淺説橢圓曲線_風聞

在所有律師裏面數學最好的是誰？毫無疑問是法國的費馬——一位充滿傳奇色彩的業餘數學家。他在數學領域做了許多重要的開創性工作，足以媲美任何同時代的數學家。至今，我們還常常能在數學課本中見到他的名字。

撰文 | 陸俊

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費馬先生的金蛋：橢圓曲線

在所有律師裏面數學最好的是誰？毫無疑問是法國的費馬（Pierre de Fermat）——一位充滿傳奇色彩的業餘數學家。他在數學領域做了許多重要的開創性工作，足以媲美任何同時代的數學家。至今，我們還常常能在數學課本中見到他的名字。

比如説到解析幾何，很多人只知道笛卡爾的大名，殊不知費馬也是解析幾何的創始人。他早就用座標方法（即方程）去研究幾何圖形的性質。費馬首先指出一次方程。

費馬（1601-1665）

如果你是費馬，有了這些發現之後，很自然會去思考三次方程定義的曲線，對不對？費馬當然也會這麼想。首先，在一個合適的座標變換後，大多數三次方程可以寫成標準形式

費馬的許多研究都圍繞着橢圓曲線。讓我們循着費馬的軌跡，一起來欣賞一下這些有趣的工作（有興趣的讀者可以參看加藤和也等人寫的《數論I：Fermat的夢想和類域論》）。

(A) 立方數與三角數

所謂三角數，就是下面這類等邊三角形上的格點個數：1，3，6，10，15，……。

(B) 直角三角形與同餘數

所謂的同餘數，來自於以下經典的數學問題。

有告訴人們一般情形證明是怎樣的。此後的幾百年，有許許多多優秀的數學家致力於證明這個結論，但他們的努力都失敗了。直到1995年前後，才由數學家懷爾斯（Andrew Wiles）徹底解決。

懷爾斯（1953-）

雖然許多人證明費馬猜想的努力都未獲成功，但是他們的工作卻在很大程度上促進了各個數學分支的發展，極大地豐富了數學世界的內容。因此有人把費馬猜想比喻作“一隻會生金蛋的雞”，實在是非常地準確。

如今回過頭來看，我們不得不問：對於如此之難的數學問題，為何費馬會聲稱自己找到了證明?到底是費馬跟我們開了玩笑，還是上帝跟費馬開了玩笑？這裏不做探討了。我們想要告訴大家的是，費馬猜想和橢圓曲線的關係是極為密切的。從某個方面説，橢圓曲線是不折不扣的“金蛋”！

讓我們來看幾個具體的例子。

限於篇幅，我們不再詳細介紹。有興趣的讀者可以參看辛格所著的《費馬大定理》或其他相關的科普書籍。

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退化的橢圓曲線

這條曲線有一個尖鋭的點，稱作尖點(cusp)。顧名思義，這條曲線就好比是有理曲線上捏出一個尖點。

除了以上兩種曲線，我們還把以下幾類曲線都統稱為退化的橢圓曲線：

(3) 三條直線的並集（即三條一次曲線的並集），

(4)一條圓錐曲線和一條直線的並集（即一條二次曲線和一條一次曲線的並集）。

從這個泛化概念上看，我們可以把直線和圓錐曲線也看作是橢圓曲線的一個部分。因此，可以預見，圓錐曲線的很多美妙性質應該都來自於橢圓曲線。事實正是如此。

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名不副實：為什麼叫“橢圓曲線”？

橢圓曲線的圖形和橢圓顯然沒什麼關係（見前面的圖）那為什麼我們要稱之為“橢圓曲線”呢？

原來，當初人們想用微積分計算橢圓的周長（圓的周長大家都會求）。通過一定的積分技巧，最終要求出以下類型的積分：

麼橢圓曲線的名字裏包含“橢圓”二字。順便説一下，上述積分是無法用初等函數的表達式計算出來的；而其本質原因和橢圓曲線的幾何性質密切相關。

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海底冰山：橢圓曲線隱藏的部分

回顧一下，橢圓曲線的兩個例子

從第一張圖，我們可以看到橢圓曲線的圖形似乎可以分離成兩個不相交的分支，第二張圖則只有一個分支。是否還有許多其他的類型呢？確實如此。牛頓曾經對橢圓曲線做了很細緻的分類，將它們分成了數十種類型。

為什麼直線和圓錐曲線只有區區幾種類型，而橢圓曲線種類一下子增加很多呢？讓我們先想象一個情景：在寬闊的海平面上露出一處礁石。如果海平面降低的話，礁石就會變大，可能會形成一座小山；如果海平面繼續下降，本來的一座小山可能會變成許多座互不相連的小山；隨着海平面下降，小山們變成了一座座小島，有些本來不相連的島甚至可能會連接起來。假如我們抽乾所有的水，那麼你會發現所有的島其實只不過是同一塊陸地的不同部分。

這樣一來，你看到的橢圓曲線實圖形其實只是整個橢圓曲線中的很少一部分，大部分都隱藏在實座標平面背後。海面上的島嶼千差萬別，但實際上無非是同一塊陸地的不同部分。這就是我們所要的答案——有點類似於“盲人摸象”的典故。

上面的討論告訴我們，如果僅考慮實數情形的話，我們其實損失掉了很多有用的幾何信息。僅考慮實數平面圖形顯然是一個不必要的思維枷鎖。因此我們完全可以放棄掉這一假設，即允許

便，人們仍然習慣於用實數平面的圖形作為橢圓曲線的示意圖——上一節的幾張圖都是這樣。以後我們談到橢圓曲線就默認它是在複數座標上的。

接下去的問題就來了：這樣的橢圓曲線的圖形到底是什麼呢？它當然不再是我們前面看到的實曲線的樣子了。事實上，它是四維空間裏的一個環面！所謂環面，就是指如下的救生圈：

四個變量滿足兩個方程，這就意味着其中有兩個變量是獨立的，它們可以表達出剩下的兩個變量。從幾何上説，這就是指橢圓曲線的圖形是個曲面。

至於為什麼它是環面，這可不是三言兩語能説清楚的。它涉及到複變函數和拓撲學的一些簡單技巧，我們這裏不再詳細解釋了。有興趣的讀者可以參看伏•巴爾佳斯基寫的一本極有趣味的科普書——《拓撲學奇趣》。

儘管擴充到複數域上的橢圓曲線是環面，但是我們仍然稱呼它為“曲線”，畢竟它在實數座標平面上的圖形仍然是曲線——示意圖仍以實圖形為標準。我們也可以把它想象成是複數座標下的“曲線”，即復一維圖形。

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舉一反三：退化的橢圓曲線是什麼圖形

好奇的讀者可能會問：按照上面的辦法，我們也能夠把直線和圓錐曲線擴充到複數情形，那麼它們是四維空間中的什麼圖形呢？答案是：它們都是球面。（作者按：它們是球面的原因來自於所謂的球極投影，以後將撰文介紹，這裏不再詳細解釋了）

既然如此，直線和圓錐曲線豈不是一樣了？事實正是如此！我們平時之所以看着它們覺得不一樣，除了上面説的原因之外，還有一個原因，就是我們沒有把曲線上的無窮遠處的點放進曲線——射影幾何中這樣的無窮遠點都是作為通常的點來看待的。一旦我們把這些所謂的“虛無飄渺”的無窮遠處的點加進去，你就會發現它們完全是一樣的。事實上，上一節的討論中，我們也默認了這一點。

很顯然，球面和環面有着本質的差別，環面中間有一個洞眼而球面卻沒有——這種洞眼數學上叫做虧格。因此橢圓曲線要比圓錐曲線及直線複雜得多。前面我們講的橢圓周長積分——實際上可以看成環面上的積分。這裏插一句，我們古典的數學分析實際上都是在平直的空間上（直線、平面……）建立微積分的理論。因此我們當然也可以在彎曲的空間（環面）上建立微積分。

聰明的讀者一定也會想到，退化的橢圓曲線擴充到複數情形，又是什麼圖形呢？比如

(1) 三條直線的並集（如圖）