位置示數法：一種有代數符號功能並具優勢的中國傳統數學方法_風聞

代數符號的引入與使用，對數學的發展具有重大的促進作用。中國古代的籌算採用了一種位置示數法，具有代數符號的功能。它不僅藉助位置來表示數，而且用位置來表現各種未知數及其不同次數的冪，還利用相對位置的調整來實現代數運算的功能，且在某些方面更具優勢，充分展現了中國傳統數學的特色。將中國傳統數學的位置示數法與現代數學的符號代數法結合，有可能為數學的發展提供新的思路。

撰文 | 鄒大海（中國科學院自然科學史研究所）、夏慶卓（中國科學院自然科學史研究所、中國科學院大學）

用代數符號來表示未知量或可變量，對於數學的發展具有重要的意義。[註釋1]成套的數學符號是16世紀以來在歐洲首先發展起來的[1]。在西歐數學傳入以前，中國傳統數學很少使用代數符號，但代數學卻是很發達的。究其原因，中國古代的哲人充分發掘位置在數學中的重要作用[註釋2]，開發出了一套用位置標示數學含義的方法，可以實現後來近現代數學中代數符號的功能[註釋3]，這種方法我們稱為位置示數法。之所以不稱“位置代數法”，是因為古代並不是讓一個位置本身一定代表一個數或未知量，而只是強調這個位置被用來賦予在該位置或其附近位置上所放置的數據的含義。位置示數法，不僅造就了最早的十進位值制記數法，而且利用位置標示不同的未知數或未知數的冪，進而通過簡單操作實現代數運算的功能。本文揭示，比之近現代數學中的代數符號及其運算，中國古代的位置示數法還未發展出那麼豐富的功能，就已經在相當長的時期內失傳，但它在某些方面卻更具優勢。本文提出，將中國傳統數學中充分發揮位置功能的思想和方法與現代數學的符號表示法結合起來，藉助現代計算機技術，或許可以為現代數學的發展提供新的思路，從而為中華優秀傳統科技文化在新時代的弘揚，提供一個新的契機。

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算籌與籌算

中國傳統數學對位置的開發利用，始於算籌記數法。算籌是中國古代長期用來記數和計算的工具。古人用算籌來進行記數、表示數量關係，並進而以此為基礎進行演算。這些使用算籌的活動和相應的方法，叫做籌算。位置示數法，就是基於籌算語境而發展起來的數學方法。當然，這種方法後來也在珠算中發揮作用。

算籌又稱算、籌、策、籌策、算子等。算籌本身非常簡單，就是長條形小棍，材質有竹、木、金屬、骨頭乃至象牙等，但主要是竹和木，尤以竹質為多，所以表示算籌的字往往從竹。

算籌記數包括兩個方面。一方面，用算籌表示1-9的基本數字時，有縱、橫兩種形式：

表1

其中，對於1至5，表示幾就用幾根算籌；對於6至9，用一根放在上面的算籌表示所含的5，比5多幾就在下面用幾根算籌與表示5的算籌垂直靠攏放置。另一方面，用算籌表示十進制整數時，個、百、萬等奇數位用縱式，十、千、十萬等偶數位用橫式，縱、橫交錯擺放。若某位上數字為零，則空出相應的位置。如68012用算籌表示即

[2, 4-7]。此外，古人席地而坐，個位數字擺放在右膝蓋正前方的位置，這樣就可以很方便地對末幾位全為零的數（如560、5600）進行區分。

算籌記數可以追溯到原始社會以草莖、小棍記數，上述算籌記數制度應出現於西周和春秋之交而可能更早。這種記數法，只用9套符號（每套縱、橫2個，同一數字橫式和縱式視為一個的話則只是9個符號）就可以表示任意的自然數，是世界上最早的典型的十進位值制記數法。除符號形式外，它與今天的印度-阿拉伯數字記數法相同，而早於後者至少數百年。不僅如此，古人還通過算籌的顏色（紅、黑）、形狀（截面為三角形、長方形）或擺放方式等來表示正負數。[2, 4-7]

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位置的數值功能

前面已經説到，中國古代的算籌記數法採用十進位值制。在這記數系統中，同一個數字符號a放在不同的數位，表示不同的數值：在個位表示a，在十位表示a個十，在百位表示a個百。數字擺放所處的位置，標示相應的數字單位，這是位置在中國古代數學中最常見和直觀的功能，它也一直沿用於現代的世界各地。當然，中國古代的算籌記數法所擺成的符號與印度-阿拉伯數碼形狀不同，而後者在不同時代和地區的寫法，也有所變化。

3

位置的未知量功能

中國古代數學中，位置也具有標識未知數的功能。當然，這種功能是通過一定的規則來實現的。首先看現在常用的線性方程組及其解法，中國古代早在兩千多年前就有相應的列法和解法，就稱為“方程”，《九章算術》專設第八章“方程”章來處理這類問題。不過，古人不用符號表示未知數，而是用不同的位置來體現不同的未知量或常數。如第一題是：

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九鬥；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四鬥；上禾一秉，中秉二秉，下禾三秉，實二十六鬥。問：上、中、下禾實一秉各幾何？[9]

其中“秉”是量詞，表示把、束。“禾”是從田間粟的植株收割下來帶有莖葉和谷穂的部分，“實”是從禾上打下來的穀子。這個問題假設有上、中、下三等禾，已知它們的秉數的3種組合,各得到已知數量的穀子（體積），要求出每等禾一秉分別能打下多少穀子。按現代的方法，可設每秉上等禾、中等禾和下等禾打出的穀子分別為x鬥、y鬥和z鬥，那麼由題設中每組已知條件可分別列出一個代數方程式。把3個代數方程式聯立起來，就得到一個線性方程組：

《九章算術》用算籌將三個等量關係表示成右、中、左三列數，形成一個方程，如圖1-1；如果把算籌符號換成現代的印度-阿拉伯數字，便得到圖1-2。可以看出，只要把圖1的豎列變成橫行，則與現代的增廣矩陣並無二致。所以古代的方程是一種採用類似於現代增廣矩陣的簡單形式，它只用幾組數就構成一個整體，這個整體對應於一個聯立線性方程組。

這種表示法的核心是將等量關係中的具體數字按特定的順序進行排布：

（1）各個等量關係中諸未知量的倍數（即現代數學中未知量的係數），在擺放到表示這些等量關係的各列中時都具有相同的順序。按現代的説法，就是將各列中x、y、z的係數都分別放置於從上至下的第一、二、三個位置。可見，各系數所處的位置具有表示相應未知量的功能。

（2）各個等量關係中的常數項總是放在對應列中的最下位置。也就是説，最下位置具有標示常數項的功能。

因此，儘管當時沒有使用未知量的符號，也沒有把常數項與未知項用可見的符號區分開來，卻通過無形的位置把它們都標識了出來，實現了近一千七八百年以後才採用的代數符號的功能。這種“方程”的表達方式與歐洲兩千年後用分離係數法表示線性方程組的增廣矩陣在形式和結構上都極為相似。不僅如此，中國上古時代“方程”的求解變換，與增廣矩陣的變換也是非常相似的。古代“方程”是增廣矩陣的一個太過早熟的先驅。法國科學院院士、曾任蘇黎士大學數學系主任的P. Gabrieal編寫的教科書《矩陣、幾何、線性代數》（Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra）第2節題為“方程算法”（Der Fang-Cheng Algorithmus），將處理線性方程組的增廣矩陣方法稱為“方程法”（Fang-Cheng-Regel），取代了以前的流行稱謂“高斯消元法”[10]。另外，正是由於“方程”這種特殊的結構與表達方式，導致了中國早在戰國時代就引入了正負數概念，並能順利地進行正負數的四則運算，而沒有陷入歐洲直到19世紀還存在的關於負數合法性的糾結中。[7, 11]

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位置指示未知數的冪

對於一元多項式或一元高次方程，中國古代不用未知數符號，自然也就沒有符號來表示未知數的冪。古人想到的辦法，還是通過位置來區分。他們將表示某個數的算籌放置在特定的位置，來表明它是未知數若干次冪的倍數（或標示它為常數項）。例如在宋金元時期，對於一元高次方程，通常將常數項、一次項、二次項直到最高項的係數從下至上排列（也有反過來排列的）就可以把它表示出來。

也就是説，從下至上的位置對應着已知數（常數，按現代的説法也可以説是未知數的0次方）、未知數的一次方、未知數的二次方、…、未知數的最高次方。而一個位置上放着表示某數的算籌，表示這個數與該位置表示的未知數的冪相乘，

或表示放在該位置的數為已知數（也可以説是該數與未知數的0次方相乘）。圖2-1是《測圓海鏡》卷3第5題的算草中列出的帶從開方式，把算籌符號改為印度-阿拉伯數字後即圖2-2，相當於一元三次方程x3–336x2+5184x+2488320=0。如果有必要，古人也在標示一次項的位置的旁邊放置一個“元”字或在常數項的旁邊放置一個“太”字[5]，以避免混淆，這是方程式在當時的籌算表達式中唯一出現的符號，它們是數學符號但不能算是代數符號，它們與現代的代數符號只有一點點相似。因為，無論是“元”字還是“太”字，都並不表示具體的某個數或某個未知數，它們只是標示它旁邊的位置（而不是它自己所在的位置）上所放的數是一次項或常數項。在對應於一元三次方程式x3–336x2+5184x+2488320=0的

籌算表達式圖2-1中，在一次項係數（從下往上第2個數）的旁邊放一個“元”字就得到圖3-1，在常數項（最下位置）的旁邊放置“太”字就得到圖4-1。需要注意的是，這裏的“元”字或“太”字，在當時的籌算操作中，是寫在一個卡片上的，解題者可以隨時根據需要移動它。

5

一個操作，一組運算

位置標示未知量或其冪的方法，不光比符號表示法簡單，而且在計算過程中具有相當的優勢。比如，上述圖3-1表示的一元三次方程式x3–336x2+5184x+2488320=0，如果方程兩邊同時乘以x，在把每一項都乘以x時，用現代的代數

符號表示法需要把每一項都重新寫一遍，得到x4–336x3+5184x2+2488320x=0，而中國古代就簡單多了，只需要將“元”字卡片向下移動一位就可以表示出來（圖5）；如果是將原方程兩邊除以x，現代的符號表示法需要把每一項重新寫一遍，

成為

而中國古代則只需把“元”字向上移一位即可（圖6）。實際上，如果要乘以（除以）x的n次方，則只要將“元”字向下（向上）移動n位即可。這種簡單的數學操作，比今天利用代數符號做運算，有很大優勢：一是不需要每一項都寫，要省事得多也簡單得多；二是更不容易出錯。可見，古代這種移動位置的簡單操作，相當於方程的每一項都乘以或除以未知數的冪，起到了進行一組運算的功效；而且方程的項數越多，其優勢就越明顯。同樣地，古人有時不用“元”字標識未知數的一次項，而是用“太”字標識常數項，也可以通過移到“太”字的位置來做類似的乘除運算。

除了多元一次方程組和一元高次方程，宋金元時期的數學家發展出二元、三元和四元的高次方程組。如元代數學家朱世傑利用下、左、右、上四個方向上不同的位置，標示天（x）、地(y)、人(z)、物(w)四個未知數的相應次數的冪以及它們的乘積（如圖7所示），從而利用具有分離係數法功能的位置示數法可以表示多至四個未知數的多元高次方程組，並通過“上升下降”、“左進右退”、“剔而消之”、“餘籌易位”之類的操作，進行消元和變換，予以求解。

中國古代數學充分發掘了位置的功能，不僅有位值觀念，還用來表示未知數和它們的冪及其乘積，取得了後來符號代數的功效，這種傳統方法甚至在乘以、除以未知數的冪等方面還明顯優於後來的符號代數方法。其中藴含的創造精神和深刻思想，可以為今天的數學研究提供借鑑。

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中國古代位置示數法的現代價值

中國社會在清末民初發生劇變，出現所謂“三千年未有之大變局”，整個知識體系發生從傳統向現代的轉型，數學也是如此。從知識體系和表達方式上看，中國現代的數學在總體上是引進的，但這並不意味着中國傳統數學在現代消失了，它實際上是已融入到現代的數學體系中。比如十進位值制、九九、四則運算、比和比例、盈不足術、開方、面積和體積計算方法等。這些數學知識已成為今天人們工作和生活中一些基本的知識和觀念，只是由於表達形式上的差異、數學教學中鮮有講述其來源等原因，造成今人對中國古代數學的疏離感，所以現代人就很少知道其源於中國傳統數學。因此，我們建議，在今天的教科書和教輔材料中，在教師的教學工作中，要把這些數學知識和數學方法的中國古代來源講述清楚，並指出包括位置示數法在內的一些中國古代數學的方法和思想在某些方面的先進性。這既是對歷史事實和古代先賢的尊重，也有助於激勵年輕學子的文化自信，避免數典忘祖之憾。

中國傳統數學內容豐富多彩，其中有些方法和思想，由於年代久遠和中國學術從傳統向現代的轉型而湮沒不彰。這種情況並不都是優勝劣汰的結果。歷史的淘汰有其複雜性，中國傳統數學的歷史也是如此。比如，被稱讚為“精妙”的祖沖之《綴術》在宋代失傳，而宋元時代的重要成就天元術、四元術等也在明代沒有得到繼承，都是水平高卻被淘汰的例證。這些先進數學知識失傳的原因是多方面，其中一個原因反而是它們超越同時代絕大多數人的水平。既然被淘汰的不一定是落後的，那麼如果我們仔細考察中國古代數學的思想和方法，就可以從中發現和汲取先進的營養，為今所用。在這一方面，吳文俊先生已經做出了表率。

1974年春，在特殊的歷史條件下，吳文俊開始學習中國古代數學史。經過兩年多時間的研習，他形成了自己關於中國古代數學特徵的認識。他認為，“中國古代數學基本上是一種機械化的數學”。中國古代算法不僅具有程序化、機械化和構造性特徵，而且具有重視列方程、解方程的傳統，並形成了系統的方法和理論，同時也發展出了幾何代數化的思想方法，吳文俊對此有深刻的認識，從而大大啓發了他在機器證明數學定理方面的研究。從1976底至1977年初，吳文俊在機器證明定理方面取得重大突破，之後又進一步開創了數學機械化領域的新局面。他的機器證明研究採用不同於西方流行的數理邏輯方法，而是通過建立座標系，將幾何問題代數化，通過方程和多項式理論來解決問題。他説：“我們從事機械化定理證明工作獲得成果之前，對泰斯基的已有工作並無接觸，更沒有想到希爾伯特的《幾何基礎》會與機械化有任何關係。我們是在中國古代數學的啓發之下提出問題並想出解決辦法來的。”他聲明自己“關於數學機械化的研究工作，就是在這些思想與成就啓發之下的產物，它是我國自《九章算術》以迄宋元時期數學的直接繼承”。[14]

上述吳文俊在數學史研究基礎上所做的數學機械化研究，説明中國古代數學對現代數學也能提供思想和方法上的借鑑和啓迪。

中國古代數學充分發揮位置的功能，不僅將它用於位值制記數法，而且用它表示未知數及其冪，甚至通過移動個別文字卡片來實現一組運算。特別是四元術，還利用各個方向的不同位置來表示各種的算式。不過，擺放算籌在水平面上只能利用前、後、左、右四個方向標示四個未知量，而在豎直面上擺放算籌就會由於重力的作用難以實現，因此超過四元的籌算操作法有着天然的難度。儘管如此，中國傳統數學中利用多維度上的位置與算籌記數法以及個別的文字卡片相結合，來達到後來運用代數表達式、進行代數運算之效果的方法，展現了具有明顯不同於現代符號代數的中國特徵和某些優勢。認真分析這種方法的原理和特徵或許可以為現代數學提供啓示。

由於技術條件的限制，中國古代籌算只能利用水平的二維操作面，從而使位置示數法侷限於四個未知數之內。現代計算機技術的高度發展，可以模擬三維的空間結構，甚至能夠可視化多維的空間結構。將這種技術結合到中國古代的四元術上，可以很快地將四元拓展到更多元的情形。如果再加以擴展，將中國傳統數學中充分發揮位置作用的思想和方法與現代計算機技術結合起來，或許有可能為現代數學的發展提供新的思路。比如，採用現代的符號表示法與位置示數法表示各種算式，同時將算式置於不同的空間位置表示不同的含義，再根據問題類型的不同性質和條件，設計不同位置上的算式之間的運算法則，從而在發揮位置功能的同時，既能突破四元術由於所利用的維數少而導致未知量個數上的限制，又能充分保留現代符號代數的既有優點。這樣，古老的數學操作方法，可以轉化為現代數學的有效方法，從而為數學研究提供新的發展途徑。當然，這只是一種可能的思路，是不是可行，怎麼樣才可行，皆有待今後的探索和驗證。可以肯定的是，具體的應用無疑會存在意想不到的困難，還有待多方努力探索。

中國古代數學內容豐富，思想和方法多樣，本文只是對其中位置示數法的特徵做一簡明的闡述，並對其現代意義做初步的探索。更全面的討論，尚需俟諸異日。

致謝 中國科學院數學與系統科學研究院魏蕾博士幫助查找資料，謹致謝忱。

註釋

1. 本文系中國科學院戰略研究專項、中國科學院中國科學院自然科學史研究所“十四•五”規劃重大項目“中國科技傳統及其現實意義研究”（編號：GHJ-ZLZX-2021-17-2）的階段研究成果。

2. 錢寶琮很早就比較系統地提出位置在中國古代數學中的作用，認為中國自古以來記數法就遵從十進位制，用分離係數法表示開方式和方程，是中國古代數學的特徵[2]。其論述具有重要意義，但不是從代數符號發展的視角論述的，而且有些地方也不太準確，

3. 已有學者注意提出中國宋元時期的“天元術”、“四元術”在向“符號化”方面“邁出了重要一步”[3]，就功能的相似性而言是可以這樣講的，但這種説法容易忽視中國古代數學方法的特色。因為宋元數學家雖然有“立天元一為什麼”、“立地元一為什麼”等説法相當於現代“設x為什麼”、“設y為什麼”，但在算式中“天”、“地”等漢字往往並不出現，而是通過位置來表現它們及其冪，相應的運算方法也有很大不同。

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【説明】本文刊於《數學通報》2024 年第 12 期第 51-56 頁，題為《位置示數

法：一種具有代數符號功能的中國傳統數學方法》。文章原本題為《位置示數法：

一種有代數符號功能並具優勢的中國傳統數學方法》，雖嫌稍長，但更能反映本

文主旨，故網絡版恢復原標題。文章本來備有摘要，但《數學通報》不需要，現

將摘要作為導讀置於正文之前。

本文經授權轉載自微信公眾號“數學史研究”。

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