

我們最容易想到的條件是 GAG = G，從外觀上看它和 AGA = A 對稱。它表達的意思可以用下圖來説明。

在我們前面買早餐的例子中，根據兩個顧客的付款額y’，我們可以用廣義逆矩陣算出三種食品的單價，儘管這個單價和真實的單價並不一樣，但它多少能提供一點有價值的信息。比如，從道理上説，如果今天兩個顧客的付款額都比昨天低了，我們可以猜出今天有優惠，食品單價降低了。

利用我們手裏眾多廣義逆矩陣中的一個，近視宅男可以算出今天的食品單價 u = Gy’，如上圖第一行所示。當然，這一組單價並不一定正確。使用這一組單價，服務員小妹可以算出兩位顧客的付款額：Au = y，如上圖第二行所示。注意這一組付款額y和近視宅男聽到的y’可能會是不同的。現在如果近視宅男反過來再算食品單價 u = Gy ，如上圖第三行所示，一般情況下不一定會得到相同的結果。不過，由於廣義逆矩陣一般情況下有無數個，如果一開始我們選擇了一個合適的廣義逆矩陣G，它滿足GAG =G，則上圖第一行與第三行這兩次計算都會算出相同的單價。

我們看到 AGA = A 和 GAG = G 這兩個條件是對稱的，同時符合這兩個條件的一對矩陣A與G互為廣義逆矩陣，它們互相之間是自反的（reflexive）。在有的文獻中，把符合 AGA = A 這個條件的矩陣G，叫做A的內逆（inner inverse）；把符合 GAG = G 這個條件的矩陣G，叫做A的外逆（outer inverse）。

有了 AGA = A 和 GAG = G 這兩個條件，同時符合這兩個條件的廣義逆矩陣數目顯然少了，但令人抓狂的是，對於一個一般的矩陣A，我們仍然可能會有無數個G。這就需要我們進一步增加限制條件，我們後面會進一步討論。

（5）挑出唯一的那個廣義逆矩陣

增加限制條件可以讓我們的尋找範圍縮小，可以想象，如果選定的條件合適，我們完全可能在無數個廣義逆矩陣挑出唯一的一個。當然這裏還必須確保我們設定的條件不能太苛刻，因為那樣可能會出現沒有廣義逆矩陣符合全部條件的尷尬情形。好在，我們現在至少有一組條件，可以確保篩選出一個、而且只有一個廣義逆矩陣。

現在，到了彭羅斯閃亮登場的時候了。對於任何一個矩陣A，存在一個而且只存在一個矩陣G，同時滿足下面四個條件。這個矩陣G叫做矩陣A的彭羅斯逆矩陣。

可以看出，這四個條件中，第一個是廣義逆矩陣的定義，第二個是我們剛剛討論的自反廣義逆矩陣的關係式。第三和第四兩個關係式中“*”是共軛轉置的意思，就是把裏面所有元素換成共軛複數，同時把元素的行與列對調。如果括號裏矩陣所有元素都是實數，則共軛轉置“*”與轉置“T”等價，或者説括號裏兩個矩陣的乘積AG或GA對稱。（這裏提醒讀者注意，A通常不是正方形的，因而G通常也不是正方形的。但AG以及GA卻是正方形的，這兩個正方形矩陣一般情況下一個大一些另一個小一些。）第三個條件讓廣義逆矩陣提供最小二乘解，同時滿足第一與第三條件的G，在 Ax = y 自相矛盾沒有解的情況下，可以用 Gy 算出最小二乘解。（當原方程組不自相矛盾時，Gy 就是方程組的解）。而第四個條件讓廣義逆矩陣提供最小范數解。我們知道，如果原方程組約束不夠，則它可能有無窮多解。現在第四個條件的作用是把最小范數解挑了出來。

在大學教科書上留下名字的人，幾乎沒有活人，但羅傑·彭羅斯（Roger Penrose）還活得好好的，他2020年得到了物理學的諾貝爾獎，成果是黑洞方面的。

羅傑·彭羅斯 | Nobel Prize Outreach. Photo: Fergus Kennedy

彭羅斯發現彭羅斯逆這個工作發表於1955年，説起來，這種逆矩陣在30多年前就已經被前人發現了。可是彭羅斯當時壓根不知道這回事，從某種意義上説，可以算是再次發明輪子（re-inventing wheels）。

當然這個事情並不能怪彭羅斯，因為當時數學界很多人也不知道這回事。實際上，在彭羅斯之前，1951年，瑞典大地測量學家Arne Bjerhammar已經重新發明過一回輪子了。到彭羅斯投稿的時候，至少可以想象他那篇文章的審稿人也不知道前人的工作，否則這篇文章就可能發不出來了。你可能覺得哪個編輯敢拒稿諾獎得主的文章？但諾獎得主也有做黃口小兒的時候。彭羅斯得諾獎是60多年後的事情，他當時只是個24歲的博士生。

當初在1920年發現這個廣義逆矩陣的數學家是穆爾（Eliakim Hastings Moore），他是用矩陣的行列子空間上的投影來表述他的發現的，非常抽象難懂，所以沒有很多人繼續研究下去。我沒有查到他1920年的論文原文，但讀過後人的一個轉述文章。大家形容文章難懂都是説字全認識意思不懂，可這篇文章裏我連有的字母都不認識。上網查了希臘、希伯來、西裏爾字母表都查不到，最後發現那個不認識的字母是一種花體的拉丁字母。

穆爾 | wikipedia

若干年後人們知道彭羅斯的逆和穆爾的逆是等價的，但彭羅斯和穆爾的表述非常不同。此外，彭羅斯的四個條件是可以拆開來互相混搭使用的，由此能夠揭示廣義逆矩陣的更多新奇性質。因此數學界完全認可彭羅斯的新貢獻，人們現在把這種逆叫做穆爾-彭羅斯逆。我們後面會進一步討論。（未完待續）

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