跟隨自己的興趣和感覺 | 專訪王虹校友_風聞

今年是北大數學110週年。110年來，北大數學培養出了一批又一批棟樑之才。最近十年，從北大數學走出去一大批優秀的青年數學家，他們活躍在國際數學最前沿，作出了令人矚目的工作，也為北大數學譜寫了新的華彩樂章。近期，兩位優秀的青年女數學家校友姚珧和王虹接受數學中心官微專訪。本期由王虹校友講述她在數學探索道路上的故事與體悟。

王虹，2007年進入北京大學地球與空間物理系學習，後轉系至數學科學學院，跟隨王立中老師做本科生科研，並在劉張炬老師指導下完成畢業論文《經典Hodge理論和度量空間上的Hodge理論》，2011年獲北京大學數學學士學位；2014年獲巴黎綜合理工學院工程師學位和巴黎第十一大學碩士學位，2019年獲麻省理工學院博士學位。她於2021年6月完成在普林斯頓高等研究院的博士後研究工作，並於當年7月起任加州大學洛杉磯分校（UCLA）助理教授，2023年7月起任紐約大學庫朗數學研究所副教授。王虹主要致力於傅里葉分析研究。2022年9月，她與其他兩位年輕學者共同獲得MaryamMirzakhani New Frontiers Prize,該獎項由突破獎基金會於2019年設立，以紀念2017年不幸去世的首位女性菲爾茲獎獲得者——Maryam Mirzakhani。獲獎人須為在過去兩年之內（從獎項啓動評選算起）獲得博士學位的女性數學家。王虹因其在限制性猜想、局部光滑性猜想及相關問題上的研究進展而獲獎。

採寫：陶菲 王晨鑑 鄭旭

Q1：您在校友論壇期間作的報告的主題是關於組合數學的，您是出於怎樣的考慮做的這個選擇呢？以及能不能舉一些各方向相交叉的例子？

A1：感覺至少最近幾年我做的東西很多是從組合這邊的想法受到啓發然後去做的。我的報告試圖把最近幾年做問題的一些比較關鍵的想法用比較簡單的語言講出來，好像也沒有覺得它（和在調和分析研究中考慮的問題）有什麼不一樣。

關於各個方向交叉的問題，比如幾何測度論中的Falconer distance problem，我之前和Guth，Iosevich，Ou（歐雨濛，北大07級校友）合作的文章，最後是用decoupling來做的，但在用decoupling的時候我們用到了一個叫做radial projection的幾何測度論的結論，但它也有簡單的組合的感覺。比如説我在talk中説到，組合裏有一個定理叫Beck定理，説的是如果平面上有n個點，然後對於任何一條平面直線至多隻有n/2個點在這條直線上，那就能找到其中一個點，從這個點出發跟其它的點連起來，能連出至少n/100條不同直線。我們用了這個定理的連續版本，然後加decoupling才能完成證明。我覺得這就是一個聯繫。

Q2：您的工作橫跨了組合、分析、幾何測度論的許多方面, 請問您是如何處理這種交叉方向的研究的呢？與合作者們一起做研究時的狀態是怎樣的呢？

A2：我好像沒有想那麼多，就是做研究時遇到什麼問題就努力去學習這方面的內容，學不會就多學幾遍。如果還是學不會的話那就換個方向（笑）。

至於合作時的狀態，因為每個人想問題的思路和研究的路徑不太一樣，所以大家會有（各自）更熟悉的地方，然後我們合作的時候的確會有意識地讓大家多想想自己熟悉的那方面，但每個人對合作裏面出現的東西都有一個大概的想法，最後寫細節的時候，讓更熟悉的人去寫那部分細節。如果在做研究時遇到了其他領域的問題，我會去看看那個領域的論文，看看哪些是自己需要的。但也不會看很多，一般是一邊做，然後需要什麼去查，查到後再應用進自己的研究工作中去看夠不夠，不夠再繼續查。我不會把涉及領域的文章整個看下來，而是主要關心與我工作相關的部分定理。當然，在不太熟悉的時候我也會先諮詢一下這個領域的專家，哪些文章是比較重要的，以此確定讀論文的方向。

王虹在今年暑期的北大數學校友論壇期間作報告

Q3：能評價一下您的研究方向嗎？以及為什麼選擇去學調和分析呢？

A3：調和分析近些年有了比較大的發展，比如Bourgain-Demeter decoupling。它和幾何測度論、關聯幾何也有密切的聯繫。

可能還是看興趣吧，有興趣就讀，沒興趣也沒必要讀……這個沒必要讀是不是不應該説出來（笑）。但興趣是一方面，還要看做研究能不能做得動，因為如果一個東西總是做不出來可能也會慢慢失去興趣。不過，如果一個問題很吸引我的話，那它可能也具有吸引其他人的能力，所以不必擔心做出一個“只有自己關心”的結果。

Q4：關於如何找問題您有什麼可分享的經驗嗎？

A4：這個其實我自己一直也比較困惑。但是最近幾年我是這麼做的：可能看到一些領域裏面比較核心的問題，會想一想能夠對它問什麼比較簡單的問題，看能不能自己想辦法回答出來。有可能能答出來有可能答不出來。如果答不出來就想辦法把它弄得更簡單一點。就是不斷地提問然後試圖回答，以此增進對這個問題的瞭解。瞭解更多之後可能發現某一個角度能夠找到一個不是那麼容易回答但又覺得挺有意思的問題，然後就去做它。我也會關注一些可能大家沒有那麼關注，但它和一些我覺得比較核心的問題有共同難點的問題，這類問題也比較重要。

Q5：在做研究時您是怎樣分辨問題當中的主要部分和次要部分的呢？

A5：在想一些相關問題的時候會發現某一種規律會總是出現。比如我的博士導師Larry Guth，他發現很多問題裏都需要研究這樣一種情況：如果有很多tubes，這些tubes指向不同的方向並且每個方向上都有許多平行的tubes，這些平行的tubes之間有一些間距。這種tube incidence問題感覺在做很多不同的問題的時候都會遇到，比如在做small cap decoupling的時候，還有當時他在想local smoothing的時候都遇到了類似的問題。所以這就是一個需要集中注意力去想的問題，然後在想這個的時候他想出了high-low frequency的方法。

Q6：例子對於做研究很重要，您對此有什麼感悟或者想分享的經驗嗎？

A6：我覺得拿到前人的例子後首先要理解它的特點，然後在遇到新的問題的時候，先看一下在這些例子身上會發生什麼。比如在調和分析的論文裏有很多不等式，就可以用這些例子去測試不等式是不是最優的。如果排除掉這些例子這些不等式可能會有怎樣的改進。這種慢慢積累多了以後，遇到新的問題可能就可以把一些前人的例子組合起來調一調，看看會不會有新的事情發生。拿到別人的例子之後一個基本的訓練就是想改一改會發生什麼事情。有可能什麼都不會發生（笑）。但至少自己算過，哪怕什麼也不會發生，也是好事情。

但是調和分析裏面很多例子其實是不太好算的，在一個比較小的點上花很長時間這種事情也會經常發生，比如我在學decoupling的時候算一個例子算了兩個禮拜。

王虹在校友論壇期間參加師生交流會

Q7：能總結一下您個人的研究風格以及接下來的研究計劃嗎？

A7：我做博士後的時候可能需要自己去找合作者，也不知道什麼樣的合作能夠順利，所以就找了很多合作者。然後合作者寫文章比較厲害（笑）。相互之間的交流是非常非常重要的，對我影響和幫助都很大。至於你們提到的我的研究方向很寬泛，我覺得雖然它們看上去是很多不同的方向，但其實它們研究的問題是很接近的。比如之前提到的incidence問題，它在很多不同的方向都會出現，其實是差不多的。

關於研究方向，我可能還是會多想一想幾何測度論，別的我暫時也沒有一個很明確的計劃。因為我覺得找問題是一件很困難的事情。目前來講我覺得幾何測度論裏面研究projection theory還是有很多問題可以做，但是以後也許也會做一些別的。

Q8：在做研究時有遇到什麼瓶頸嗎？或者有什麼經歷想與我們分享的？

A8：我覺得我一直挺迷茫的（笑），然後以前也真的放棄過。就是我在法國的時候有半年沒有做數學就去學建築了，然後發現建築也挺難的，後來又回來做數學。我也不太清楚支持我繼續回來數學的原因是什麼，就可能那個時候意識到對我來説數學好像還沒有建築那麼難學。因為那個時候意識到自己在數學上接受的訓練還是挺多的，尤其是在北大接受很多訓練，但北大厲害的同學太多了讓我忘記了這一點（笑）。所以後來就覺得如果學建築的話可能不太清楚應該怎麼學，但是學數學的話至少還大概知道該怎麼學。

Q9：您與其他兩位年輕學者共同獲得2022年Maryam Mirzakhani New Frontiers Prize，這個獎項主要表彰在學術生涯早期取得成就的女性數學家。請問您覺得這個獎項對您的意義是什麼？

A9：感覺是一個鼓勵吧，然後可能也因此得到了一些關注。

Q10：您是怎樣安排生活的呢？

A10：我覺得累了就休息，不累就學一些（笑）。然後我可能以前在北大壓力比較大的時候曾經出去刷夜。但最後都變成跟別人聊天了。所以刷夜對我來説沒有什麼特別大的作用（笑），還是要注意休息。但是我比較喜歡運動，哪怕比較累的時候我也堅持每週有幾個小時運動。我自己的經驗是有的時候雖然學習已經很累了，運動可能會讓人更累，但兩個結合在一起還是對學習有幫助的。一般身邊有什麼樣的條件就參加什麼運動，我不是全能型選手，但是都熱愛。以前在北大的時候打乒乓球，後來去了法國，學校裏沒有乒乓球於是就擊劍，然後疫情期間沒有乒乓球又沒有擊劍，我就上跆拳道網課。

我説不好會在數學上花多少時間，但興趣愛好上我可以説（笑）。如果有規律地運動的話，我的理想狀態大概是每週可能四五個小時吧。然後數學花的時間很難去衡量，因為有時候可能走在路上就會發發呆想想數學，但也有時候累了就休息做做別的。

我也會做一些計劃，但是也不一定都能夠達成。順其自然就好。雖然也會有拖延症，我以前也想過這個問題，解決的辦法可能就是提早開始吧，就算拖延也還能按時完成。

王虹與採訪人博士後陶菲、研究生王晨鑑和鄭旭在一起

Q11：關於數學有什麼想説的呢？

A11：因為也會有不想學數學的時候，所以我學到了一點就是不能太逼自己。不想學就休息夠了再學。而且我覺得數學不是一個逼得時間長了就能學會的學科。我以前念本科的時候以為逼一逼自己就好，但後來發現其實也沒有什麼用。可能也不能太不開心的去學，就總要休息夠了，然後再去學；然後也不能説依賴於靈感，感覺基本的學習時間還是要保障的。

我可能一開始的成績並不是特別好，但後期還是努力把成績搞好的。如果説做研究與考試有什麼不同的地方的話，可能考試的時候，比如説遇到問題，考試時間有限制，然後可能會把課本上或者老師教過的方法給試一遍，但自己做研究的時候，因為沒有時間限制，可以花很長時間去想一個問題，就可能把自己腦袋裏亂七八糟的想法都試一遍。

還有我最一開始沒能學數學，當時在（北大）地球與空間科學。後來即使到了數學系也沒有仔細比較過接觸數學前後數學給我的感覺。我覺得可能是因為我沒有接受過像競賽這樣的訓練，所以我以前對數學的想象是自己看書，看課外書，想一想上面的問題，然後感覺本科很多時候，還有後面的很多時候也是差不多這樣，自己在圖書館看看書想想問題。所以對數學的感覺我不太好説，我沒有一個特別大的衝突，或者是感覺shock的地方，但感覺一直在掙扎，所以就沒想那麼多，能生存下來就不錯了（笑）。

Q12：關於招學生，您對您學生有什麼要求嗎？

A12：我想想……我希望心理素質好一點。可能還是會希望有一個數學上的好的訓練，但是我也不太清楚應該怎麼衡量好的訓練。所以説我希望心理素質好一點，因為我覺得做科研的時候很多時候都覺得自己快做不下去了，心理素質好一點可能就能堅持得更久一點，不放棄。