華裔本科女生非常規操作，讓停滯幾十年的牛頓遺留問題迎來新突破_風聞

吻接數問題不僅具有很高的數學難度，還在通信、人工智能和物理學等領域有廣泛應用價值。

撰文 | Denovo

1694年5月，在時任劍橋大學盧卡斯數學教授的牛頓（Isaac Newton），與蘇格蘭天文學家兼數學家大衞·格雷戈裏（David Gregory）會面。據後世記載，他們曾討論過一個看似“天文學”卻又深具幾何意味的3問題：如果把太陽看作一個“中心球”，那麼在三維空間中，圍繞它最多可以放置多少個大小相同的“行星球”而使它們都與中心球僅在一個點上接觸（即相切），又彼此不發生重疊？這段對話的真偽雖仍存爭議，卻由此引出了一個延續數百年的數學難題——“吻接數問題”（Kissing Number Problem）。

牛頓與格雷戈裏進行討論引出了“吻接數問題”丨圖片來源：作者AI生成

2024年11月7日，現在斯坦福讀博士的華裔女生Li Anqi與她在麻省理工學院讀本科時的導師亨利·科恩（Henry Cohn）於arXiv發佈一篇論文，顯示他們在這一問題上有了新的突破：他們提出了全新的幾何構造，使球體在17至21維空間中能夠以更加緊湊的方式彼此“接觸”。待完全通過論文出版流程後，這一結果可謂是自20世紀60年代以來，數學界在這些維度區間內的首次重要突破。

發佈於arXiv的論文

三維“吻接數問題”是怎麼解決的？

讓我們先回到數個世紀前的討論上。在三維空間裏，可以很容易在中心球周圍放置12個球，使得每個球都跟中心球相切。然而，這種排布在球與球之間還留有空隙。是否存在第13個球能夠塞進多出來的空間中？格雷戈裏認為可以，牛頓則堅持12已是極限。

三維空間的吻接數為12丨圖片來源：Quantamagazine

1952年，數學家許特（Kurt Schütte）和範德瓦爾登（Bartel Leendert van der Waerden）運用了一種巧妙的“降維”思路，將三維問題轉化為球面上的幾何問題，從而為牛頓與格雷戈裏跨越兩個多世紀的爭論畫下句號——牛頓是對的，三維空間中可圍繞中心球緊密排布的最大球數是12。

考慮中心球周圍要放置N個接觸球，每個接觸球都必須與中心球相切，並且不能相互重疊。所以證明目標就是：N=12是可行的，並且N=13會導致至少兩個接觸球發生重疊，從而不可能實現。

具體來説，他們先將中心球與外圍球的球心“投影”到單位球面上：把外圍球的球心與中心球的球心連線，並將該連線延伸至與單位球面相交。由於外圍球都與中心球相切，被投影到球面上的點彼此之間必須保持一定的最小夾角，以免對應的外圍球產生重疊。

接着，他們在球面上為每個投影點劃定一個不互相重疊的球冠，並發現：如果試圖放置超過12個點，這些球冠的總面積就會超過球面可提供的總面積，從而形成邏輯上的矛盾。這也就證明了，三維空間的吻接數是12。

那其他維度的“吻接數問題”呢？

吻接數問題同樣適用於任意維度的球。在一維空間，一條直線上中心球兩側可以各接觸1個球，共吻接2個球。在二維空間裏，情況同樣一目瞭然：在桌上放一枚硬幣，周圍最多可圍上6枚緊貼它的硬幣，宛如一朵雛菊盛開。那麼，若維度繼續提升，情況又會如何呢？

二維空間的吻接數為6丨圖片來源：Quantamagazine

在數學中，維度表示描述空間所需的獨立方向數。例如，一維空間是一條直線，只有長度；二維空間是一個平面，具有長和寬，比如紙張上的圖形；三維空間則是我們日常生活中的立體空間，包括長、寬、高。四維及更高維度則屬於數學中的抽象概念，每增加一個維度，就意味着多了一個獨立的方向。

舉個生活中的例子：假設你每天記錄體重、身高、血壓、睡眠時長4個數據，你的健康狀態就可以看作一個四維空間中的點，你的健康狀態可以看作四維空間中的一個點，每個指標對應一個維度。“球”則代表所有滿足某種條件（如健康評分範圍）的數據集合。

隨着維度的升高，吻接數問題會變得更加複雜。這是因為每增加一個維度，球體的接觸點排列方式都會呈指數級增長。在三維空間中，最多隻能有12個球圍繞中心球緊密貼合，而在24維空間，這一數目則暴增至近20萬個，它們以超對稱晶格的方式排列，猶如一張極為精密的編織網。而在24維中驗證這近二十萬個點是否重疊，涉及了1933億次計算。

此外，高維空間中的球體幾何性質與低維空間大相徑庭，常常顛覆我們的直覺。例如，在100維空間中，一個邊長為1的超立方體（即100維正方體）的對角線長度約為10，而在二維情況下，它僅為。這一現象表明，高維球體之間的“安全距離”需要更復雜的計算，傳統排列方式可能不再合適，數學家需藉助抽象代數、信息論甚至物理中的弦理論工具。

高維度的“吻接數問題”現況如何？

為了解決在高維度的吻接數問題，數學家們各顯神通。

2008年，奧列格·穆辛（Oleg Musin）基於德爾薩特（Delsarte）線性規劃技術，通過分析球體排列的對稱性，並結合球面調和分析，嚴格證明了四維空間的吻接數為24。

因成功解決8維的吻接數問題，維亞佐夫斯卡於 2022 年榮獲數學界最高榮譽——菲爾茲獎，成為歷史上第二位獲得該獎項的女性丨圖片來源：EPFL

隨後在2017年，維亞佐夫斯卡與亨利·科恩等合作者，採用與8維空間相似的傅里葉分析方法，進一步證明了利奇（Leech）格是24維空間中最密的球體堆積結構，吻接數達196560。

這些方法高度依賴於對稱性，因此，在某些對稱性較弱的維度（如5、6、7維等），計算最大吻接數變得極其困難。目前，四維（24）、八維（240）和二十四維（196560）是僅有的三個已被嚴格證明的高維吻接數。

因此，2022年春季，當時還在麻省理工學院讀數學本科的Li Anqi在老師亨利·科恩給了她這個題目後，創造性地選擇了放棄對稱性，“離經叛道”地去選擇了一些“怪異的結構”，通過翻轉座標符號（奇偶性調整），構造出非對稱的球體排布，在17-21維中發現了新的空隙。多個近期結果都支持這些不太容易獲得的結構的前景。在過去兩年裏，數學家們通過扭曲或者打破常規的對稱性規則，得出了5、10和11維中巧妙的新構造。數學家們逐漸發現，在某些高維空間中，非對稱結構可能比傳統的對稱晶格更優。

Li Anqi個人主頁上的自我介紹

不過，這離徹底解決這個問題還有很遠的距離。亨利·科恩説：“也許我們離真相還很遠，因為它並沒有一種直觀易懂的描述。”

徹底解決“吻接數問題”有何意義？

那麼，徹底解決這個問題究竟有什麼意義呢？

徹底解決吻接數問題不僅是數學上的一項重要挑戰，還在通信、人工智能和物理學等領域具有廣泛應用。

在數學上，它涉及高維幾何、優化理論、數論和代數幾何，推動高維空間優化與編碼理論的發展。在無線通信和量子通信中，數據點的高維排列影響信號傳輸效率，例如：格雷碼在24維空間的最優排列與與利奇格吻合，曾應用於NASA的旅行者1號；被而5G和量子加密中的超立方體碼也依賴高維結構優化。此外，在機器學習中，高維數據分析需要優化聚類和距離度量，而吻接數問題的研究有助於提升大規模數據處理和模式識別的準確性。在物理學領域，弦理論認為宇宙可能存在10維或11維，高維幾何為統一相對論與量子力學提供了重要的數學框架。

因此，徹底解決吻接數問題不僅回答了經典數學難題，也將推動多個科學領域的發展。

參考文獻

[1] Mathematicians Discover New Way for Spheres to ‘Kiss’, Quantamagazine. https://www.quantamagazine.org/mathematicians-discover-new-way-for-spheres-to-kiss-20250115/

[2] Schütte K, van der Waerden B. L. Das Problem der dreizehn Kugeln[J]. Mathematische Annalen, 1952, 125(1): 325-334.

[3] Musin O R. The kissing number in four dimensions[J]. Annals of Mathematics, 2008: 1-32.

[4] Viazovska M S. The sphere packing problem in dimension 8[J]. Annals of mathematics, 2017: 991-1015.

[5] Cohn H, Kumar A, Miller S, et al. The sphere packing problem in dimension 24[J]. Annals of Mathematics, 2017, 185(3): 1017-1033.

出品：科普中國

審核：鑄雪（Springer 科學編輯）

監製：中國科普博覽

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