McKay 猜想：羣論中的見微知著_風聞

2023年10月，兩名數學家 Britta Späth 和 Marc Cabanes 宣佈證明了羣論中著名的 McKay 猜想，隨後他們於2024年在預印本網站 arXiv上公開了論文，目前尚等待審核發表。自從1971年首次提出以來，McKay猜想吸引了眾多研究者。這個神奇的命題將羣的表示與其子羣的表示聯繫起來，某種意義上建立了“整體”與“局部”的對應。猜想的最終證明並不只是偶然的靈光一閃，而是幾代人的不懈努力促成了這一結果。本文將試圖解釋這項跨越數十年的壯舉。

撰文| 張和持

遇見

2003年，德國卡塞爾大學的數學研究生 Britta Späth 與 McKay 猜想相遇了。與哥德巴赫猜想這樣著名且易於表述的難題不同，McKay 猜想的敍述並沒有簡單到大多數人都能看懂，它是羣表示論中的一個著名問題，需要用抽象代數術語才能準確表述；但幾十年來相關領域一直在活躍地發展，並沒有像哥德巴赫猜想那樣讓人望而卻步。所以 Späth 並沒有像後來證明了 Fermat 大定理的 Andrew Wiles (1953-) 那樣將年少的夢想藏在心裏；相反，她只是希望在這個領域得到一些小成果以完成自己的博士論文。

2007年，她順利完成了學業。但此時的 Späth 已經深深為 McKay 猜想着迷，她投入地鑽研羣表示論，尋找所有可能用到的技巧。或許 McKay 猜想就是為 Späth 量身定製的：早在高中時期，Späth 就經常持續幾周思考同一個問題，這種沉穩和耐心正是羣論這樣高度技巧性的學科所必需的。於是畢業之後，她決定繼續研究 McKay 猜想。

2010年，Späth 前往法國巴黎城市大學工作。在那裏她結識了同樣專攻羣表示論的 Marc Cabanes，Späth 對 McKay 猜想的熱情感染了 Cabanes，他們開始討論研究，然後約會交往，最後結婚生子。美好的生活並沒有撲滅他們對數學的熱情，一直到今天的十多年間，他們不斷產出，最終在2024年貢獻了 McKay 猜想最終的證明成果。

為了解釋這個美妙的猜想，我們需要先介紹羣表示論。

羣與羣表示論

羣論是數學中研究對稱性的分支。日常生活中我們會遇到很多對稱的圖形，比如圓形、正三角形、正方形、正五邊形，等等。以正三角形為例，正三角形有兩種對稱，分別是旋轉對稱和翻轉對稱。旋轉對稱是指圖形在旋轉了一定角度之後仍與自己重合；而翻轉對稱是指圖形沿某直線翻轉之後仍與自己重合。對正三角形來説，我們可以逆時針旋轉 或者 ， 並且沿任何邊的中垂線翻轉。

正三角形的對稱

這些變換並不是孤立的，我們可以把多個變換組合起來，比如先旋轉 120°，再沿某中垂線翻轉，或者交換一下順序，這樣就可以得到另一個變換（比如説先旋轉120°再左右翻轉，等同於沿傾斜角為30°的一條直線翻轉，這裏我們將三角形中心放置在原點，一條邊平行於x軸）。

變換的組合

乍一看似乎正三角形有無窮種對稱，因為只要旋轉角是 120°的倍數就能與自己重合，不過旋轉360° 和旋轉0° 的效果是完全相同的。所以我們只需要考慮120°， 這三個角度。注意，旋轉0° 或者説360° 並不會對圖形進行任何操作，但是我們仍然把它當成是一個變換。這類似於在自然數中加入0 。

考慮以上所有三角形的變換，我們就得到了一個集合

能進行某種二元運算（變換的組合），並且運算的結果仍然是集合中的元素（變換的組合仍然是變換），這種運算一般用乘法書寫；有一個元，它跟任何元的組合都不會改變別的元（旋轉0° ，或者説恆同變換），稱為單位元；運算不一定滿足交換律，但滿足結合律（變換組合的先後順序很重要，但是對同一個式子不存在某一部分的組合更優先）；每一個元都有一個二元運算的逆元（每個變換都有一個逆變換，比如旋轉120° 的逆是旋轉 240°，左右翻轉的逆還是左右翻轉）。

通過上面的提煉，我們將注意力從對稱圖形轉到了圖形的對稱羣。這種抽象的羣論來自於19世紀初 Évariste Galois (1811-1832) 和 Niels Henrik Abel (1802-1829) 兩位天才數學家對五次方程的研究，他們注意到代數方程的根式可解性依賴於根的對稱性，所以引入了羣。羣論專注於羣的普遍結構，研究它們有哪些子羣。但是這終歸是抽象的，如果只給出一個羣，我們並不能知道它描述的是什麼圖形的對稱性。不過有一種方法可以讓抽象的羣論變得具體，這就是羣表示論。

在考慮三角形的對稱羣時，細心的讀者可能就已經想到，為什麼不用矩陣來刻畫旋轉和翻轉呢？比如旋轉120° 對應的矩陣是

左右翻轉對應的矩陣是

羣表示論不是 Galois 發明的，雖然今天數學中有一個重要的領域叫作 Galois 表示，研究 Galois 羣的複數或者p進表示論，但是矩陣和向量空間的概念是James Joseph Sylvester（1814-1897）和 Arthur Cayley（1821-1895）等人在19世紀中葉提出的，這時 Galois 已經去世將近二十年了。線性代數的先驅們對羣論也不甚瞭解，他們主要關心的是線性映射或者二次型的一般理論。羣表示論的誕生要歸功於19末的數學巨匠 Ferdinand Georg Frobenius（1847-1917），他創造性地提出了特徵標理論——到今天為止都是羣論的基本工具。等介紹完特徵標理論，我們就有足夠多的數學語言來敍述 McKay 猜想了。

羣的行列式與特徵標理論

Frobenius 畢業於德國著名的柏林大學，師從大數學家 Karl Weierstrass (1815-1897）。Weierstrass 是現代分析學的奠基人，今天我們使用的嚴格微積分就出自他的工作，在他的指導下 Frobenius 成為了函數論的專家，年紀輕輕就在橢圓函數和線性代數兩個領域取得了不俗的成績，後來當選普魯士科學院院士。Weierstrass 一生育人無數，僅有記錄的博士生就有47人，連後來著名的物理學家 Max Planck (1858-1947) 都曾上過他的數學課，而 Frobenius 則被他評價為自己最優秀的學生之一。在專注於函數論多年後， Frobenius 已人到中年，他深感 函數理論中那些“如迷宮一般的公式”會導致自己“數學想象力消逝”。他開始重新審視自己的內心，想要找到活力的源泉，於是他把目光轉向數學中最原始又不加修飾的分支——數論。早在學生時代，Frobenius 就深受 Ernst Eduard Kummer (1810-1893) 和 Leopold Kronecker (1823-1891) 等數論大師的影響，19 世紀中葉的這一代德國數論學家振興了 Galois 的域擴張理論，並開創了代數數論這一嶄新的學科， Kummer 和 Kronecker 就是其中的佼佼者。Kummer 揭示了代數結構與 Fermat 大定理的聯繫，是代數數域研究的開創者；Kronecker 則用橢圓函數等超越方法構造代數方程的解，這成為了半個世紀後類域論的序曲。Frobenius 從數論中找到的活力源泉便是與 Galois 理論息息相關的（有限）羣論。

Frobenius 在數學界素有“論述清晰易懂”的美名，轉戰抽象代數後，他也很快在新天地站穩了腳跟。當時的代數學正處於從古典向現代轉型的關鍵時期。古典數學重視具體計算與實例，在20世紀之前，根本就不存在單獨的抽象代數這門學科，研究者們往往需要從繁雜的計算中領會核心思想。Frobenius 的工作則會盡可能地去證明普適的結論，例如第一次完整證明了 Sylow 定理。

有不同的矩陣，但是這樣產生的不同矩陣並不會有本質的區別，所以我們認為這種情況下兩個表示是同構的。

不得不指出的是，本文中使用的語言是20世紀之後改進的，Frobenius 的原始論文並沒有用矩陣來定義特徵標，而是用一種更直接的定義。但由於特徵標唯一決定了表示，所以兩種論述並沒有本質區別，而現代的語言在邏輯上要更加自然一些。特徵標並不僅僅是把表示論簡化了，如果沒有它，就沒有20世紀的羣論。要想明白特徵標理論的強大功效，首先我們要看看如何對錶示進行“計數”。

如此美妙的結構讓 Frobenius 流連忘返。他的後半生一直致力於完善這套理論，並與他的學生 Issai Schur (1875-1941) 一同把羣論帶向了20世紀。如今的羣論學家在面對一個羣時，首先就會把它的特徵標寫出來。

現在我們可以來説説到底 McKay 猜想是什麼了。

McKay猜想與羣的分類

McKay 猜想可以看作羣論中的“局部-整體對應”。在代數幾何與數論中，常常把與素數或素理想有關的結構看作是局部對象，數學家們會試圖用這些局部對象來理解整體對象，這在局部 Langlands 綱領等領域中發揮着巨大的作用；而 McKay 猜想恰好符合這一理念：局部不變量等於整體不變量。

不過這只是一個猜想，雖然有大量例子佐證，但是數學定理是不能用有限歸納法得到的。幾十年來，數學家們一直在尋找證明。與其説在尋找證明，不如説數學家們想要理解這種神奇對偶背後的原理。正如 Frobenius 通過特徵標來理解羣的行列式一樣，美妙定理背後的理論更令數學家們神往。

此時我們不得不提到20世紀羣論研究的一大趨勢，那就是對羣的分類，準確來説，是對有限單羣的分類。單羣是指這個羣除了1階羣和自己以外，沒有別的正規子羣。任何一般的有限羣，其性質某種意義上都反映在與其相關的單羣上，所以如果能搞清楚一共有哪些有限單羣，就能將羣論問題放到具體的幾類例子中研究。這是一項巨大的工程，很多人在瞭解到其複雜程度之後都會開始懷疑數學的簡潔性：自從1972年 Daniel Gorenstein（1923-1992）提出這項驚人的計劃以來，數學家們寫了上萬頁的論文，直到2004才正式完工。即便是目前尚未完成的簡化版本，預計也需要約5000頁篇幅。但是他們得到的結論卻非常簡潔，除了26個特殊情況（稱為零散羣）之外，有限單羣只有以下四種：

前兩種羣的定義都非常初等，善用搜索引擎的讀者可以花五分鐘看懂它們的定義，這並不是本文的重點。後文中我們將介紹 Lie 型羣。現在我們更關心的是分類定理對 McKay 猜想的影響。

2007 年，三位數學家 Martin Isaacs，Gunter Malle 以及 Gabriel Navarro 提出了“歸納 McKay 條件”，這是一個稍微改動版本的 McKay 猜想。他們證明，只要對所有有限單羣成立“歸納 McKay 條件”，就可以推出 McKay 猜想。這意味着數學家們只需要利用有限單羣分類定理，對四種單羣及26個零散羣仔細研究。這之後的十多年裏，包括 Späth 和 Cabanes 在內的數學家們發表了多篇論文，最終在 2024 年正式完工，為長達半個世紀的 McKay 猜想研究畫下句號。

整個過程中最困難，同時又最激動人心的部分，就是 Lie 型單羣。

Lie羣和Lie型羣

有一定物理基礎的讀者可能會聽説過 Lie 羣，這是一種具有光滑幾何結構的羣。比如實數加法羣

羣顯然是有限羣，不可能具有光滑結構，所以要和 Lie 羣區分開來。但是 Lie 型羣的理論從某種意義上又源自 Lie 羣，除了代數以外，還需要幾何的幫助。

可以肯定地説，挪威數學家 Sophus Lie（1842-1899）的工作與表示論完全無關。他研究這些羣的動機來自分析：既然代數方程的求解取決於 Galois 羣這樣的有限羣，那能否找到一些連續羣來描述微分方程呢？不過即便他用德語寫作，當時的德國人也並不買他的賬。Weierstrass 認為 Lie 的理論不夠嚴謹，需要推翻重來；Frobenius 更是評價 Lie 的理論用來解微分方程是在“繞遠路”。信仰直覺主義的法國人卻對 Lie 推崇有加，Henri Poincaré（1854-1912）甚至發出感嘆“任何數學都是關於羣的故事”。後來 Lie 理論的發展壯大也離不開直覺與應用，從20世紀20年代開始，量子力學的興起讓物理學家把注意力集中在了對稱性與羣論，數學家 Hermann Weyl（1885-1955） 和物理學家 Eugene Wigner（1902-1995）發現 Lie 羣的表示可以用來描述自旋等物理量，Weyl 更是系統性整理了幾何中的羣論內容，就是他首先把這些“連續”的羣稱為 Lie 羣。Frobenius 一生都在抗拒數學被應用污染而失去純粹性，但他的表示論卻最終與他討厭的 Lie 理論合併在一起被廣泛應用到理論物理中，以至於今天物理系學生學到的第一個羣可能就是 Lie 羣SU(2) 。這不得不讓人感嘆：歷史的潮流是不會因個人喜好而改變的。

與此同時，Lie 理論與表示論正在數學內部經歷一場不同的革命。Galois 表示伴隨着 Emil Artin（1898-1962） 對 L-函數的研究誕生了；Lie 羣/ Lie 代數（無窮小版本的 Lie 羣）的理論被嚴謹化，其表示被徹底研究，最終走向了 Langlands 綱領。Langlands 綱領想要建立 Galois 表示與自守表示的聯繫，而自守表示又與某些具有代數結構的 Lie 羣有關。這是另外一個宏偉的故事。但它對 Lie 型羣也有影響，在各種因素的影響下，代數羣誕生了。

係數都有效的幾何理論，因為他們經常需要處理實數/複數以外的係數。這套代數幾何理論（概形理論）最終在20世紀60年代被 Alexander Grothendieck（1928-2014）找到，而他的學生 Michel Demazure（1937-）則建立了現代意義上的代數羣理論。對於所有經典幾何概念，他們都找到了純代數的定義，進而規避了係數的限制。如此，整個 Lie 羣/ Lie 代數的理論都能被遷移到了代數羣中，用來研究任意係數的幾何。1976年，Grothendieck 的學生 Pierre Deligne

調）構造 Lie 型羣表示的方法，隨後的 1985 年 Lusztig 用這套方法找到了 Lie 型單羣的所有表示。

這樣巨大的成功自然也影響了羣論，研究這些 Lie 型羣也成了 Späth 和 Cabanes 面臨的主要挑戰。為了證明羣論中的結論，他們不得不大量應用像代數幾何這樣來自其他數學領域的工具。

證明

McKay 猜想的最終證明分散在十幾篇論文中，Späth 和 Cabanes 完成了其中的一半，他們2024年的論文填上了最後的一塊拼圖。幾位數學家必須對所有種類的有限單羣進行驗證，而 Lie 型單羣內部也分為數個種類。到2018年為止，只剩下最後一種 Lie 型單羣需要考慮了。越到後面，證明的難度越大，這也是為什麼最後一種情況花費了整整六年時間。像 Deligne-Lusztig 這樣的代數幾何理論通常是高度抽象的，但是 McKay 猜想提出的問題卻是非常具體的數量關係，這要求數學家們去尋找兩個羣的特徵標之間的一一對應，對於很多高度複雜的羣而言，技術難度是前所未有的。除了代數羣理論外，證明還涉及諸如 Clifford 理論、塊理論等工具。

McKay 猜想並不是“局部-整體”對應的全部，Lie 型羣也還存在着諸多未知。或許這些對應的背後還有更加深刻的結構，而現在擺在數學家面前的仍然只有這十幾篇高度技巧性的論文。在有限單羣分類定理得到證明之後，大多數數學家都表達了自己的不滿，他們覺得合格的理論應該用更高的觀點來解釋特例，比如 Michael Atiyah（1929-2019）就認為有限單羣的背後應該有某種帶有羣作用的幾何理論；但也有數學家認為證明無法進一步簡化，因為有限單羣中的 Lie 型羣和零散羣本身就已經很複雜了。McKay 猜想的證明並沒有那麼複雜，相反 Späth 和 Cabanes 的證明還為代數羣理論帶來了一些新的血液，但同樣由於 Lie 型單羣本身的複雜性，證明不可避免地依賴複雜的技巧。

不過這些問題並沒有困擾兩位數學家，完成夢想或許是人生最幸福的事，但在 Späth 看來，McKay 猜想並不僅僅是一項挑戰，更是她生活的目標、勇氣，以及心中的悸動。如今她戰勝了一切困難贏得了挑戰，同時也失去了原本的目標。所以她和 Cabanes 開始了新的數學旅程，去尋找新的熱情和勇氣。祝願他們能像 Frobenius 一樣，在後半生找到“活力的源泉”。

Britta Späth（左）與愛人 Marc Cabanes

參考文獻

[1] Etingof, Pavel, et al. “Introduction to representation theory.” arXiv preprint arXiv:0901.0827 (2009).

[2] Cabanes, Marc, and Britta Späth. “The McKay Conjecture on character degrees.” arXiv preprint arXiv:2410.20392 (2024).

[3] Sloman, Leila. “After 20 Years, Math Couple Solves Major Group Theory Problem”. Quanta Magazine.

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