27歲數學天才羅赫：智慧而短暫的一生_風聞

古斯塔夫·羅赫是德國著名數學家、物理學家，以黎曼-羅赫定理而聞名，推動了代數幾何等領域的發展。本文通過文獻研讀和歷史分析，研究了羅赫的成長經歷、主要成就及其影響，展示了他一生勤奮好學、積極進取，在科學研究上勇於探索、持之以恆，在教學上認真負責、甘為人梯，短暫的一生彰顯了無窮的智慧。

撰文 | 段玥芮

古斯塔夫·羅赫（Gustav Roch，1839-1866年）是19世紀德國著名數學家，1839年12月9日出生於德國德累斯頓（Dresden），1866年11月21日病逝於意大利威尼斯（Venice），年僅27歲。他先後在德累斯頓理工學院、萊比錫大學、哥廷根大學、柏林大學學習，在數學、物理學等領域作出了傑出貢獻。特別是在代數幾何方面，羅赫補充了黎曼不等式，解析了黎曼-羅赫定理的幾何意義，與伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866年）共同給出了黎曼-羅赫定理。巧合的是，他們二人均英年早逝且同一年去世。

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天賦異稟，幸遇伯樂

羅赫的父親古斯塔夫·阿道夫·羅赫（Gustav Adolf Roch），是一名皇家廚房助理，母親是奧古斯特·卡羅琳·比特納（Auguste Caroline Büttner）。羅赫中學時期在諾伊施塔特學校接受教育，這個時期數學還不是其主要興趣。1857年，受父親鼓勵，羅赫進入德累斯頓理工學院學習了2年實用化學，以更好地謀求職業發展。

在德累斯頓理工學院求學期間，羅赫遇到了人生中第1位貴人奧斯卡·夏弗·施勒米希（Oscar Xaver Schlömilch，1823-1901），他為羅赫打開了數學世界的大門。施勒米希是一位優秀的數學家，在授課中發現羅赫極有數學天賦，希望羅赫能夠轉學數學。羅赫也發現了自己的數學天賦，但數學專業與當時正在學習的化學專業有很大不同，再加上未曾在數學方面進行過深入系統的學習，羅赫陷入了困惑之中。施勒米希堅持不懈地勸説，終於説服了羅赫。羅赫改變了正在研究的主要課題，投身到數學理論的研究中。

羅赫有很高的天賦，在德累斯頓理工學院學習期間，他首次接觸電磁學的數學理論，就通過研讀安德烈-瑪麗·安培（André-Marie Ampère，1775-1836年）在1826年出版的著作《僅由經驗導出的電動力學現象理論》，撰寫了第1篇關於電動力學和電磁學的數學理論的論文《論安培公式的轉化》，並於1859年發表在《數學和物理雜誌》上。

不久之後，還是在1859年，羅赫又發表了2篇論文《論磁矩》和《論磁學》。《論磁矩》計算了一個電流繞與座標軸平行的3個軸旋轉到另一個電流的力矩，得到了結論——韋伯關於閉合電流的實驗對安培公式的證明不完全正確，加深了對安培公式的理解。《論磁學》分析了磁平衡方程的作用，促進了電磁場與電場強度的研究。這2篇文章的發表進一步展示了羅赫的天賦，促使他在這個領域不斷深耕下去。

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好學深思，潛心鑽研

1859年春，20歲的羅赫進入萊比錫大學，繼續進行電磁學數學理論的研究。對他影響最深的老師是奧古斯特·費迪南德·默比烏斯（August Ferdinand Möbius，1790-1868年），默比烏斯在解析幾何方面有獨特深刻的見解。羅赫聽了默比烏斯的許多講座，這為他在數學上的深入研究提供了豐富的理論知識。羅赫好奇心強，對很多方面都富有熱情，學習了許多課程，選修了哲學、植物學、語言學和歷史學的一些課程，此外還聆聽了威廉·漢克爾（Wilhelm Hankel）的物理講座，學習了數學與物理之間的聯繫與應用，這為他研究電動力學和電磁學、位勢函數等打開了新的大門。

這段時間，羅赫繼續對電磁學的數學理論深入學習，研讀相關論文，並且很快有了高質量的成果。羅赫刻苦學習、勤奮鑽研，尤其擅長數學、物理學科，再加上發表多篇論文，他獲得了卡爾·弗里德里希·克雷格爾·馮·斯特恩巴赫（Karl Friedrich Kregel von Sternbach，1717—1789年）捐贈的獎學金——克雷格爾-斯特恩巴赫獎學金（主要用來鼓勵數學、物理、天文等領域的研究）。這項獎學金為羅赫進一步研究數學和物理學提供了支持。

1861年4月13日，在漢克爾的建議下，22歲的羅赫進入哥廷根大學，跟隨威廉·愛德華·韋伯（Wilhelm Eduard Weber，1804-1891年）學習了3個學期，同時也聆聽了許多頂尖數學家的講座，其中黎曼對羅赫的影響格外深刻，黎曼以其豐富的學識、敏鋭的頭腦和有趣的講座給他留下了深刻的印象，使得羅赫決定追隨黎曼的腳步。與黎曼一樣，羅赫同時從事位勢理論和複變函數論的研究。除此之外，韋伯既是黎曼的老師，又是羅赫的老師，所以羅赫和黎曼的聯繫較多。在黎曼的影響下，羅赫亦對哲學產生了濃厚興趣。

1862年，在結束了哥廷根大學的學習後，羅赫又去了柏林。他在柏林大學生活了1個學期，學習更廣泛的知識。羅赫學習了克羅內克在數論、方程理論、行列式理論和積分理論等方面的思想，使其更容易尋找多種理論之間的聯繫。羅赫運用庫默爾將整數的結論推廣到其他整環的方法，把第1類積分的結論推廣到第2類積分與第3類積分上。羅赫還學習了魏爾斯特拉斯通過冪級數構建複函數理論的思想，特別是在1864年的論文運用了魏爾斯特拉斯的思想，解決單變量函數的相關問題。這段時間，羅赫的分析思想還有一個主要來源，那就是博爾夏特，博爾夏特幫助其更好地構建了複變函數框架。

羅赫始終保持求真務實、樂於合作的品質，與魯道夫·克萊布什（Rudolf Clebsch，1833-1872年）有一段交流。克萊布什原來的研究方向是變分法，一開始對純數學不太瞭解，在得知黎曼的複變函數論工作及羅赫對這方面有研究後，向羅赫寫信請教黎曼研究內容與羅赫學位論文的相關問題。羅赫熱情地與克萊布什探討這些問題並解答了他的疑惑。克萊布什吸收、借鑑黎曼和羅赫的思想，結合自己的想法給出了超越法，他是首次運用曲線術語闡述第1類阿貝爾積分定理的人。

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傑出的數學物理成就

3.1 位勢理論

1862年，23歲的羅赫從萊比錫大學畢業，獲得碩士學位，並在漢克爾指導下完成博士學位論文《論三元函數的位勢表達式》，被授予博士學位。此後，他在1863年和1864年發表多篇關於位勢理論的論文。

1863年，他在《克雷爾雜誌》上發表論文《位勢表達式在遠程分子物理的效應理論和導體上電荷運動理論中的應用》。這篇論文補充了格林定理在空間上位勢函數理論中的應用，根據歐姆定律的電磁效應，解決了遠距離點的電磁效應這一問題，同時還為導體中的電荷運動建立了一個方程組，並解釋了該方程組的物理意義與數學意義。

1864年，羅赫在《克雷爾雜誌》上又發表了一篇關於位勢理論的論文，題目為《論位勢的變換》。這篇論文通過傅里葉二重積分定義單變量函數，將定義推廣到多變量函數，運用極座標變換得到位勢變換的結論，使得傅里葉積分也適用於有間斷點的函數，解除了函數連續性這一條件的限制。這篇論文亦是羅赫公開發表關於位勢理論的最後一篇文章。

與此同時，羅赫也在研究其他數學問題。1863年，羅赫在《數學和物理雜誌》上發表論文《論複變函數》。這篇論文解決了積分基本定理的均值問題，是羅赫研究代數函數論、代數幾何的基礎。

3.2 黎曼-羅赫定理

羅赫始終保持對真理的好奇心，具有不畏挫折、大膽假設、理性思考等精神品質。在狄利克雷原理當時還存在分歧的情況下，羅赫大膽地在論文中運用這個原理，給出了其最重要成果之一，即黎曼-羅赫定理。

1864年，羅赫對黎曼的論文很感興趣，尤其是反覆研讀黎曼1857年的論文《阿貝爾函數理論》。該論文提出了很多開創性想法，例如黎曼-羅赫定理中的單邊不等式、雅可比反演問題、代數曲線的雙有理幾何和黎曼面模數的概念。羅赫對該論文中的黎曼-羅赫定理的單邊不等式很感興趣，1864年寫出了論文《論代數函數中任意常數的數量》。該論文從代數函數出發，參照黎曼論文《阿貝爾函數理論》第5節和第20節等內容，運用魏爾斯特拉斯給出的超橢圓積分方法，研究常數數量的關係。在黎曼不等式的基礎上，將不等式左側和右側的差值解析為全純積分的某個空間的維數，給出了黎曼-羅赫定理。1865年，羅赫將這篇論文發表在《克雷爾雜誌》，成為羅赫影響最深遠的成果之一。

黎曼-羅赫定理在代數曲線、代數曲面、高維簇和層上同調等方面的研究中都發揮着極其重要的作用，是研究代數幾何的基礎。此後，眾多數學家對其進行證明和發展，如戴德金和韋伯、小平邦彥、彼得・希策布魯赫等，楊振寧先生和羅伯特・勞倫斯・米爾斯共同提出的楊-米爾斯理論，該理論是格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理的推廣，使數學與物理關係達到新高度。

3.3 積分問題

羅赫具有持之以恆、開拓創新的品質。1865年，他在關於複變函數論文基礎上，又發表同名論文《論複變函數》，該論文解決了函數的第1類積分問題。同年還發表論文展示運用雅可比公式得到第2類和第3類橢圓積分表達式的思想，為研究橢圓積分提供了一種新方法。

1866年，他在《數學和物理雜誌》上發表多篇論文，如《論第2類積分和θ函數的均值》為研究積分中值定理提供便利；《論特殊的四重週期函數》研究超橢圓積分構造。他在《克雷爾雜誌》發表的論文也推動了相關領域研究。羅赫去世後，《克雷爾雜誌》於1868年發表了他的論文《論第3類阿貝爾積分》（Ueber Abelsche Integrale dritter Gattung）。該論文總結了羅赫關於第3類阿貝爾積分的研究，為羅赫系統研究阿貝爾積分畫上了一個句號。根據學科的不同，將羅赫1859-1868年出版的論著進行分類、整理，如表1所示。羅赫的論文主要集中在多個領域，1859年發表首篇論文後，持續創作，1865年發表了他最著名的論文《論代數函數中任意常數的數量》。

表1 羅赫出版論著（1859-1868年）

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認真負責，甘為人梯

羅赫熱愛數學、把數學當成一份事業，併為之努力奮鬥。1863年，也就是獲得博士學位後一年，羅赫進入哈雷大學任無薪講師。他努力提高自己的學識，聆聽多領域講座，羅赫認為在哈雷大學任職是一種神聖使命，並在之後的歲月中努力踐行。

在1863-1864年、1864-1865年和1865-1866年的3個學年裏，羅赫一直勤勤懇懇，反覆鑽研黎曼的思想，為呈現出效果更好的講座效果，他不斷學習數學和物理學知識。他在哈雷大學開設多門課程，深受學生歡迎，使學生們在數學、物理方面積累了學識，朱利葉斯・魏因加滕受他影響較大。1866年，卡爾・戈特弗裏德・諾依曼整理羅赫筆記，發表兩篇論文。表2是哈雷大學留存的羅赫講座（1863-1866年）信息。

表2 羅赫的講座信息（1863-1866年）

1863-1866年，羅赫一直擔任哈雷大學的無薪講師。在此期間他出色的個人能力表現得淋漓盡致，得到了海因裏希·愛德華·海涅的關注。1866年8月，羅赫被正式任命為哈雷大學編外教授。然而，不幸卻悄然靠近。由於身患肺結核病，羅赫的身體每況愈下，獲准在1866-1867年冬季學期休假，以便恢復健康。羅赫去了威尼斯，希望那裏温暖的天氣使身體康復。然而並沒有如願以償，1866年11月21日，羅赫在威尼斯因肺結核逝世。然而，羅赫的名字卻因黎曼-羅赫定理而永垂不朽。

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結語

羅赫將大部分精力投身至數學和物理學科研和教學事業中，懷着對科學的熱愛砥礪前行，並發表多篇論文，其論文通常篇幅不長，但其藴含的思想豐富。特別是給出了黎曼-羅赫定理，該定理推動了代數幾何的發展，為後續數學家提供了寶貴財富。他提供了研究阿貝爾積分理論的方法，促進了電動力學和電磁學、位勢理論、複變函數論、代數幾何、代數函數論等領域的發展。羅赫在教學上精心準備，引導學生進入知識的殿堂，吸引了更多的人投入數學事業中。羅赫雖英年早逝，但他在數學的發展史上，留下了濃濃的一筆，短暫的一生彰顯了無窮的智慧。他身上具有的謙虛好學、求真務實、勇於探索、持之以恆、認真負責等精神品質，值得學習和借鑑。

作者簡介

段玥芮，河北師範大學數學科學學院，碩士研究生，研究方向為近現代數學史；王淑紅（通信作者），河北師範大學數學科學學院，教授，研究方向為近現代數學史。

本文經授權轉載自微信公眾號“科技導報”，論文全文發表於《科技導報》2024年第24期，原標題為《數學天才羅赫：智慧而短暫的一生》，本文有刪減。

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