新智元：數學界地震！3位北大校友終結65年懸案，126維“末日假説”終獲證明_風聞

3位華人數學家，終結了65年的代數拓撲中的著名問題！證明中105種假設路徑中，計算程序成功排除了其中101種可能性，完成了計算上的壯舉！

3位華人數學家，終結了65年的著名數學問題！

這個問題涉及的是有框流形（framed manifolds）。

二維有框流形的例子

大概10年前，3位數學家Michael Hill，Michael Hopkins和Doug Ravenel證明僅在維度2、6、14、30、62存在一種特殊的流形：Kervaire不變量等於1的光滑有框流形。

而126維空間，也很有可能存在這樣的流形，但沒有被證明。

而在去年，復旦大學的林偉南、王國禎以及UCLA的徐宙利這3位北大校友，證明了126維度空間中這種流形的確存在。

這個Kervaire不變量問題，困擾了數學家65年，終於被破解！

論文鏈接：https://arxiv.org/abs/2412.10879

這項研究連接了兩種研究這些形狀的方法。

一種是拓撲學（topology），它關注的是形狀的連接方式——即在不撕裂的前提下對形狀進行拉伸、扭曲時，哪些性質保持不變。

另一種是微分拓撲（differential topology），它研究的是足夠「平滑」的形狀，從而可以使用微積分中的概念，比如切線和導數來分析這些形狀的結構。

但這一次，不止是數學，計算機編程也扮演着重要角色。

為了給北京大學獻上126週年的生日祝福，在2024年北大校慶期間，三位北大數學系校友林偉南（2011級）、王國禎（2004級）、徐宙利（2004級），在北京數學雜誌（Peking Mathematical Journal）會議上公佈了Kervaire不變量問題的徹底解決。

維度的個性

不同維度的空間，有着截然不同的「個性」。

比如説，只有三維空間中存在紐結（knots）——在更高維度中，即便緊緊抓住繩子的兩端，也總能將一個打結的繩子解開。

普通人難以理解其中的樂趣和奧秘，但至少數學家能證明的確如此。

七個交叉點以內的素紐結（prime knots）

而在四維空間中，進階版「莫比烏斯帶」—— Klein瓶的演化更為生動。

如今，數學家們終於為這場關於維度奇異性的研究寫下了尾聲，而這項研究已經持續了65年。

幾十年來，研究者們一直想弄清楚：究竟在哪些維度中，可能存在極其奇特的形狀——

它們扭曲得如此極端，以至於無法通過所謂的標準拓撲操作「手術」（surgery）將其變換成一個普通球面。

研究表明，這類形狀的存在，與拓撲學中的一個核心問題緊密相關：不同維度的球面之間到底存在怎樣的聯繫？

末日猜想

上世紀50年代，數學家John Milnor震驚了整個數學界——他發現第七維空間中存在「異構球面」（exotic spheres）。

所謂異構球面，從拓撲學的角度看，它與普通球面是一樣的——

即如果你只是關注形狀在拉伸或扭曲下保持不變的特徵，兩者看不出區別。

但它們在「平滑性」上的定義卻不一致：一個在普通球面上被認為是平滑的曲線，在異構球面上可能就不再平滑。

Milnor對這些異構球面產生了濃厚興趣。

研究發現，在某些維度中這類球面非常罕見，而在另一些維度中，它們的數量可能多達幾千個。

為此，Milnor引入了一種名為「手術」（surgery）的技術，這是一種受控地簡化數學形狀（即流形）並有可能將其轉化為異構球面的方法。

這一方法後來成為研究流形的核心工具之一。

顧名思義，「手術」（surgery）是指將一個流形中某一部分切除，然後沿着切口的邊界平滑地縫合上一個或多個新的部分。

縫合時必須保持「平滑」，不能出現尖角或邊緣不連續的情況。

在處理扭曲形狀的問題時，數學家還要求手術過程要保留流形的「框架」，即描述流形如何嵌入空間的一個技術性屬性。

為了直觀理解這一過程，讓我們用一個例子來説明：

通過「手術」，可以將輪胎圈轉化為籃球外皮，也就是把「環面」（torus）轉化為「球面」。

一共分為4步：

1. 從輪胎圈中割下來一小圈；

2. 輪胎圈變成了空心意大利麪；

3. 在輪胎圈兩段縫上新補丁；

4. 縫好後，新「輪胎圈」在拓撲上等價於「球面」。

最終結果是一個普通的球面——事實上，在二維中並不存在異構球面。

但在某些更高的維度中，手術有時可以把流形轉化為普通球面，有時則會轉化為異構球面。

而在某些情況下，還存在第三種可能：某些流形根本無法通過手術轉化為球面。

為了想象這種最後的情況，我們可以再次觀察一個環面，只不過這次我們會對它做一些特殊的扭曲，以阻礙手術的進行：

數學家們已經證明，無論如何操作，都無法通過手術將這個扭曲過的環面變成一個球面——不論是普通球面還是異構球面。這個流形屬於完全不同的類別。

Kervaire不變量

1960年，法國數學家Michel Kervaire提出了一個不變量——稱為Kervaire不變量。

每個光滑流形都有自己的Kervaire不變量：

如果一個流形可以通過手術變形成球面，那麼它的Kervaire不變量為0；

如果不能，則為1。

因此，普通的環面的Kervaire不變量為0，而那個扭曲的環面則為1。

Kervaire藉助這個不變量，開始探索不同維度中各種可能存在的流形。

他甚至構造出一個10維流形，其Kervaire不變量既不是0也不是1——

這意味着這個流形的結構扭曲得如此極端，以至於根本無法定義「平滑性」這種概念。

在此之前，沒有人認為這樣的流形可能存在。而隨着這個強大不變量的出現，數學家們開始紛紛研究不同維度中流形的Kervaire不變量。

幾年之內，研究者們已經證明，在維度2、6、14和30中確實存在Kervaire不變量為1的「扭曲流形」。

這些維度遵循一個規律：它們都是某個2的冪減2。

1969年，數學家William Browder證明了：只有這種形式的維度（即2^k-2）才有可能出現Kervaire不變量為1的流形。

於是，人們自然地假設：在所有這些維度中（如62、126、254等），應該都存在這類扭曲流形。

基於這個假設，有數學家構建了一整套關於異構球面與其他形狀的猜想體系。

但問題是：這個假設有可能是錯誤的。

如果它被推翻，整個基於它建立的猜想體系也將隨之崩塌。

這就是所謂的「末日猜想」（Doomsday Hypothesis）——它威脅着許多數學結構的穩定性與可信性。

懸而未解的尾巴

儘管數學家們在1984年證明了：在第62維中確實存在Kervaire不變量為1的扭曲流形，但此後在其他維度中的搜索卻屢屢失敗。

隨着一次又一次的嘗試無果，研究者逐漸失去了動力，這個問題也被邊緣化，變成了數學研究中的一條「死衚衕」。

2009年，為了「阻止這一課題被遺忘」，數學家Victor Snaith出版了一本書，探討如果Browder列出的所有維度中都存在Kervaire不變量為1的流形，會帶來哪些數學上的深遠影響。

但在書的前言中，Snaith發出了一句預警：「這本書所討論的內容，也許終將證明是並不存在的事物。」

然而，如果Snaith晚一年出版這本書，它的內容可能會完全不同。

就在書出版後的幾周內，Michael Hill，Michael Hopkins和Doug Ravenel公佈了一個令人震驚的結果：Snaith的警告是正確的。

他們證明，末日猜想是真的：

在第254維及更高維度中，不可能存在Kervaire不變量為1的流形。

這一結果讓整個數學界陷入了一個奇特的局面：在所有無限可能的維度和流形形狀中，只有一個維度仍然懸而未決，尚未被分類清楚。

那就是第126維。

用羅切斯特大學數學家Douglas Ravenel的話説：這是「一條懸而未解的尾巴」。

無盡的探索

數學家們早已知道：要解決某個維度上的Kervaire不變量問題，只需理解該維度對應的穩定同倫羣。

問題在於，這正是拓撲學中最困難、最基礎的問題之一。

如數學家Douglas Ravenel所説：「我不指望我的孫女輩的有生之年能看到它被完全解決。」

因此，數學家們只能逐步推進。

自1958年以來，他們一直在整理與穩定同倫羣結構相關的信息，構建出一個龐大但尚未完成的「點圖譜」——這就是著名的Adams譜序列（Adams spectral sequence）。

這個圖譜用密密麻麻的點和線記錄了關於穩定同倫羣的複雜數據，是拓撲學中最重要的計算工具之一。

關於球面穩定同倫羣的Adams譜序列E2頁的可視化示意圖

這本「圖譜」最初的幾頁只是粗略的近似。

越靠後的頁面，表示的就越接近真相。直到你翻到最後一頁，也被稱為「無窮頁」（infinity page），那時所展現的就是對這些拓撲對象的完整準確描述。

這正是Adams譜序列的精髓：用一頁頁「望遠鏡式的檢查」，在龐大的同倫世界中，逐步篩選出哪些結構是真實的、哪些只是幻象。

關鍵所在：126維

1969年，數學家William Browder證明了圖譜第126列中一個特定點是解決該維度下Kervaire不變量問題的關鍵。

若該點能存活至無窮頁，則126維流形必然存在兩種類型：

半數具有Kervaire不變量零，半數具有Kervaire不變量1。

若該點消失，則126維流形僅存在Kervaire不變量零這一種類型。

對於第126列的特殊點，存在105種可能在抵達無窮頁前消失的假設路徑。

論文鏈接：https://www.jstor.org/stable/1970686

為了研究這些可能性，徐宙利與大學室友王國禎聯手。

左：徐宙利；右：王國禎

在開發新計算技術的同時，他們將成果傳遞給徐宙利在研究生時期結識的數學家林偉南。

林偉南編寫的程序成功排除了其中101種可能性。

隨後經過一年攻堅，研究者們又開發出新方法排除了最後四種可能。

他們最終確認：Browder的特殊點確實能存活至無窮頁——這意味着126維空間中存在具有Kervaire不變量1的流形。

在團隊宣佈結果之前，數學家們認為這樣的計算遙不可及。

這項新工作「在計算上堪稱壯舉」。

其方法最終可能幫助數學家們進一步繪製巨大的Adams譜序列圖譜。

前路漫漫，數學永無止境

新論文證明了維度126中存在奇異的扭曲形狀，但並未提供如何構造它們的線索。

研究人員已在前四個特殊的Kervaire維度（2、6、14和30）中識別出特定的扭曲形狀。

但在維度62和126中尚未找到任何這樣的形狀，儘管在這些維度中，這類形狀佔所有可能形狀的整整一半。

儘管它們數量眾多，Tillmann説：「我們實際上無法指出一個具體的例子。」

如果數學家們能夠找出在維度62和126中構造扭曲形狀的方法，可能會揭示這六個維度為何特殊的線索——

為什麼只有在這六個維度中可以構建如此扭曲的形狀。

Hopkins説：「通常當這種情況發生時，會有一些非常美麗的構造。」

這種構造「非常短暫，因為它只能在五六次中生效，而非無限多次。」

這項新工作「激勵人們真正嘗試找到這六個維度的特殊構造。」

Kervaire問題只是Adams譜序列中編碼的一種維度異常。

特殊的Kervaire維度對應於圖譜第二行中的六個特殊點。

最近，徐宙利和哥本哈根大學的Robert Burklund發現，少數特殊維度似乎在圖譜第三行中展現出另一種奇特行為。

目前尚無人知曉這些維度中的特殊點對應於何種奇異流形，但數學家們希望能找到答案。

徐宙利表示，後續新的發現也很可能接踵而至。

「後面應該還有很多故事，等待我們去探索。」