回憶周光召老師——兼議閉路格林函數理論發展_風聞
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“周光召老師的學術思想一直影響着我的科研生涯，他做人、做事、做學問都是我的楷模。”
撰文 | 李定平 (北京大學物理學院）
來源 | 選自《物理》2025年第1期
大概1985、1986年，周光召先生在清華大學 (以下簡稱清華) 物理系任系主任時，我是他在清華招收的研究生，由此開始接觸到周老師，得到他的指導和教誨。那時吳嶽良和謝彥波還在中國科學院理論物理研究所，他們是周老師的高年級研究生。記得當時周老師經常請我們一起去他家 (在九所的宿舍)，周師母也和我們一起吃飯。我第一次吃火鍋就是在周老師家中。從這裏不難看出，他對學生是非常關照的。不僅是學業上指導，在生活中也非常關心我們。此外，聆聽周老師的教誨，我感覺到他有非常深的愛國主義情懷。他對清華大學能為國家培養出一代又一代的有用人才，對清華大學的人才培養是相當讚賞的。周老師本科畢業於清華，他有非常深的清華情懷。
現在我在北京大學 (以下簡稱北大) 物理學院理論物理研究所工作，也算追隨周光召老師在北大留校當老師的足跡。周老師曾是北大理論物理所的老師 (理論所當時是理論室)，實際在北大有將近20年時間。從平時周老師跟我們的聊天中，確實感覺到他是非常憂國憂民的。我記得有一次，大概是1986年左右，他強調我們國家雖然在進步，但是先進國家發展的步伐 (學術上) 比我們更快，之間的距離好像越來越遠了。所以他當時對國家的科技發展是非常憂心的，對國家的發展始終念念不忘。
讀研究生時，周光召老師讓我學習閉路格林函數，並去做一些相關的計算。周老師學術功力非常深厚，特別是量子場論和多體理論方面的造詣是世界級別的。當時我不太理解閉路格林函數，有些內容看得不深不透徹。非常遺憾，我沒有堅持在閉路格林函數研究這個方向走下去。回想起來，我是相當後悔。
我當時沒有按閉路格林函數的歷史發展學習，沒有循序漸進地去了解閉路格林函數發展的歷史脈絡，從而沒有得到足夠的動機激勵我去深入理解閉路格林函數。1987年到1988年間，在中國科學院理論物理研究所，我經常參加郭漢英老師組織的共形場論和絃論方面的研討。那段時間碰到侯伯宇老師，我和他的學生嶽瑞宏一起做了一個共形場論方面的工作。因此學習閉路格林函數雖然開了一個頭，但是後來沒有堅持。直到2000年左右，我開始用Ginzburg—Landau (GL) 理論來研究高温超導的磁通相圖和磁通動力學，到最近我專注強關聯繫統的多體理論研究，由於相關工作涉及到動力學，我會經常回過來讀周光召老師和他的同事在閉路格林函數方面的工作。這些工作對我的啓發很多，在文章末尾我會提到我在這方面工作的一些細節。
現在我們回顧周光召老師與合作者在閉路格林函數方面的工作。最早我是想直接讀懂文獻[1]，Physics Reports那篇綜述文章。當時看的時候非常難理解，不理解工作背後的學術思考和動機。現在想想，當時應該去讀周老師和同事之前的非綜述文章，才能真正理解背後的物理意義和學術思想。但當時找文獻很不方便，也不容易複印資料 (複印費用對比研究生津貼算很貴)，就沒有努力去找他們過去發表的工作，因此沒有循序漸進地理解閉路格林函數理論發展的歷史、能研究和解決的問題，以及理論背後的動機和思路等等。現在通過網絡來查找文獻相當方便，感興趣的同學或者研究人員可以自行下載閲讀。
在凝聚態物理中，如從電子哈密頓量出發的多體理論，是微觀基礎理論。但是研究的很多問題，如第二類超導體的磁通研究，相圖和動力學研究，是從介觀尺度的Ginzburg—Landau這樣的唯象理論出發。從微觀多體理論來研究一些問題 (如磁通相圖和動力學) 反而不可行或者很困難。超導的GL理論是在超導BCS理論出現之前發展出來的。Abriksov基於超導的GL理論，預言了第二類超導體的存在。第二類超導體的磁通研究是超導體研究的一個重要方向，其研究既有基礎研究的重要性，也對超導態的應用非常重要。Lev Gor’kov在BCS理論出現之後，才從BCS理論出發，推導出基於超導序參量 (庫珀對波函數) 的GL理論。Gor’kov的工作顯示，可以從微觀理論出發計算GL理論中出現的參數。GL理論推廣到動力學理論 (適用於臨界點附近，即動態臨界現象)，是含時的GL理論。這個理論當然也是唯象的，它被廣泛用來研究超導的動力學問題，如磁通動力學研究等。如何從微觀多體理論出發，推導出相關序參量 (不限於超導序參量) 的動力學方程 (如含時的GL理論)，是閉路格林函數理論的一個重要應用。序參量Ginzburg—Landau平衡態或者動力學方程是自洽理論，可以通過一些假設得到，不必通過微觀理論出發推導得到 (如超導的GL理論出現在超導微觀BCS之前)。如果序參量是耗散不守恆的，滿足的方程是傳統含時GL理論。一般的含時GL方程稱為A型方程。如果序參量是守恆的，方程是B型方程。如果序參量既有耗散又有守恆，得到的方程組 (守恆和不守恆序參量滿足的方程組)，稱為C型方程。這些唯象方程的詳細論述可以參考文獻[2]。如何從基本理論出發，推導出這些動力學方程，並推導出動力學方程中出現的參數，從而給這些唯象方程一個堅實的理論基礎，這正是發展閉路格林函數的一個主要動機。
周光召老師和同事發展的閉路格林函數，其理論框架是用時間的閉路積分 (時序格林函數，時序是定義在從時間負無窮到正無窮，然後從正無窮回到負無窮的時間路徑上)。用連接關聯函數的生成泛函，和其通過勒讓德變換得到頂角函數的生成泛函 (vertex functional)，可以非常簡潔地闡述閉路格林函數的理論框架 (實際上量子場論也是如此)。頂角函數的生成泛函對研究對稱性自發破缺和相關的關聯函數恆等式 (Ward恆等式) 至關重要，特別是Ward—Takahashi恆等式是推導序參量滿足的動力學方程最重要的出發點。
要直接看懂文獻[1]不容易，最好先看文獻[3] (由郝柏林和於淥等編著的《統計物理學進展》一書)，要先讀書中郝柏林老師寫的第一章“統計微擾論的生成泛函”。現在的多體理論、量子場論、統計場論等等，都可以用泛函理論 (或者有時候稱為路徑積分) 統一來表述。第一章郝柏林老師寫得非常好，書中用了短短的75頁就深入明瞭地介紹了泛函理論。於淥老師寫的第二章“連續相變和重正化羣”，是在統計場論的泛函理論框架來介紹重正化羣理論。於老師書中只用72頁就給出了現代重正化羣理論的基本介紹。讀完前面兩章，可以直接到相關的第五章，是周光召老師和蘇肇冰老師寫的，“閉路格林函數和它在非平衡統計物理中的應用”。第五章有105頁，裏面有不少物理背景的討論和詳細的推導，不像Physics Reports 那樣惜字如金和簡潔。對初入門的學生或者想要了解閉路格林函數理論的學者，讀這篇Physics Reports，最好要時不時地回來參考這本書的第五章，同時建議要經常回到非綜述的原始文獻[4—7]。原始文獻不僅提供了物理背景，也含有詳細的公式推導。
周光召老師、郝柏林老師、於淥老師和蘇肇冰老師從1978年開始到1986年發展的閉路格林函數理論對非平衡態物理的研究，應用到臨界動力學、量子輸運、無序系統、激光等問題中，得到了一系列重要結果。這四位老師在中國科學院理論物理研究所時的合作有一段趣聞，劉寄星老師在文獻[8]中有所描述。文獻[9—11]中有郝柏林、於淥、蘇肇冰三位老師對閉路格林函數和周光召老師合作的回憶，都是很珍貴的歷史資料。
根據谷歌學術的統計，截止到2024年11月13日，文獻[1]的引用數據為：1985—1989年，65條；1990—1994年，124條；1995—1999年，198條；2000—2004年，197條；2005—2009年，200條；2010—2014年，174條；2015—2019年，170條；2020年，26條；2021年，36條；2022年，45條；2023年，44條；2024年，43條。
最近幾年，每年大約有40多篇文章的引用。從這裏可以看到周光召老師等人在閉路格林函數理論方面的工作，多年來一直都被學界認同，引用經久不衰。其他在國內發表的工作，特別是中文發表的，國外學術界知道的不多。也許往後可以把相關文獻翻譯成英文，包括《統計物理學進展》一書中的綜述也翻譯成英文，這樣就把中國的原創性工作分享和傳播到國外學界。
關於我個人，我沒有直接做過閉路格林函數方面的工作，但是遇到過周老師等人在閉路格林函數理論中強調的對稱性問題，比如：我們的理論是不是符合對稱性導致的Ward—Takahashi恆等式，理論是不是正確地得到了對稱破缺時具有的Goldstone軟膜 (無能隙的軟膜，這種現象稱為Goldstone定理)等。我們用GL理論來研究渦旋態，通過平均場近似 (鞍點近似) 得到序參量方程，並可得到圍繞平均場的激發模，裏面確實包括無能隙的聲學模。但是對高温超導，序參量的平均場理論適用範圍不大，需要做超越平均場的近似。最簡單的近似，是統計場 (序參量) 高斯自洽近似，詳細內容可參閲文獻[12]。但是高斯自洽近似下，Goldstone軟膜不存在，破壞了Goldstone定理。後來我們意識到，自洽方程得到的關聯函數需要修正。基本思想是所謂的漲落耗散定理，就是響應函數和關聯函數有關係。可以從響應函數出發反過來定義關聯函數 (需要引進外源做泛函導數，這一點和周光召老師等在閉路格林函數中的做法類似) 。通過正確的定義，發現渦旋態的軟膜確實是無能隙的聲子模[13]，從而不違背Goldstone定理。對關聯繫統，電子微觀理論最簡單的近似是Hartree—Fock近似。一般的二體關聯，如自旋—自旋關聯，RPA公式能保證響應的Ward—Takahashi恆等式成立。問題是如果用GW近似 (最基本的非微擾多體理論)，RPA公式得到的結果會破壞Ward—Takahashi恆等式成立。這個問題一直是GW理論沒有解決的問題。解決的方法同樣也是引入外源，通過響應函數，得到正確的自旋—自旋關聯 (或者流—流關聯)，這些關聯函數符合Ward—Takahashi恆等式[14]。基本思想都是引入外源，得到相關的響應函數，從而得到正確的關聯函數 (自旋—自旋關聯，或者流—流關聯，也稱為二體關聯)。但是這些計算都是平衡態理論下的關聯函數的計算。如何在閉路格林函數理論框架下超越平均場，如何得到非微擾理論，得到的高階關聯函數如何保證所有的恆等式成立，一直還是困而未決的難題。
可以説，周光召老師的學術思想一直影響着我的科研生涯，他做人、做事、做學問都是我的楷模。現在追思周老師，我們今後更要發憤圖強，提高自己的學術品味，學習周老師等前輩的原創精神，為中國學術發展盡心盡力。
參考文獻
[1] Chou K C，Su Z B，Hao B L et al. Physics Reports，1985，118：1
[2] Onuki A. Phase Transition Dynamics. Cambridge University Press，2002
[3] 郝柏林，於淥 等 編著 . 統計物理學進展. 北京：科學出版社，1981
[4] 周光召，蘇肇冰，郝柏林 等 . 物理學報，1980，29：961
[5] 周光召，於淥，郝柏林 . 物理學報，1980，29：878
[6] 周光召，蘇肇冰 . 高能物理與核物理，1979，3：314
[7] Zhou G Z，Su Z B，Hao B L et al. Phys. Rev. B，1980，22：3385
[8] 劉寄星. 物理，2023，52：591
[9] 郝柏林. 物理，2009，38：295
[10] 於淥. 物理，2009，38：299
[11] 蘇肇冰. 物理，2009，38：91
[12] Rosenstein B，Li D P. Reviews of Modern Physics，2010，82：109
[13] 李瓊 . 玻色凝聚體和第二類超導體漲落現象的理論研究 . 北京大學博士論文，2012
[14] Li H，Sun Z P，Su Y Z et al. Phys. Rev. B，2023，107：085106
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