在無限與變化之間：一場關於微積分的深度對話_風聞

美國康奈爾大學教授史蒂文·斯托加茨（Steven Strogatz）因在動力系統[1]與複雜網絡理論[2]領域的開創性貢獻享譽數學界。在動力系統領域，他研究了蟋蟀的同步鳴叫等現象；在複雜網絡理論方面，他於 1998 年在《自然》雜誌發表的論文《小世界網絡的集體動力學》（Collective dynamics of small-world networks）[3]掀起了一場持續至今的研究熱潮。儘管取得了諸多成就，斯托加茨或許會説，他最重要的身份並非研究者，而是“翻譯者”。

在一次與The Believer雜誌的訪談對話中，從斯托加茨教授的著作《微積分的力量》談起，教授通過微積分歷史上的最重要人物闡述了數學與自然的關係，並對確定性和不可預測性進行了分析。

採訪&寫作 | Prashanth Ramakrishna

翻譯 | Alex

在搜尋混沌理論課程的補充材料時，我第一次接觸到斯托加茨博士的工作。他的著作Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering對於我深入理解數學具有重要意義——我當時對數學的定義還停留在封閉課堂環境中的定理、證明和計算。但實際上，數學的力量在於它能夠極其精確地描述自然世界的運行規律，並利用這些描述預測未來的發展變化。不久之後，我開始從事涉及現實世界動態現象建模的工作，比如研究青春期大鼠看似隨機的睡眠-覺醒週期、動脈中血液脈搏波的反射，以及組織如何通過招聘來維持意識形態的多樣性。事實上，斯托加茨的啓發徹底改變了我對數學的看法，我意識到，如同畫家揮動畫筆，數學家運用數學描繪出了現實世界的某種面貌。萬物皆模式（Life is patterns），關鍵在於能否有人將它們辨識出來。這種頓悟，我確信，不會只發生在我一個人身上。

Steven Strogatz（照片由 John Groo 提供）

在一個以嚴寒著稱的伊薩卡市的冬日，我滿懷期待地來到康奈爾大學——這裏正是斯托加茨博士任教的地方，他擔任 Jacob Gould Schurman 應用數學教授。我這次專程為他的新書《微積分的力量》（Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe，2019）而來。我們在他的辦公室裏聊了好幾個小時——不僅談到了微積分的歷史，也聊到了父親在我小時候與我玩的一些（數學）近似遊戲、人文與科學之間的分歧、良好的數學教育應具備哪些要素、數學模型的侷限，以及美感、直覺與創造力在數學中的重要作用等諸多話題。本文即是那場對話的編輯整理版。

《微積分的力量》（中信出版社，2021年1月），購書可索取發票

採訪結束後，斯托加茨教授非常友善地開車送我回到了我當時居住的那間略顯破舊的兄弟會宿舍。當天深夜，在煙草和披薩的混合香氣中，我與一個學生閒聊起來。當我提到斯托加茨教授時，他一下子興奮起來：“動力學傳奇啊！Watts-Strogatz 模型，不就是他嗎？大家都説一定要上他的課！可惜課程安排不允許，實在遺憾。”

01

微積分的天體起源

The Believer（以下簡稱BLVR）：在我看來，《微積分的力量》不僅試圖解釋微積分是如何發展的，還試圖説明它為何行之有效。這種理解是否過於簡單？是否符合你寫作這本書的初衷？

斯托加茨（以下簡稱SS）：我寫這本書主要想探討三件事。前兩件相互關聯——正如你所説，我想解釋微積分的由來以及它為何有效。第三件事是展示微積分如何改變人類的生活。我的目標是要將歷史、概念和應用全部融入到書中。不過，歷史並非我的專長。數學史上流傳着許多軼事趣聞，想想你的老師們，他們很可能也講過高斯或黎曼的故事。我發現，幾個世紀以來，我們一直喜歡談論這些話題。我甚至覺得自己瞭解阿基米德是什麼樣的人。當然，這不過是自欺欺人罷了。

BLVR：人們往往傾向於神化數學家，彷彿他們擁有超能力一般。數學家的殿堂裏匯聚瞭如此多樣的人物。但我總覺得這種多樣性呈現出一種兩極分化的狀態，一端是極度自負，另一端則是全然忘我。這種二元性在書中的一些人物身上得到了很好地體現。

SS：是的，像是費馬和笛卡爾，還有牛頓和萊布尼茨。關於伽利略和開普勒，雖然我不會將他們稱為對手，但他們是同時代的人，可以很自然地並列提及。然而，我最終還是省略了許多重要的歷史人物，比如黎曼、高斯、柯西和拉格朗日。寫書時我開始意識到，我希望能儘量降低這本書的數學門檻。比如，我甚至要假設我的編輯沒學過高中代數。如果連這些基礎都沒有，那談論黎曼的成就又有什麼意義呢？我希望真實地呈現數學，這樣任何讀者都能從零開始理解。

BLVR：幸運的是，要討論微積分的兩個主要組成部分——微分和積分，並不需要複雜的歷史背景。説到這裏，我意識到人們往往會忽略數學名詞本身所包含的解釋價值：“微分”是將連續的整體分解成無限小的組成部分；而“積分”則是將許多細小的部分重新整合為一個整體。

SS：我也這樣認為。你這種説法似乎特別自然。微積分之所以十分強大，是因為世界上許多事物都可以被視為連續體，並且可以不斷細分。時間、空間及物質實體，皆是如此。

BLVR：問題是：為什麼微積分會產生如此深遠的影響？

SS：如果要用一句話總結，那就是：微積分是研究“變化”的數學。更準確地説，它研究的是“連續變化”。我們這裏説的不是那種胡攪蠻纏的變化，而是比如一位HIV感染者在接受三聯雞尾酒療法後，血液中的病毒載量會迅速下降這樣的變化；也包括太陽系天體是如何運動的，這曾是早期重要的未解之謎，並由此引出了一個有趣的問題。縱觀歷史，人類如此痴迷於星辰、月亮和太陽，但是，為什麼？為什麼這些天體是人類最早能夠數學化的對象？那時候，人們對草藥、動物和農業已經有所瞭解，但在這些領域，基本只依靠計數就足夠了。為什麼那些高深的數學（比如三角函數的微積分運算）最先應用在天文學上？我心裏有個答案，不過我很好奇你有沒有想過這個問題。

BLVR：是的，我也想過這個問題。我認為這個問題的答案有兩部分。第一，某些天體的運行顯然有規律可循，即使人們一開始不清楚這些規律具體是什麼，也能強烈地感知到它們的存在，而且只要仔細觀察，假以時日就能發現。第二，那些規律能夠被可靠地觀測到。而這兩點，最終成為科學的必要前提：察覺到某事物值得研究並找到研究它的可靠方法。

SS：非常好。另外，天體運動的時間尺度也剛剛好——既不太快，也不太慢。那些變化非常迅速的現象，甚至只是從橋上扔下一塊石頭，在當時其實是很難研究的，因為那時沒有足夠精確的時鐘，無法測量石頭落入水中的時間。一切都發生得太快了！另外也要記住，這些觀測工作往往是在夜晚進行的，沒有電燈，四周漆黑一片。而在世界上很多地方，夜空本身就非常壯觀。

不過，同樣讓人費解的是，這些天體距離地球非常遙遠，人類為什麼會想要研究它們？你可能會認為理應最先發展醫學，因為它關乎生死，是人類最迫切需要解決的問題。但醫學太複雜了，直到今天，其中的規律仍然成謎。所以，我想你説得對——天體運動呈規律性，運行速度緩慢，而且肉眼可以觀測到。因此，人們可以繪製圖表並記錄下來。最終，最遙遠的對象反而最先被理解。微積分正是在那場追尋行星運動規律的古老探索中逐漸萌芽的。而“行星”一詞的本意，正是“漫遊的星辰”。

BLVR：仰望星空是一種分離“運動現象”的自然方式。許多最早為微積分奠定基礎的重要進展都源於“人為分離運動現象”方法的發展。比如，我現在腦海中浮現的就是伽利略讓小球在帶槽斜面上滾動的實驗。正是這種方法論上的突破，我們才能研究地球運動規律。

SS：是的，伽利略的實驗繼承了阿基米德的精神。阿基米德做了很多漂浮物體和類似性質的簡化實驗。伽利略就像是現代版的阿基米德。方法論的另一個重大突破就是刻意忽略某些因素的影響。比如，摩擦力在現實生活中不可或缺，而伽利略卻費盡心思將小球軌道打磨得光滑筆直，因為他對摩擦力不感興趣。他真正想理解的是重力以及重力如何影響物體的運動。

做這些小實驗是為了弄清楚宇宙中的事物是如何變化的，而描述這種變化的語言就是微積分。在代數中，我們會學到用關係式來思考問題，比如“距離 = 速度 × 時間”。但這隻適用於物體勻速運動的時候，而宇宙中很多物體並非勻速運動，比如行星圍繞太陽旋轉，靠近太陽時速度加快，遠離時就慢下來。再比如，邁克爾·喬丹扣籃時，跳到最高點時好像懸停在空中，接着突然加速下落。這些運動的速度變化必須找到方法描述。而幾何也有類似的侷限：古典幾何學能夠處理直線構成的形狀，並用直線幾何方法來量化光滑曲線（如拋物線）下的面積。但要處理光滑曲線，需要一種新的思想，那就是微積分。

02

鄰近於美

BLVR：微積分的發展凝聚了眾多數學家的智慧。因此，我想我們是不是應該介紹一下你書中的重要人物？

SS：我本想在書中講述一千個人物的故事，但礙於篇幅所限，我決定重點介紹阿基米德。我認為他是古代最重要的數學家，他當時所解決的問題，現在仍然困擾着SAT的考生。阿基米德成功量化了許多由光滑曲線構成的形狀，比如圓、球體和拋物線。微積分的核心就是“變化”。直線的方向不會發生改變，而根據定義，曲線的方向則不斷變化。因此，曲線是研究“變化”的重要內容。阿基米德是第一個能夠通過測量曲面物體的屬性（如表面積、體積和弧長）描述這種變化的人，而這一切的背後，是他對“無窮”的駕馭。

BLVR：他駕馭無窮的方法，便是巧妙地將物體拆解再重新組合，從而為後來微積分的發展提供了重要線索。

SS：他簡直是切割形狀的藝術大師。這很像立體主義。布拉克（Georges Braque，法國著名立體主義畫家）有一幅畫作，用萬花筒一樣的視角展現人走下樓梯的場景。從不連續的畫面中，你卻能感受到連續的動作。如何將鋸齒狀的碎片變成光滑的形狀呢？立體主義畫家在 20 世紀初懂得了這個方法，而阿基米德早在公元前 250 年就知道怎麼做了：他將一個像拋物線般平滑的形狀，分解為許多越來越小的三角碎片。多麼奇妙的畫作！

阿基米德至今仍然如此重要，真是不可思議。動畫人物史萊克光滑的肚子或喇叭形的小耳朵都是由數百萬個多邊形構成的。所有的計算機圖形都巧妙地利用無數個微小的多邊形來近似平滑的面部、腹部、耳朵和其他所有部位。面部外科醫生使用相同的技術來預測整形手術的結果。因此，通過運用阿基米德的思想，我們可以為外科醫生提供真正有效的“手術模擬”。

BLVR：那古典時代之後呢？

SS：我們直接跳到兩千年後的17 世紀初，那時人們開始量化地球上和天空中物體的運動方式。接下來登場的是伽利略和開普勒。他們既是數學家，也都是富有科學精神、目光投向數學之外的探索者。他們研究數學的目的並非僅為數學本身，同時也懷抱着對自然的敬畏之情。

開普勒是個虔誠的信徒。儘管他最後當了老師，但年輕的時候他本打算做一名路德教的牧師。他曾一度形容自己處於一種“神聖狂熱”的狀態。他對宇宙的規律抱有一種神秘主義的看法，認為自己正在發現上帝用來創造宇宙的神聖幾何。開普勒發現了行星運行所遵循的定律。雖然他當時還不知道萬有引力定律，但他在行星運行中發現了大量的幾何結構。在開普勒之前，哥白尼就提出行星圍繞太陽運行的設想，但開普勒用數學方法證明了這一點。

BLVR：你對開普勒的描述，我很感興趣，因為從畢達哥拉斯開始，數學神秘主義就是另一條重要的歷史脈絡。

SS：我們不妨説明一下什麼是數學神秘主義。開普勒就是一個神秘主義者，讓我們以他為例。當時，除了地球之外，還有五顆已知的行星，它們靠近太陽，分別是水星、金星、火星、木星和土星。有趣的是，如果你畫一個五角星，並連接它的五個角，就會得到一個五邊形。另一種更傳統的思考方式是：如果你畫一個五邊形，然後從內部連接它的角，那麼你不僅會得到一個五角星，還會在原始圖形中心生成一個小五邊形。五邊形是一種能夠自我生成的形狀，並且可以無限延續下去。因此，根據丹·布朗（Dan Brown，美國懸疑小説作家）的説法和畢達哥拉斯的觀點，五邊形象徵着生育和女性。“5”在畢達哥拉斯的數字命理學中非常重要，而開普勒深受其影響。他注意到有五顆行星，同時也發現五種特殊的立體圖形，即柏拉圖立體（立方體或正四面體），它們的每個面都是相同的正多邊形。於是他心想：“它們之間一定有聯繫！” 開普勒得出結論，宇宙是基於柏拉圖幾何構建的。他在著作《宇宙的奧秘》（MysteriumCosmigraphicum）中提出了一個方案：立方體內嵌套着十二面體[4]，十二面體內又嵌套二十面體[5]，幾乎可以解釋五顆行星的位置以及它們與太陽之間的平均距離。這是一個美麗的設想，可惜大自然並沒有採用。

數學是宇宙的秘密嗎？開普勒對此深信不疑，畢達哥拉斯學派亦是如此——據説畢達哥拉斯在發現音樂的和諧遵循數學定律後説出了那句“萬物皆數”。這是一個貫穿整個數學發展歷程的主題。如今我們已很少談論這個話題，因為我們不想把自己視為神秘主義者。但它依然存在。人們認為某些理論之所以優美（比如超對稱就是量子理論極為優雅的概括），或許是因為這種美感本身就藴含着某種啓示。這種啓示無疑對愛因斯坦最有效：最美的相對論版本最終被證明是最好的。數學之美與真理之間存在着複雜的關係。美能指引我們發現真理嗎？遺憾的是，並非總能如願。但有時可以。

BLVR：在純數學領域，人們往往強調優雅（elegance），而優雅或多或少等同於簡潔（simplicity）。只要人們繼續把美和簡潔聯繫在一起，並始終渴望簡潔能夠對應事物的根本，那麼我認為美依然會是探尋真理的指路明燈。審美意識在數學直覺中佔據重要地位，或許我們需要些許拋棄已有的認知才能習得。

SS：讓我們再來説説開普勒。與前人一樣，開普勒認為行星的運行軌跡應該是一個圓，因為圓形是最簡單、最完美的形狀。時至今日，人們仍然將圓形視為完美和永恆的象徵。我們選擇圓形作為結婚戒指並非偶然——“我愛你直到永遠”正如“圓永無止境”。然而，當我們真正觀察行星的運動時，會發現它們並非嚴格地沿着圓形軌道運行。但另一方面，它們的軌道又非常接近圓形。因此，開普勒像托勒密和其他先賢一樣，試圖找到一種方法解釋這一點——這在古代天文學中被稱為“拯救表象”（saving the appearances）。

BLVR：真理就是近似於美。

SS：最後證明，行星運行軌道並不是圓形，而是橢圓。它與圓形非常相似。想象一下，你以一個圓形為底，像飲水機旁的紙杯那樣不斷擴展，就能形成一個圓錐。然後你以一個傾斜的角度切割紙杯，得到的截面便是橢圓形。可見，圓錐從圓形而來，而橢圓則來自切割圓錐。這個純幾何學中的簡單形狀竟然揭示了行星圍繞太陽的運行軌跡——這就是著名的開普勒第一定律。觀測數據與理論完美契合，開普勒是對的！他認為上帝會運用幾何學的偏見似乎得到了印證。而且，這個答案如此簡單。

另一個同樣簡單的“真理”是伽利略的發現：物體在空中拋擲後的軌跡呈拋物線形狀。“道義上”來説[6]，籃球的投籃軌跡也呈拋物線狀。然而，由於惱人的空氣阻力，實際情況並非如此。因此，現實世界……總是近似於美。這也引出一個問題：我們應該關注真實發生的現象，還是沉浸在柏拉圖式的理想世界中，探究事物“本應如此”的狀態？如果盲目地追求真理，反而可能無法洞察那些隱藏在些許“謊言”下的更深層原理。完美的拋物線弧線就是一種“謊言”。伽利略常常選擇這種“謊言”；他選擇看到事物的理想狀態。

這與藝術有很多共通之處。我非常喜歡畢加索的一句名言：“藝術是一種謊言，教我們理解真理。”我覺得很多偉大的科學家心中都有這種衝動。為了探尋更深層次的真理，他們會忽略一些不便利的因素。然而，這種做法也存在巨大的風險，因為有可能會被認為是不誠實（intellectually dishonest）。

BLVR：兩千年來，人們不斷探索各種問題的解決方法，而這些方法都隱約暗示着微積分之類的數學應該被形式化。隨後，牛頓橫空出世，他準備融匯前人的思想，成為那位偉大的集大成者。

SS：關於牛頓，實際上還有一些不太清楚的地方。我們應該視他為劃時代的革命者，還是“站在巨人的肩膀上”的集大成者？事實上，兩者皆是。最初瞭解他時，我曾認為人們對他的評價過高，但隨着研究的深入，我逐漸認識到，牛頓確實應當與歷史上那些最偉大的人物齊名——但更多是因為他運用數學深刻影響了我們思考其他學科的方式，尤其是物理學和天文學。牛頓讓我們看到：自然是有邏輯的。而在他之前，我們對此一無所知。但人們通常不這樣表述，大多數人會説：“他發現了運動定律。” 牛頓為當時已知的所有地球和天體運動提供了一致的解釋，即其著作《自然哲學的數學原理》第三卷中所提出的“世界體系”（The System of the World），其中還包括潮汐、彗星等傳統上不被提及的自然現象。人們常説“他發明了微積分”，但這種説法並不準確。牛頓的確將所有前人已知的知識系統地整合起來，形成一個成體系的系統，一套如今已高度精簡和完善的算法，甚至可以教授給普通高中生。或許牛頓成就最有力的證明就是：他將微積分變得非常機械化，人們甚至不需要理解就能進行運算。遺憾的是，這恰恰是許多學生學習微積分的常態。

03

拉普拉斯妖和心智景觀

BLVR：微積分的應用顯然極其廣泛。但正如你在書中提到的，它也存在一定的侷限性。更確切地説，微積分在預測時所依賴的決定論並非總能成立。你使用了一個源自拉普拉斯[7]的思想實驗説明這一點，你能否展開談談，為什麼“拉普拉斯妖”（Laplace’s Demon）掌控的“機械宇宙”（Clockwork Universe）[8]無法成立？為什麼它的不成立意味着決定論乃至微積分的侷限性？

SS：在 20 世紀 70 至 80 年代混沌理論興起之前，曾有這樣一種普遍看法：如果一個系統是決定性的（也就是説，其運行規則中絲毫不含偶然或隨機的成分），那麼它就像一部電影，只要被重放，情節總會分毫不差地重演一遍。人們相信，任何遵循決定論的系統都是可預測的……至少在理論上是這樣。因此，只要你能準確測量宇宙中所有粒子初始時的位置和運動速度，牛頓定律就能推斷出它們此後每時每刻的運動軌跡。所謂的“拉普拉斯妖”，便是這樣一個擁有無窮智慧的假想生靈，它能洞悉每一個粒子的確切位置與速度，並據此計算出整個宇宙的未來——從歷史進程到我們每一個人的情感波動，包羅萬象。

拉普拉斯妖主宰着一個遵循牛頓定律的決定論機械宇宙，這種思想實驗展現的圖景本身就令人不安。出於種種原因，如今我們已不再相信這種設想了。現代觀點認為，“量子力學已取代牛頓定律，成為物理學的主要定律。”然而，即便是在一個完全遵循經典牛頓定律的宇宙中，人們也無法對任意遙遠的未來做出預測。你只能將測量結果精確到一定的位數。傳統上，人們認為，只要測量得足夠精確，就能預測出超越宇宙年齡的未來。因此，在實踐中，人們應該能通過不斷提高初始條件的測量精度來改善預測的準確性。然而，實際情況並非如此，尤其是在20世紀70年代混沌理論問世之後。我們瞭解到，即使是這些簡單的力學系統，初始條件測量中的微小誤差也會呈指數級增長，導致短時間內預測結果嚴重偏離實際，我們稱這種現象為“混沌”（Chaos）。這就是難以提前多日預測天氣的原因，而理論上，人類根本無法預測數週後的天氣。

BLVR：這裏有一個關於數學形式主義的問題，最近我常常拿這個問題“伏擊”朋友，給我帶來了不少樂趣。我的問題是：在心智景觀（Mindscape）中是否存在一個隱秘角落，其中命題“P”與“非P”可以同時為真？

SS：我明白了——也就是説，我們談論的是一個不遵循“排中律”（Excluded middle）[9]的宇宙。

BLVR：對，這正是我朋友當時的看法，也是我期待你能提到的。心智景觀就是由各種思想構成的抽象宇宙。思想相同的兩個人可能會在心智景觀中佔據同一個位置，就像物理世界裏兩個人可以身處同一個地方。所以，任何你能構想出的事物都存在於心智景觀。關於數學有一個不為人知的小秘密：人們可以隨意構建任何想要的系統，而這個系統並非一定要對應真實世界。

SS：這是不是説沒什麼規則可循？我原本以為，數學擁有一套明確的規則。我們必須就具體的邏輯規則達成共識，同時受限於這些規則。

BLVR：至於這種數學系統所描述的某個宇宙是否存在，那就是另一個問題了，對吧？

SS：是的，確實是不同的問題。一個問題是，我們想象出來的數學“樂園”是否對應真實世界。但還有另一個更一般的問題，聽起來似乎是你想問的：“我們能否有其他類型的數學？甚至其他類型的邏輯？”這時先不要管真實世界如何。

BLVR：你提到“真實”（real）一詞很有意思。剛才那個問題背後還有一個更深層的問題：數學定律是真實存在的嗎？還是説，它們之所以真實，僅僅是因為它們所描述的對象（也就是真實世界）是真實的？那麼，數學對象呢？那些理想、完美的對象，它們也是真實存在的嗎？

SS：很難用“真實”這個詞來形容它們。這裏還涉及不同世界的問題。羅傑·彭羅斯在其著作《通往實在之路》（The Road to Reality）中提到，存在三個世界：數學世界、心智中的思想世界，以及物理對象構成的“真實”世界。我不太習慣這種三分法。通常我認為只有兩個世界：柏拉圖的理念世界和物質世界。不過，很有意思的一點是，彭羅斯將心智產生的思想和數學概念區分開來。我的理解是，他認為數學概念獨立於人的心智存在，但又不像 π 那樣存在於“真實”世界；π是一個真實的……説實話，我也不太理解他的意思。但某種程度上，我又能理解彭羅斯。作為數學家，當我們發現一個公式，或者揭示出某些數學對象之間的關係時，那種感覺就像是發現了已經存在的事物。這與肖邦創作《夜曲》不同，我不知道肖邦本人會不會這樣想：“那些《夜曲》早就在那裏了，是我發現了它們。”雖然米開朗基羅也曾説過，他只是“把雕像從石頭中釋放出來”，但它們確實是被創造出來的。那麼，微積分基本定理是否曾等着我們去發現？圓周率的概念呢？圓的面積公式呢？給我們的感覺是，它們好像本來就在那裏。但問題是——在哪裏？

BLVR：探討數學概念是否是物理實在的自然體現，還有一個論點是基於它們的預測能力。比如，宇宙中有些現象確實表現出類似e的規律。我們在數學上把e定義為當 n 趨於無窮大時，(1+1/n)n 的極限。你把細菌放進培養皿，它們也會以指數方式增長；與此同時，你可以構造出一個像e一樣無限不循環的數字，但它與真實世界毫無關係。換句話説，宇宙似乎“並不知道”這個假想數字。但不知何故，宇宙似乎“知道” e。

SS：這其實是我整本書想傳達的觀點。很多人不喜歡費曼的那句名言：“你必須學微積分，因為微積分是上帝的語言。”但他這麼説並非沒有道理。我們現在瞭解宇宙萬象，最好的工具就是微積分。無論是水流的運動、空氣的流動、熱量的傳導、電磁現象還是量子力學，本質上都要靠微積分來描述。如果要讓人們説出費曼那樣的話，很多人可能會説“數學是宇宙的語言”。但更準確地説，微分方程才是宇宙的語言。宇宙的“語言”並不是那些抽象的代數拓撲，而是由微積分裏的各種符號（使用微分算子和積分算子）書寫。從原子到星系，所有我們研究過的領域，背後都有微積分的影子。有些熟悉量子力學的人可能會提到最深層的“路徑積分”，但説到底，它也是一種“積分”，所以它還是微積分！

BLVR：關於“數學對象到底是不是真實存在”的問題，其實還可以擴展到那些理想化的模型上。只有將微積分工具巧妙地應用到某些實際模型中，才真正體現出它們的價值。我想我們可以圍繞你以前研究過的一個模型來聊聊——我在閲讀你的作品時對它產生了興趣。不過，在這之前我有個問題想問你：為什麼人們應該對模型持懷疑態度？

SS：你不妨先描述一下這個模型，看起來你對它還記憶猶新。

BLVR：這個問題是：能否在一個社會中鼓勵政治温和的立場？為探究這一問題，你構建了一個極其簡化的模型，將一個匿名社羣劃分為四組羣體：其中一組持主流世界觀 B；兩組持反叛世界觀A——其中一組由“狂熱分子”構成（指其成員固守己見、絕不改變立場）；最後一組是温和派，其觀點融合了A與B，因此以AB表示。你通過一系列微分方程，來描述這些羣體的規模如何隨時間發生變化。

SS：我和合作者是這樣設想的：持不同觀點的人相遇後，其中一方説服另一方“改變立場”，並可能在一定概率下成功。我們沒有探討任何細節，如你所説，這是一個高度簡化的模型。

BLVR：結果相當悲觀。你們嘗試從多個角度調整模型，希望長期鼓勵温和立場，卻幾乎沒有任何效果。唯一有效的方法是引入一種獨立於人際互動之外的外部調節力量。

SS：這股外部力量可以是來自權威機構自上而下的干預，也可能是某種共同經歷的外部事件，比如你在節目外提到的“9·11事件”。人類文明伊始，統治者們就明白，塑造一個共同的敵人是最有效的社會凝聚手段。《1984》中的大洋國[10]不正是長期處於戰爭狀態嗎？不過，整個討論的關鍵是：數學模型對於任何重要事物是否可靠。將微積分應用到人類事務中其實非常棘手，因為我們沒有像描述物理世界的牛頓定律或電磁現象的麥克斯韋方程組那樣能夠準確描述人類行為的法則。無論在個體層面還是羣體層面，我們都無法預測人類的行為，而它在理論上是否可行是真正的哲學問題。我們現在不過是在“玩遊戲”。

從另一個角度看，這類“遊戲”之所以有趣，是因為它們讓我們意識到人類知識的侷限性，從而保持一種謙遜的態度——我們對人類行為或社會到底瞭解多少？這些模型本身常常會展現出令人意想不到的行為特徵，比如在那個關於“温和派”的小模型中，我們發現，讓温和派變得更加頑固，非但沒有促進温和，反而更容易讓狂熱分子佔據主導地位。這給了我們一個深刻的教訓：你以為自己能知道事態發展，但即使在這樣一個刻意簡化的“宇宙”裏，也很難做出準確預測。經驗告訴我們，當我們聲稱某種社會干預會產生這樣或那樣的效果時，往往並不準確。但這麼説好像是虛無主義，太悲觀、太消極了。你總是要做些事情，對吧？或者……我也不知道該怎麼説。

BLVR：我們希望在理論上能夠準確預測。但拉普拉斯妖的例子已經告訴我們，這並不現實。我們可以做到某種程度的預測，比如天氣預報。實際上對於社會進步這樣複雜的事物，我們的預測能力也可能只在某個特定界限內有效。我們越接近那個界限，就越能做出正確的決策。但界限始終存在，而人類事務又太複雜、太混亂，所以我們也許永遠都無法做出最好決策，甚至連稍好的決策都難以實現。這種無力感，確實讓人沮喪。

SS：行為經濟學中有一些看似簡單卻行之有效的原則。以目前美國器官捐贈為例，如果你在車禍中不幸身亡，你需要在生前明確表示願意捐獻器官，並進行登記，才會成為器官捐獻者。默認情況下，你不是器官捐獻者，但並非必須如此。理查德·塞勒（Richard Thaler）[11]提出了“助推”（nudge）理論，展示了另一種可能性。該理論利用了人類行為中的惰性：大部分人傾向於維持默認設置，所以如果我們把“捐獻”設為默認，人們就更可能成為捐獻者。這個例子藉助對人類行為的些許洞察，做了一件好事。這將是未來研究的方向。數學與社會科學的交叉點在哪裏？“軟科學”是最難攻克的領域，它們是最後被數學化的學科，又或許永遠無法被真正數學化。而在那些“硬科學”領域，我們已經取得了長足進展。數學非常適合這些學科，正因為如此，它們反而變得“容易”。

斯托加茨的科普貢獻：

著有《同步》（Sync: How Order Emerges from Chaos in the Universe, Nature, and Daily Life，2003）、《微積分的人生哲學》（The Calculus of Friendship: What a Teacher and a Student Learned about Life while Corresponding about Math，2009）、《X的奇幻之旅》（The Joy of x: A Guided Tour of Math, from One to Infinity，2012）等著作，在《紐約時報》上開設了風趣親切的數學專欄，斯托加茨極大化解了公眾對數學揮之不去的牴觸情緒，在這方面，他所付出的努力鮮有人能及。

斯托加茨對數學傳播的熱情和投入還體現在教學風格中：注重直覺、實際應用與真實案例，自然而然地激發學生們的想象力。

憑藉這些貢獻，斯托加茨博士獲得了無數榮譽。其中包括美國數學協會（MAA）頒發的歐拉圖書獎（Euler Book Prize）、美國科學促進會（AAAS）的公眾科學參與獎（Science Award）、劉易斯·托馬斯科學寫作獎（Lewis Thomas Prize），還有被選為劍橋大學勞斯·鮑爾（Rouse Ball）數學講座和麻省理工學院西蒙斯（Simons）數學講座講師的殊榮。他目前主持着 Quanta 雜誌的 The Joy of x 播客。

註釋

[1]動力系統指的是用函數描述空間中某點隨時間變化的一種系統。經典例子包括鐘擺的擺動、液體在管道中的流動以及人口增長。在某些動力系統中，可能會出現看似隨機的行為，這種現象被稱為“混沌”，研究這一現象的數學分支就是“混沌理論”。

[2]複雜網絡理論研究的是真實世界中以圖（graph）形式表示的系統，比如 Facebook 上的好友關係或大腦中的神經連接網絡。

[3]《小世界網絡的集體動力學》是 Steven Strogatz 與 Duncan J. Watts 合著的一篇論文，也是有史以來被引用次數第六高的物理學論文。該論文為“六度分隔”這一大眾熟知的概念提供了數學論證。他們提出了“小世界網絡”這一網絡類別，並被廣泛應用於社會運動、南加州的地震監測站網絡，以及大型數據庫中的信息可用性研究。其中最著名的小世界網絡構造方法就是“沃茨–斯特羅加茨模型（Watts-Strogatz Model）”。

[4] 十二面體是一種由十二個五邊形面組成的多面體。

[5] 二十面體是一種由二十個三角形面組成的多面體。

[6]數學家常説某個命題在“道義上成立”（morally），意思是他們根據自己對數學美感的直覺，相信這個命題“應該是真的”。

[7]皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）是法國著名的博學家（polymath），活躍於18世紀下半葉至19世紀上半葉。他不僅奠定了貝葉斯概率的理論基礎，還發明瞭在現代統計物理中廣泛使用的拉普拉斯變換。此外，他在天體力學方面也有重要貢獻。曾有一次，為了讓拉普拉斯難堪，拿破崙請他展示其太陽系模型，並質問道：“你在書中真的沒有提到上帝嗎？”拉普拉斯回答：“我不需要那個假設。”

[8]“機械宇宙”（Clockwork Universe）一詞，特別是啓蒙時代的一些自然神論者用其描述這樣一種宇宙觀：宇宙如同一座機械鐘錶，由物理定律精密控制，可預測地運轉。這個概念也被稱為“牛頓宇宙”。在這樣的宇宙觀中，如果存在一個掌握所有粒子的位置、速度和受力的“拉普拉斯妖”，那麼它就能預測宇宙在任意未來時刻的狀態，因為每個粒子的個體狀態都將根據物理定律可預測地演化。

[9]排中律是邏輯學中的三大基本定律之一，它指出：一個命題要麼是真的，要麼其否定是真的。其他兩個分別是：矛盾律（相互矛盾的命題不能同時為真）和同一律（每個事物都與自身同一）。這裏我想問，實際上是否可以設想一個不遵守排中律的宇宙。

[10]大洋國是喬治·奧威爾小説《1984》中的三個虛構的超級國家之一。在小説設定中，這些國家始終處於戰爭狀態，以此消耗失控的資本主義不斷產生的過剩供給。

[11] 理查德·塞勒（Richard Thaler）是芝加哥大學布斯商學院的行為經濟學家，他因將心理學納入個體決策的經濟分析而獲得了 2017 年諾貝爾經濟學獎。此處引用的是他的著作《助推》（Nudge: Improving Decisions About Health, Wealth, and Happiness），書中提出，組織可以通過“助推”（Nudge）策略優化政策設計，讓成員更容易做出好決策，更難做出壞決策。一個典型的例子是將器官捐贈設為“默認捐獻”，指除非一個人在生前明確拒絕捐獻器官，否則在死後會被默認為器官捐獻者。

採訪者簡介

Prashanth Ramakrishna 是一位作家、研究員和學生。他在紐約大學攻讀應用數學和網絡安全專業，研究課題包括分析青春期大鼠的睡眠週期，以及設計規則隨遊戲進程演變的變體國際象棋等。除了沉浸於符號的世界，他還熱衷於有趣的對話。

本文已獲得作者授權翻譯並發表於《返樸》。原文譯自Prashanth Ramakrishna, An Interview with Steven Strogatz.

原文鏈接：

https://www.thebeliever.net/logger/an-interview-with-steven-strogatz/

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