廣義逆矩陣定義眾多，計算繁雜，初學者很難理解其本質。雖然一般的教材都會提供規範的定義、標準的運算性質證明以及計算方法介紹，但這些內容往往“代數味”太濃，容易讓人陷入具體計算過程，而欠缺對概念內涵和聯繫的直觀把握。本文將從線性算子的角度出發，利用線性算子和矩陣的內在對應關係，解釋廣義逆矩陣的幾何直觀意義。
撰文 | 朱慧堅（玉林師範學院數學與統計學院副教授）、丁玖（美國南密西西比大學數學系教授）
我們在系列文章第二篇《從反函數的觀點看逆矩陣》中已經證明，對於一個行數不等於列數的“非正方形”矩陣，不存在另一個矩陣，使得它們的乘積和都是單位矩陣（當然兩者階數不一樣）。在本文中，我們將行數與列數不相等的矩陣稱為“非方矩陣”；若更細分之，行數大於列數的非方矩陣也按其形狀稱為“高矩陣”，而列數大於行數的非方矩陣則被説成是“矮矩陣”。
將矩陣等價地看成線性算子，上面用矩陣乘法表達的性質如用線性算子的語言，就是説任何非方矩陣不能同時是一對一（單射）的和映上（滿射）的。因此，非方矩陣沒有經典的反函數意義下的逆矩陣。然而，如果正整數 < ，可以找到行列的矩陣和行列的矩陣
= 。然而，上面的例子説明，對於某些矮矩陣，存在高矩陣滿足等式 = ，同樣，對於某些高矩陣，存在矮矩陣使得 = 。這裏的符號表示它是某階的單位矩陣。
既然非方矩陣沒有經典意義上的逆矩陣，難道就不能拓寬“逆”的含義，抓住它的核心要素，定義更廣意義下的逆？逆矩陣的定義是可逆函數的反函數概念應用到矩陣這個特殊函數的結果，而反函數的定義是基於可逆函數: → 在定義域上是“一對一”和“映到上”這兩個根本性質的。因此，要推廣“逆”的含義，就必須放寬對於“一對一”和“映上”的苛刻要求。
必須注意，以上所述並非暗示方陣必定有逆矩陣。事實上我們之前的文章已證，方陣只要是個單射或滿射，則分別同時也是滿射或單射，因而逆矩陣存在並唯一。只有那些既非單射又非滿射的方陣才與逆矩陣無緣。
這樣，我們的問題是：對於非方矩陣或無逆可言的方陣，怎樣定義“廣義逆矩陣”？我們將再次採用幾何的算子語言以完成任務。首先，我們引入本文所需的預備知識。
空間的直和分解
我們大致描述一下一般線性空間的概念，它是上述歐幾里得空間的抽象化。任給一個非空集合，如果對其中的任兩個元素和，它們的“和” + 作為中的一個元素有定義，此外任一實數和的“標量積”也定義為中的一個元素，並且這兩種代數運算滿足同歐幾里得空間中向量加法、數乘向量運算一樣的基本法則，如關於加法構成一個“羣”，特別地，加法滿足結合律和交換律、數乘滿足分配律等，則稱為一線性空間，其中的元素被叫做向量。除了幾何直觀性最強的歐幾里得空間被認為是抽象線性空間的“傑出代表”和“具體模型”外，中學生最熟悉的一例線性空間是所有次數不高於某個固定非負整數的實係數多項式全體所組成的集合，其中的元素加法和數乘運算就自然地由多項式的加法和數乘多項式來定義。
定義廣義逆矩陣
定義廣義逆矩陣示意圖
冪等矩陣和投影算子
其實，人們對投影並不陌生，一束平行的太陽光將正在陽光下走路的人投影到了路面上，形成了一個人影，這就是投影的一個司空見慣的例子。在中學或大學的力學課程中，我們知道兩個不同方向的共點力的合力可以通過平行四邊形法則幾何地畫出：以表示兩力的有向線段為相鄰邊，作一個平行四邊形，那麼這兩條鄰邊之間的那個對角線有向線段就代表了這兩力的合力。反過來，我們可以將第一個力視為合力沿着第二個力的方向，
朝着第一個力所在的方向投影的結果。由直覺可知，一個向量如果投影到一個方向上，得到原向量的投影，再向同一方向投影一次，之前投影后的向量就保持不變了。這説明“連續投影兩次無異於只投影一次”。
正交補空間和正交投影算子
可是，歷史上廣義逆矩陣並非一開始就這麼“無限自由”，可以選取矩陣值空間、零空間的任意補空間來定義，而是選取了兩個特殊的補空間，它們分別為給定矩陣的值空間和零空間的正
對於 > 3的歐幾里得空間^，裏面的向量非我人類目力所能及，然而在數學的天空我們依然把它們看得一清二楚，這完全得益於人的想象力。基於點積的分量乘積和公式，我們可以想象，當向量和的內積
時，這兩個向量在高維空間中是“相互垂直”的，因而我們有理由在此情況下稱和正交。
正交直和分解用在平面上，就可催生出笛卡爾平面直角座標系。據説在1619年11月10日那晚，法國天才笛卡爾做了三個奇特的夢，其中第二個夢萌生出“點的座標”這一數形結合的偉大思想，啓發瞭解析幾何的創立。美國數學史家貝爾在其著作《數學大師：從芝諾到龐加萊》中，甚至將這一天説成是“現代數學的公論的誕生日”。
