對話安德魯·懷爾斯：尋找問題是數學家最關鍵的能力_風聞

編者按

2024年7月14日，2024國際基礎科學大會（ICBS）在清華大學拉開帷幕，英國數學家安德魯·約翰·懷爾斯（Andrew John Wiles）在此次大會上獲頒“基礎科學終身成就獎”。他曾證明半穩定橢圓曲線的模性定理，從而完成了費馬大定理的最終證明，深刻改變了現代數論的面貌。

懷爾斯的研究之路頗富戲劇色彩。1963年，10歲的懷爾斯在圖書館偶然翻到費馬大定理，該定理斷言當n>2時，方程x^n+ y^n = z^n沒有正整數解。他被這個問題迷住了，“從那個時刻起，我知道我永遠不會放棄它，我必須解決它。”

1986年，命運的齒輪開始轉動。肯·裏貝特基於讓-皮埃爾·塞爾和格哈德·弗雷的工作，明確只需證明半穩定橢圓曲線滿足谷山-志村-韋伊猜想，就能自動證明費馬大定理。“那是1986年夏末的一個傍晚，我在一個朋友家喝着冰茶。閒聊間朋友隨口提起：‘對了，你聽説肯·裏貝特證明了ε猜想嗎？’我心念電閃。那一刻，我知道自己的人生軌跡為之改變。”

懷爾斯放棄了其他所有研究，他獨自一人默默鑽研這個問題，長達7年之久。“剛開始我還是向同事提了我在做的事情，但他們知道後一見面就不斷詢問進展情況，使我感到很大的壓力和干擾。所以我覺得還是不講出來更好一些。”

1993年6月23日，懷爾斯在劍橋大學牛頓研究所演講，公佈他的成果。費馬大定理的證明寫到最後一筆，“我想我就在這裏結束。”會場爆發出經久不息的如雷掌聲。

媒體報道鋪天蓋地，聚光燈一夜之間對準了懷爾斯。《人物》雜誌將他與戴安娜王妃一起列為“年度最具魅力的25人”，一家服飾公司甚至邀請他為新推出的男裝代言。

然而沒過多久，審稿人那裏傳來了壞消息——論文第3章存在缺陷。起初，懷爾斯以為這又是一個容易修復的小問題，但研究逐漸深入，他意識到這個裂痕足以導致整個體系崩塌。“很長一段時間裏，我都以為解決辦法近在眼前，但隨着時間推移，問題似乎變得越來越棘手。”幾個月過去，證明失敗的流言逐漸滋長，學界開始向懷爾斯施壓，要求他公開證明細節。

一年時間毫無進展，1994年9月19日早上，懷爾斯接近崩潰邊緣，他準備承認失敗，但還是決定做最後一搏——“突然間，完全出乎我的意料，我獲得了不可思議的啓示。它美得難以言表，簡潔而優雅……我不明白自己怎麼會錯過它，難以置信地盯着它看了20分鐘。白天我在系裏走來走去，不時回到桌旁看看它是否還在那裏。我激動得無法自持。”

1637年，費馬在閲讀丟番圖《算術》拉丁文譯本時，在書頁空白處寫道：“我確信我發現一種美妙的證法，可惜這裏的空白處太小寫不下。”三百多年後的1995年5月，懷爾斯和合作者理查德·泰勒的兩篇論文在《數學年刊》上發表，篇幅長達130頁。

多年沉寂之後，榮譽紛至沓來。雖然年齡超過了40歲而無緣菲爾茲獎，作為替代，懷爾斯在1998年獲得了國際數學聯盟的特別榮譽，一個史無前例的銀質獎章。挪威科學與文學院在2016年阿貝爾獎頒獎詞中寫道：“他通過半穩定橢圓曲線具有模性質的猜想，令人驚歎地證明了費馬大定理，從而在數論領域開創了一個新時代。”

在ICBS2024會議期間，中國科學院院士田野、清華大學教授朱藝航對懷爾斯進行了訪談，其中既有對早年研究歷程的駐足回望，亦有對晚輩學子的殷殷期許。談話平實質樸，可以窺見懷爾斯温文爾雅、靜水流深的風範。訪談由ICBS獨家授權《返樸》進行翻譯和整理。

訪談現場，從左到右：懷爾斯、田野、朱藝航 | 視頻、圖片由丘成桐數學科學中心獨家授權

受訪者 | 安德魯·懷爾斯

採訪者 | 田野、朱藝航

翻譯整理 | 《返樸》

田野：懷爾斯教授您好，祝賀您獲得2024國際基礎科學大會基礎科學終身成就獎。我們非常高興和榮幸能邀請您來到北京，您之前到訪過中國嗎？

懷爾斯：我之前來過一次，到北京和香港。

田野：目前為止，這趟旅程感覺如何？

懷爾斯：非常好。我們受到了熱情款待，也非常喜歡這裏的環境，各方面都很好。

田野：和之前相比，此次來中國感受有何不同？

懷爾斯：上次來中國是很久以前了，記憶有些模糊。但這次在中國，我感到被一種寧靜與平和包圍。看到中國變得如此強大且充滿活力，令人振奮。

朱藝航：這是國際基礎科學大會成功舉辦的第二屆。大會每年舉辦一次，旨在彙集數學、理論物理、理論計算機和信息科學領域的頂尖學者，共同探討他們的前沿工作。這麼多頂尖學者齊聚一堂，令人印象深刻。您如何看待舉辦國際基礎科學大會的積極意義？

懷爾斯：我認為這是一個很好的契機，能夠將五湖四海、各領域的優秀學者匯聚一堂。數學乃至整個科學正是因此而蓬勃發展的：通過與不同國家的數學家們交流切磋，我們得以分享各自獨到的見解。有人擅長攻克某一方面難題，有人則擅長別的方面，而當這些智慧火花碰撞時，往往能催生出新的問題解決之道。

一半的研究時間在摸索方向

田野：您曾獲得諸多榮譽，特別是因對谷山-志村-韋伊猜想（Taniyama–Shimura–Weil conjecture）的奠基性證明，這一證明使得費馬大定理得以解決，並對數論領域產生了深遠的變革性影響。眾所周知您攻克了費馬大定理，但相比之下，鮮少有人瞭解谷山-志村-韋伊猜想。您能否向非專業人士解釋一下這個猜想，以及您的貢獻？

懷爾斯：這並不容易，不過我試着闡述一下。首先，費馬大定理是一個關於方程求解的難題，就是那個著名的方程x^n + y^n = z^n。然而除了這個方程，還有許多其他我們想要求解的方程。或許另一個很多人想要解決，並且極具挑戰性的方程就是橢圓曲線問題。它涉及的是形如y^2=x^3+3，或y^2=x^3+17，亦或y^2=x^3+3x+5這樣的方程，這些都是橢圓曲線。目前我們還不知道如何求解這些方程，但我們有求解它們的大致思路。我説的“求解”是指在有理數域上，也就是分數範圍內求解，我們已經有了求解的思路，希望有朝一日能夠以數學的方式證明它。而谷山-志村-韋伊猜想正是我們邁向這一目標的第一步，它指出存在一種非常特殊的函數——橢圓曲線的L函數來求解這個方程。但在猜想被證實之前，我們並不瞭解這個L函數，而現在我們對其有了更加深入的理解。

朱藝航：1996年，BBC播出了一部關於您證明費馬大定理的紀錄片。我在讀高中時觀看了這部紀錄片，當時我懷抱學習數學的志向，受到了深深的鼓舞和啓迪。那部影片我反覆觀看至少十遍有餘，激勵我踏上追求數學之路。今天能面對面與您交談，我感到無比榮幸。能否談談您證明費馬大定理的傳奇經歷，對年輕一代的學子們產生了怎樣的影響？

懷爾斯：我想你剛才已經給出了答案（笑）。很多人跟我説過類似的話，甚至連行外人也被這個故事吸引，因為從某種程度上説，每個數學問題都是一個故事，對於非數學背景的人來説，以故事的形式講出來會更容易理解，也更能感受到數學的激動人心。否則，他們可能會覺得這只是課堂上一道枯燥的難題，還不如出去踢足球。但一旦被故事吸引，他們就會明白為何這些問題如此扣人心絃，明白為何有人願意傾注數年光陰孜孜以求。因此我認為那檔節目做得非常出色，成功激發了普通人的興趣。節目製作人雖然不是數學家，但他被這個故事深深吸引，並努力將這份激情傳遞給觀眾。

朱藝航：在紀錄片中，您提到解決費馬大定理是您從10歲起就懷揣的夢想。後來真正開始學術生涯時，橢圓曲線成為了您的研究領域。當時是什麼原因促使您選擇研究橢圓曲線？

懷爾斯：我想主要是因為我當時的導師約翰·科茨（John Coates）教授。他想要研究橢圓曲線，就建議我們一起研究一個被稱為貝赫和斯維納通-戴爾（BSD）猜想的問題，它試圖告訴你如何求解這些方程。通過使用我前面提到的橢圓曲線的L函數，我們在這方面取得了一些令人興奮的進展。我們找到了一種證明解不存在的方法，但是真正的難點是在方程有解的時候找到這些解。

田野：BSD猜想是數論領域待解決的最深刻的猜想之一。您能否描述一下當年在劍橋大學研究這個猜想時的情況？

懷爾斯：在那個時候，並沒有一系列實例證實這個猜想。你可以驗證這個猜想，或至少以近似的方式，對一條曲線單獨進行驗證。但當時沒有任何一個一般的結論，也沒有人知道該如何着手解決這個問題。然而有一類曲線，對於它們，谷山-志村-韋伊猜想已被志村五郎（Goro Shimura）證明。那是一組特殊的、被稱作具有復乘法的橢圓曲線，例如y^2=x^3+5和y^2=x^3+71。我之前提到的那些曲線同樣具有復乘法的特性，我們找到了研究這類曲線的方法，證明了可以計算出某個數，如果那個數不為零，那麼方程的解就很少，並且可以找到所有的解。那個數實際上是L函數的一個特殊值，有一個公式可以把它算出來，從而進行檢驗。如果這個值不為零，就可以找到解；如果它為零，那麼你就遇到了另一個問題：我們猜想有無窮多個解，但無法證明，也不知如何找到這些解。

朱藝航：好的，讓我們回到谷山-志村-韋伊猜想。當您在20世紀80年代決定着手解決這個猜想時，其他數學家是否普遍認為這個猜想難以企及？您是如何洞察到谷山-志村-韋伊猜想能夠被解決呢？

懷爾斯：我認為大家的共識可能是這個猜想難以攻克，否則應該就會有更多人致力於此。我當時也沒把握將其解決，只是發現它和費馬大定理有聯繫，因此一發不可收拾。成年後我就沒有再深入思考費馬大定理，因為已經有太多人在這個問題上浪費了太多時間。而且職業數學家也認為研究它不是明智之舉，他們會勸你不要涉足它。然而1985年以後，人們意識到這當中可能存在某些聯繫。1985年格哈德·弗雷（Gerhard Frey）提出了一種設想：如果谷山-志村-韋伊猜想是對的，那麼就可以證明費馬大定理。他的想法不那麼確切，但在塞爾（Jean-Pierre Serre）的工作和裏貝特（Ken Ribet）的定理之後，我們發現確實如此：如果能解決谷山-志村-韋伊猜想，那麼就能證明費馬大定理。當我得知這一聯繫被確認後，便立刻投身研究和思考這個問題。至於能否將其解決，我當時並沒有想那麼多，只是沉浸於思考之中。

朱藝航：所以當您開始思考這個問題時，甚至也沒什麼頭緒。

懷爾斯：沒有。

朱藝航：事後來看，這確實是一項曠日持久的研究。

懷爾斯：是的，我一開始就意識到了這一點。

朱藝航：縱觀整個研究過程，您是如何邁出萬里長征第一步的呢？

懷爾斯：我想是巴里·馬祖爾（Barry Mazur）的一篇論文啓發了我，我首先試着去理解，如果橢圓曲線性質特殊，即存在一個有理點或階數較小的有理子羣，那麼可能會發生什麼。比如説，如果它有一個五階的有理點，或者一個五階的有理子羣，那麼在這些情況下，巴里·馬祖爾已經對所謂的赫克環（Hecke Ring）有了很深刻的理解。我試圖探究能否從中推斷出關於橢圓曲線的任何信息。我花了很長時間思考這個問題，這是一種很特別的情況，面對這樣一個長期的研究問題，不知道從何下手，也不知如何嘗試。雖然整個過程耗時8年，但有一半的時間只是在摸索正確方向。有時可能花費一兩年的時間但一無所獲，因為嘗試的方向是錯誤的。你必須排除那些希望渺茫的方向，找到似乎有聯繫的東西。也許每過兩年（就會靈光一現），就像我在開始研究一兩年後，就想到是否可以嘗試使用伽羅瓦表示（Galois representations）。又過了兩年，我意識到我需要研究所有不同的伽羅瓦表示是如何關聯在一起的。因此在早期階段我感覺自己進展緩慢，但在接近尾聲時，卻能迅速取得很多重要成果。

朱藝航：所以，研究伽羅瓦表示形變理論（deformation theory）的想法在一開始時並不明確是嗎？

懷爾斯：是的。事實上，我當時並沒有意識到自己在做形變研究。我那時對形變理論並不瞭解，對手頭研究的東西后知後覺。但這沒有關係，我其實是把（形變理論的）一部分重構了。是巴里·馬祖爾後來意識到伽羅瓦表示有很好的形變理論，這很有趣，值得深入研究。

關鍵在於切實可證

田野：谷山-志村-韋伊猜想是朗蘭茲綱領（Langlands program）的一部分，後者旨在統一數學的各個領域。在您看來，目前在朗蘭茲綱領中有沒有兼具挑戰性和可行性的目標呢？類似於當年的谷山-志村-韋伊猜想。

懷爾斯：我確實有一些發現和想法。多年來我一直在深入思考朗蘭茲綱領，並計劃在後續報告（參見文末英文視頻：懷爾斯在2024國際基礎科學大會上的報告）中闡述我認為的數論方法可能是什麼。簡單來説，我認為對於數論學家而言，朗蘭茲綱領的核心在於理解非阿貝爾擴張（nonabelian extensions）。阿貝爾擴張已經由類域論（class field theory）理解了，然而當提及朗蘭茲綱領時，人們往往會忽視類域論，或將其視為很久以前的東西。但我認為，（類域論的）方法論其實對探討非阿貝爾表示非常有用。我認為這兩者異曲同工，我的報告將嘗試闡述應該如何着手解決這一問題。

朱藝航：下一個問題可能也與您的報告有關，我看到您近前作過一個報告，題目是《一條通往模性的新路徑》。這是您目前的研究項目嗎？能多談談它嗎？

懷爾斯：是的，我會在後續報告中探討這個問題。我一直試圖理解如何證明橢圓曲線是具有模性的。特別是，我試圖避免使用原始證明中針對p=3所採用的的特殊技巧，而是從更一般性的角度出發論證。我認為這些論證與類域論更為接近。有一個問題是，類域論經過多年發展，其證明也在不斷變化，因此沒有人能確切知道其中到底是什麼真正在發揮作用，這可能會讓人感到困惑。我的意思是，在局部層面上它們並不困難，但要試圖理解為何採取這樣的方法，就不那麼直觀。我認為就像數論中的許多問題——至少對於數論中許多傑出成果來説，我們使用的技巧是，首先做某種顯式的構造，然後使用分析的手段來證明（這種構造）給出了所有的對象。我花了幾年時間，先是與馬祖爾合作，然後獨自研究巖澤猜想（Iwasawa conjecture），過程中使用的技巧確實就像我剛才提到的那樣。從某種意義上講，模性的證明，即費馬大定理的證明工作原本也應該遵循這種模式。我們提出一個顯式的構造，從模形式得到伽羅瓦表示，並且要確保這樣就得到了所有的（伽羅瓦表示），這應該使用分析的方法來證明。我想今天人們也許終於能做到這一點了，但在當年分析證明還遙不可及，難以行通。幸運的是代數方法提供了另一條路徑。我非常幸運，雖然那時我執着於分析的方法，但後來轉而意識到一個非常巧妙的代數方法。但就數論而言，我認為分析通常是解決問題的關鍵。當我提到分析時，通常指的是使用L函數，L函數的特殊值通過類數公式，或與之相似的方法。

朱藝航：您是指使用分析的方法確保得到了所有的對象嗎？您是在進行某種形式的計數嗎？

懷爾斯：確實是計數，你需要先進行構造，然後確認算無遺策。你可以通過L函數以某種方式給計數一個界。

朱藝航：實際上，這也讓我想起了您之前提到的：歷史上類域論的研究採用了多種不同方法。人們首先發展出了整體類域論，而分析無疑在證明中起到了重要作用。後來人們又提出了局部類域論的純局部證明方法，並隨後利用代數方法得到了整體類域論。對於朗蘭茲對應來説，我認為目前的情況是對於一般線性羣的局部朗蘭茲猜想，我們僅通過整體方法得到了證明。我們今天可能更接近得到一個純粹的局部證明，但尚未成功。對此您有何見解？

懷爾斯：我並沒有特別的見解。但我認為在探討類域論時，回溯那些採用分析法的經典路徑，或許能為我們帶來新的啓示。脱離分析而完成朗蘭茲綱領是不可思議的。問題在於，很多看似極具潛力的分析性證明思路，實際上都深陷於難以逾越的解析困境之中，我推測朗蘭茲本人也遇到了這些困難。因此，真正的挑戰在於如何能夠發掘切實可證的分析性命題。

朱藝航：您的思想體系是否也與朗蘭茲的“超越內窺”（beyond endoscopy）思想有所關聯？

懷爾斯：這正是我想要表達的。我認為朗蘭茲的理念對解析數論提出了過高的要求，解析數論學家對此難以提供實質性的幫助。因此我希望我努力的方向是，在解析層面，我所運用的L函數已經足夠滿足需求，這並非難事。

和學生一起發掘問題

田野：懷爾斯教授，您在職業生涯中曾致力於很多極具挑戰性和開創性的研究，您總是能敏鋭找到令人興奮且深刻的方向，令我們所有人印象深刻。這方面有什麼建議可以給年輕學子？

懷爾斯：我認為在你還缺乏經驗的時候，最好不要貿然從這些難題起手。因為如果在頭一個問題上蹉跎太久，就很可能因此心生退意。所以你可以先嚐試解決那些能在一兩年內攻克的問題，循序漸進。當你已經培養出一些敏鋭的直覺，也學會了如何在難題中堅持探索，那時便可以勇敢地迎接那些更耗時、更艱鉅的難題。

就我而言——或許許多人也是這樣，我們都是在融入學術界的過程中逐漸學會如何解決問題，從導師的諄諄教誨中汲取養分，在同儕的交流碰撞中不斷成長。因此鮮少有人能初出茅廬便獨自攻堅克難，極少數天賦異稟的人或許能做到，我並非其中之一，而我是幸運的，因為有良師益友相伴。

朱藝航：如今在我們這個領域裏，即便是為期一兩年的短期研究，最終論文呈現的篇幅也非常長，動輒一二百頁。同時論文的審稿週期也水漲船高。我認為這在某種程度上為年輕學者帶來一些挑戰，尤其是那些穩定工作還沒有着落的學者。您對這一現狀有何看法？

懷爾斯：很遺憾，情況確實如此，審稿週期正變得越來越長。我不知道背後的原因是什麼，或許是因為我們未能發現某些高效的方法或途徑，我不知道。但這是一個有趣的問題。

朱藝航：您曾在多所學校任教，足跡遍及哈佛大學、普林斯頓高等研究院、牛津大學等知名學府。您指導博士生有沒有什麼獨特方法？在這些不同的學術殿堂裏，您的指導方式是否有所差異？

懷爾斯：在與學生相處時，我傾向於和他們一同尋找可以作為他們博士論文題目的數學問題。我不會單方面指定某個學生去解決某個問題，因為每個學生的天賦和旨趣各不相同。最理想的情況是，我們共同找到的問題既吸引學生興趣，又能充分發揮他們研究能力。

就我而言，最順利的一個例子或許是我的學生曼久爾·巴爾加瓦（Manjul Bhargava），他在跟隨我學習之前，就已經掌握了出色的組合數學和離散數學技巧。當時，我手頭正好有個問題，希望有人能夠解決。我僅僅是和他順口提及，沒想到他竟能取得不可思議的成果。這個問題我自己肯定無法解決，也不知道該如何下手。這就是最順利的一種情況。然而有時候，一開始嘗試問題就舉步維艱，這時我就會意識到，或許是這個問題太難了，又或者它並不適合這個學生。因此，我希望能與學生一起，共同探索出最適合他們的問題。

你説得對，從某種意義上説，尋找值得深入研究的好問題，是數學家最為關鍵的能力之一，這也是研究生階段需要着重培養的技能。哪些問題值得投入精力，並不顯而易見，即便對我來説也是如此。我也無法預知每個問題的潛力和價值，但有時候我能從自己的研究中預見到某個問題的重要性，並且它尚未被深入探索，這時我就會將它交給學生去研究，效果往往非常好。然而更多時候我們並沒有這樣的現成的問題，而是需要不斷地去尋找，去發現。

你問題的第二個部分是關於牛津大學、普林斯頓高等研究院和哈佛大學。這些學府都非常國際化，哈佛的學生可能之前畢業於普林斯頓、牛津，普林斯頓的學生也可能來自哈佛，學子們從世界各地匯聚而來，從某種程度上説，他們是相同的一羣人，但在踏入這些學府後，所融入的學術社羣卻可能呈現出不同的風貌。有些學術羣體在研究領域上頗為統一，更具協作性，比如在哈佛大學，常常許多學生師從同一個領域的少數幾個知名教授，他們彼此間經常溝通交流，互相學習，一起舉辦研討會等等。

而在某些地方，你可能會發現導師們的研究興趣大相徑庭，學生們的興趣也各不相同。他們更傾向獨立探索研究，這樣的環境自然也有其獨特的挑戰。但無論如何，學生們來自五湖四海，最終也將走向世界各地。這種流動是非常國際化的。

朱藝航：當我在哈佛大學讀研究生時，我深刻感受到那裏的競爭氛圍非常激烈。彷彿每位研究生都有強烈的願望，想要證明自己比別人更優秀，比別人更聰明。然而當我到哥倫比亞大學做博士後時，我發現那裏的研究生羣體氛圍截然不同。他們之間的合作更為緊密，彼此間更加友好互助。所以，您認為哪種研究環境更適合剛剛踏上職業數學家道路的年輕人？

懷爾斯：如果你爭強好勝，那麼一個競爭激烈的環境會更適合你，但如果你不屬於這類人，那麼或許避開這樣的環境會更好。我不知道你在哈佛大學學習時感受到的氛圍在五年後是否依舊。在我看來，有些大學的本科階段競爭非常激烈，有些則截然相反。這部分取決於學校的招生策略，有些大學會通過數學競賽大量選拔學生，有些大學則選拔方式完全不同，招收的學生可能完全沒有競賽背景。我認為重要的是，選擇一個既讓你喜歡又適合你的環境。有些數學家偏愛獨自工作，長時間沉浸於獨自思考；有些則偏愛充滿熱烈討論與競爭氣氛的環境。

田野：能否推薦一些出色的文章或書籍，值得每個數學家或普通大眾閲讀？

懷爾斯：G.H.哈代的《一個數學家的辯白》（A Mathematician’s Apology）簡短易懂，是我非常喜歡的一本書。儘管這本書如今已顯陳舊，其中一些觀點也不再適用，比如作者曾斷言數論毫無實用價值。但我認為他成功以非數學家也能理解的方式展現了數學的魅力，這是一本非常簡短易懂的冊子。

對於數學家而言，塞爾的《數論教程》（A Course in Arithmetic）是一本出色的短篇佳作。它藴含了豐富的思想，而且表述優美。

編輯提示：2025國際基礎科學大會（ICBS 2025）將於2025年7月13日至25日在北京舉行，登錄大會官網 www.icbs.cn註冊參會。

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