“破解”希爾伯特第六問題之後，他們説這是“無心之舉”_風聞
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撰文 | 路飛
2025年3月，兩位華人科學家鄧煜和馬驍聯合中東數學家Zaher Hani在學術平台arXiv發佈預印本論文，宣佈攻克了希爾伯特第六問題的關鍵部分——從微觀分子運動嚴格推導出宏觀流體方程。消息甫一放出，就登上各大社交平台熱搜，這為下一屆菲爾茲獎得主花落誰家增添了一筆神秘色彩。
為物理的想象尋找數學註解
1900年8月6日，國際數學家代表大會在巴黎召開。
38歲的德國數學家大衞·希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）走上講台，第一句話就問到：“揭開隱藏在未來之中的面紗，探索未來世紀的發展前景，誰不高興呢？”接着，他向與會者提出了23個數學問題，這就是著名的希爾伯特演説。這一演説，成為世界數學史上的重要里程碑，為20世紀的數學發展揭開了光輝的第一頁。
百年來，人們把解決希爾伯特問題，哪怕是其中一部分，都看成至高無上的榮譽。而今，希爾伯特第六問題在沉寂了125年之後，實現新突破。
希爾伯特第六問題包括兩個具體問題：第一，是概率論的公理化基礎，此問題已在20世紀上半葉解決；第二，是玻爾茲曼關於力學原理的問題，即如何從數學上發展極限，從原子論的視角推導出連續介質的運動定律。
這一問題的核心訴求是將物理學公理化，把物理學的基本概念、定律和推導過程，變成一套邏輯嚴密、無可置疑的數學體系。在希爾伯特的計劃中，首先涉及的是概率論和玻爾茲曼的氣體動理論。
什麼叫物理學的公理化？簡而言之，就是用數學為物理找到解釋的註腳。即物理學如何利用基本公理系統，從第一性原理出發來推導其他物理定律。在氣體動力論這一具體問題上，公理化的要求對應於，在利用牛頓力學解釋單個粒子運動規律的基礎上，如何推導出含有大量粒子的氣體系統和流體系統的規律。
牛頓時代的物理學主要是研究少量單體，如只研究一個或少量物體如何相互作用、如何運動、相互作用後又如何運動。隨着時間推移，物理學百花齊放，發展出電學、光學、聲學、氣體動力學、流體力學，在氣體動力學中有玻耳茲曼方程，而在流體力學領域有歐拉方程（可壓縮）和納維-斯托克斯方程（不可壓縮）。
玻耳茲曼方程涉及到的粒子可以看作是大量遵守牛頓力學的粒子，它們在牛頓力學公理法則的支配下，與環境、容器、大量的其它粒子相互作用，進而呈現出由歐拉方程和納維-斯托克斯方程描述的宏觀規律。
作為原子論的堅定支持者，玻爾茲曼發展了統計力學方法，基於原子論假設給出了理想氣體在非平衡狀態下的運動方程，這即是玻爾茲曼方程。希爾伯特提出的研究計劃，從原子尺度上的牛頓運動定律出發，以玻爾茲曼的動力學理論作為中間步驟，目標就是嚴格推導流體運動的定律。
但牛頓運動定律是可逆的，玻爾茲曼方程卻是不可逆的。牛頓運動定律認為，單個粒子的碰撞、運動遵循一般動力學規律，這一過程是可逆的。而玻爾茲曼在麥克斯韋的分子混沌假設基礎上推導出了熱力學第二定律，即當温度不同的氣體分子混合在一起，最終温度會變得均勻，顯而易見，氣體分子的運動狀態是具有時間方向的確定性。
儘管玻爾茲曼的統計力學開始被人們接受，但如何從時間可逆的機械力學系統演化出時間不可逆的熱力學系統，仍然困擾着一代又一代數學家。包括希爾伯特本人在內，科學家們一直在嘗試通過將玻爾茲曼方程展開等方式來完成這一過程。
1975年，美國數學家Oscar Lanford證明了在足夠短的時間內玻爾茲曼方程的正確性，這一成果無疑成為解決希爾伯特第六問題的推進器，在數學界燃起了最終解決這一問題的光亮；此後近50年的時間裏，相關研究陷入了瓶頸，但數學家們不斷嘗試新的方法和思路，從不同的角度對問題進行剖析。
論文正文 | 圖源：官網
直到去年，鄧煜等三人聯手，用一篇164頁的論文，從稀薄氣體硬球系統在任意長時間下推導了玻爾茲曼動力學方程，使得希爾伯特第六問題的解決之路又向前邁進了一大步。
今年3月，他們的新論文終於給狹義希爾伯特第六問題畫上了圓滿的句號，並在此基礎上推導出了可壓縮流體的歐拉方程以及不可壓縮條件下的納維-斯托克斯方程。
鏗鏘三人行
這次取得重大突破的團隊由三位傑出的數學家組成，分別是芝加哥大學副教授鄧煜、密歇根大學研究助理教授馬驍，以及密歇根大學教授Zaher Hani。
鄧煜，1989年出生於中國深圳。2006年，年僅16歲的他在全國中學生數學冬令營中以滿分成績奪得冠軍，次年入選國際數學奧林匹克競賽（IMO）中國國家隊並斬獲金牌，順利保送北京大學。在北大數院學習兩年之後，他轉學前往麻省理工學院深造，並於2015年在普林斯頓大學獲得博士學位，此後前往紐約大學庫朗研究所擔任博士後。2018年，鄧煜完成博士後研究之後前往美國南加州大學，2024年加入芝加哥大學至今。他的研究興趣主要圍繞色散和流體方程，以及概率和調和分析。
鄧煜早年常駐貼吧、知乎，時常與“道友”分享學習生活所思所想，他總以温文爾雅兼幽默風趣示人，常被“道友“稱為“燈神”。在接受《返樸》視頻採訪時，鄧煜流露出一股天然的鬆弛感，不過他説話語速很快，旁人透過語言表達，可以輕易看出其思維泉湧。
和鄧煜數學競賽出身不同，馬驍屬於半路出家，競賽經驗寥寥。馬驍1998年出生於河南新鄉，初中畢業於鄭州市一中，高中通過數學競賽考入鄭州外國語中學。2014年，高二學生馬驍通過自主招生，考入中國科學技術大學少年班學院。
在中國科大，無論最後個人自主選擇什麼專業，數學、物理等基礎學科都是每個學生的必修課。大一伊始，馬驍選擇了“較為實用”的物理學，到大二時他才扭頭選擇了數學，並考入華羅庚英才班。
這裏需要插一句題外話，大三時馬驍曾前往號稱“數學家搖籃”的巴黎高師學習了一段時間，後因法語“不過關”而另尋出路。馬驍回憶起這段往事，尷尬地笑起來。2023年，他從美國普林斯頓大學博士畢業，目前是密歇根大學的研究助理教授。
相比於鄧煜的侃侃而談，馬驍説話不疾不徐，力求嚴謹，流露出大男孩靦腆的微笑。在回答《返樸》的提問時，他會自然而然地列出“首先、其次、再次”，並且不時追加“不知道我有沒有表述清楚”。
另一位作者Zaher Hani未參與此次訪談，但從鄧、馬兩位的介紹中，可以洞悉其在本項研究中承擔着重要角色。Zaher是黎巴嫩人，本科畢業於貝魯特大學，於加州大學洛杉磯分校獲得博士學位，師從著名數學大師陶哲軒，目前是密歇根大學的教授，同時也是馬驍的博士後合作老師。Hani最讓馬驍驚奇的是，“他是我見過的第一個會使用微信、支付寶、攜程的外國人！”
無心之舉
對於媒體的熱切報道，馬驍直言，“我們沒有想到這一篇論文相比去年發佈的論文，引起這麼大的轟動，這是我們意料之外的。”用鄧煜的話來説，“推導出玻爾茲曼方程是無心之舉”。
溯源鄧煜的文章可以發現，2024年8月之前沒有任何一篇論文關於玻爾茲曼方程的證明。
2018年底，鄧煜正在研究色散方程的隨機初值理論，即隨機Fourier級數。Hani在芝加哥大學的一次會議上向他拋出了一個問題，詢問其對“Wave Kinetic Equation 的推導”有何看法。鄧煜很快發現之前做隨機初值問題發展的一套組合工具，恰好可以用來處理WKE的Feynman（費曼）圖，於是大大改進了之前的結果，證明了所有稱之為“次臨界”的情況。
Hani並不滿足於此，拉着鄧煜繼續深入研究，“要不我們試一試臨界情形吧”。儘管鄧煜內心一開始是拒絕的，但是在初試之後立馬就嚐到了甜頭，倆人發現了一套新的組合結構和工具，這真叫“洞天石扉，訇然中開”！至此，2021年4月，倆人證明了“短時間”的臨界情形。
對於“長時間”臨界情形的證明，鄧煜追憶到某次吃韓式炸雞時的靈光乍現。“如果從短時間 τ 推到 2τ 會發生什麼？我猛然發現這裏存在着神奇的抵消性，再後來我才意識到這其實給出了WKE的時間箭頭。和Hani討論之後，我們發現這可以用來推導長時間的Wave Kinetic Equation。”
2022年12月，紐約召開Simons collaboration meeting，鄧煜和此前素未謀面的同門師弟馬驍相識——倆人在普林斯頓讀博期間是同一個導師，時空差距在此次會議上得以彌合。更巧的是，馬驍接着又做了Hani的博後，“再也沒有比他更合適的人選了”。
2023年初，在鄧煜着手做波湍流的第四年，他已經相當有把握，可以證明“長時間”的Wave Kinetic Equation，“以往學界往往用粒子系統來類比適用於波湍流的wave kinetic equation，我們為何不調換方向，用wave kinetic equation反向類比到粒子系統呢？”
這一想法，正是兩篇證明玻爾茲曼方程論文的起源。其核心思想是傳播一種長時間累積量（cumulant）假設，該假設能夠保留相關粒子完整的碰撞歷史研究的關鍵，在於證明這些累積量在L1範數下的微小性，而這一問題可以轉化為研究費曼圖（Feynman diagrams）對應的碰撞歷史（CH）分子的組合性質。這就到了鄧煜的研究舒適區。
團隊選取稀薄氣體硬球體系作為研究目標，運用累積量解析法來追溯粒子碰撞的完整過程。為調控分子的組合特性，確保復碰撞數量處於可控範圍，從而消除引發發散的根源，團隊精心構思了一種繁複的“切割算法”（cutting algorithm）。這一創新性算法成為整個研究的點睛之筆，經由對分子組合的精妙調控，成功證實了累積量的微小特性，進而從嚴謹的理論推導中，得出了玻爾茲曼方程的長期有效性。
在新近發表的論文中，團隊成功地從微觀牛頓力學出發，經由玻爾茲曼動力學理論，推導出了流體力學的歐拉方程與納維-斯托克斯方程，證明了粒子系統的物理量的極限滿足宏觀流體力學方程。這一成果實現了從微觀粒子系統的牛頓定律出發，通過玻爾茲曼動力學理論嚴格推導出宏觀流體力學偏微分方程的目標，為狹義希爾伯特第六問題畫上了圓滿的句號。
當被問及在“破解”希爾伯特第六問題之後做了什麼事情時，鄧煜道，“沒忍住狂喜，發了條朋友圈。”
需要補充説明的是，目前論文正在審稿中，不過學術界普遍持樂觀態度。
玻爾茲曼逝世後，被埋葬在維也納中央公墓，他的墓碑上鐫刻着一個著名公式S=k·logW，其中S描述了一個熱力學系統的熵，W代表該宏觀狀態中所包含的微觀狀態數量，k則是著名的玻爾茲曼常量。三月春風和煦，綠葉沙沙作響，這位統計力學先驅至死都在追尋微觀和宏觀的聯繫，而今終於能用數學證明：分子碰撞的喧囂，終將匯成物理定律的永恆樂章。
參考資料
[1] https://arxiv.org/abs/2503.01800
[2] https://mp.weixin.qq.com/s/E-XAupyIm-Z_UlJOjag86g
[3] https://www.zhihu.com/people/ma-xiao-42-34
[4] https://www.zhihu.com/question/14073117334/answer/123281591095
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