盧昌海評《走出混沌》：一本雙重傳略_風聞

丁玖教授的《走出混沌： 我與李天巖的數學情緣》在一定程度上可視為著名華裔數學家李天巖的傳略，雖篇幅不大，卻對其作為數學家的教學和研究兩大人生主軸，及遠比一般人坎坷的身體方面的境遇等，作了非常深入的刻劃，展現了一個儘管刀痕累累，但生命力如火山洪流一樣的真實的人的生命風采。

本書雖不是數學科普，不以數學細節為重點，但為數不多談論數學細節的部分卻非常精闢——不僅題材往往是普通數學科普里讀不大到的，且還對一些有趣的史實作了辨析，並澄清了一些常見的誤區。

撰文 | 盧昌海

前一陣讀完了《數學文化》編委、美國南密西西比大學數學教授丁玖的緬懷導師之作《走出混沌： 我與李天巖的數學情緣》，覺得很不錯，且很獨特，特撰本文推薦一下。

讓我從自己幾年前的幾條微博説起吧——那是我對丁玖教授文字的最早印象：

2020 年 2 月 9 日：

前些天收到了最新幾期《數學文化》。自此，該刊 10 年 40 期已然匯齊。過去幾個月，從創刊號起，陸續翻閲着該刊，近日讀到 2011 年第 3 期，其中有兩篇文章特別精彩，都是關於美籍華裔數學家李天巖的 (很多博友想必知道他的著名論文 “週期三意味着混沌”)， 一篇是丁玖的 “傳奇數學家李天巖”，內容詳盡而深入；另一篇是李天巖本人的 “回首來時路”，精闢中點綴着幽默。兩篇並排，可謂傳記與自傳相得益彰。除學術成就外，李天巖最讓我印象深刻的是大半生的疾病纏繞：31 歲開始定期洗腎；35 歲換腎 (失敗)；36 歲再次換腎 (成功)；39 歲中風，做腦血管動脈瘤手術；50 歲做背脊椎骨關節炎手術；58 歲安裝動脈血管支架…… 在 “回首來時路” 的末尾，李天巖寫道：“我離開大學學習生活已經 40 多年了。有時常常想，若是重新再給我一次學習的機會，我將做什麼，怎麼做？但是正如……電影 “天涯何處無芳草” 中所提的： “沒有人能使時光倒流，草原再綠，花卉再放。只有在剩餘部分，爭取力量！”

2020 年 6 月 11 日：

讀《數學文化》 2012 年第 3 期畢。2012 年這前 3 期包含了一個精彩系列——《自然的奧秘：混沌與分形》。作者丁玖是李天巖的學生，李天巖則是約克 (James Yorke) 的學生。因此文中提到，當還在讀小學的丁玖的女兒從老師那兒聽到 chaos 的概念時，丁玖對她説， “你爸爸的導師和他的導師就是定義什麼是 chaos 的兩個人。等你長大點我可以告訴你關於 chaos 更多的故事”。這個系列也許就是那 “更多的故事” 吧。分享其中的一則關於分形之父曼德勃羅 (Benoit Mandelbrot) 的軼聞：曼德勃羅涉獵過很多領域， 有一次做報告時，主持人介紹他在哈佛教過經濟學，在耶魯教過工程學，在愛因斯坦醫學院教過生理學…… 曼德勃羅幽默地表示： “當我聽到過去從事過的一連串職業時，就經常懷疑自己是否存在。這些集合的交集肯定是空的。”

2020 年 12 月 21 日：

讀《數學文化》 2015 年第 4 期畢。這一期有一篇 “約克教授談教育” 可能對很多讀者有參考價值。這裏的 “約克教授” 是混沌理論的重量級人物 James Yorke，文中他説了這樣一句話： “就本科生教育而言，哈佛大學是美國最差的頂尖大學之一”，此文的聯合作者丁玖並且補充説： “這句話讓有 ‘名校情結’ 的中國父母聽到，不啻是一記悶棍！事實上確實是。在最好的研究型大學裏，許多教授不管本科課堂的學生是否跟得上他們飛快的講課速度，課後也很少與他們交談…… 天才教授也許只願多花時間與他們的博士研究生探討學問。”有人也許會説，約克教授倒還罷了，丁玖是誰啊？也敢一起潑冷水？丁玖是約克的弟子、名頭不亞於約克的李天巖教授的學生，是資深數學教授，寫過《親歷美國教育： 三十年的體驗與思考》等書，他的冷水也是極有分量的。

這幾條微博談及的文章多數出自丁玖，談及的主要人物——李天巖和約克——則跟丁玖有師承關係。

那幾篇文章將丁玖的大名作為一流作者存進了我的大腦。

(從左到右) 約克、 李天巖、 丁玖 “祖孫三代” ——攝於 2015 年

再次跟丁玖教授的文字打交道是 2023 年，契機是為《數學文化》審稿。

我在 “趨於 1 的緣分” 一文中曾經寫道，《數學文化》有一個獨特的審稿機制： “每期的草稿都會發到一個由編委及若干撰稿人組成的十幾人的郵件組裏，由每人挑選一兩篇進行審閲”。2023 年 11 月，出現在《數學文化》郵件組裏的草稿包含了一篇丁玖教授的文章，標題是 “隨風起舞——紀念馮卡門去世六十週年”，被我眼明手快地搶到。在 “審” 完後的反饋郵件裏，我表示 “讀丁老師的文章照例是名為校讀，實為欣賞” ——這並非客套，因為丁玖的文字是很講究的：遣詞用句都很細心，內容鋪陳則富有匠心，兼之邏輯周密、題材誘人。“審” 他的文字實為美差，往往連一個錯別字都糾不出，倒是能暢快淋漓地享受閲讀樂趣。

跟丁玖教授的文字打過這樣的交道，則不難想象，自從聽説他出了一本新著——《走出混沌： 我與李天巖的數學情緣》——後，我就 “貪念” 橫生，夢想着將其中一本立在自己的書架上。

這 “貪念” 不僅來自對丁玖著作的喜愛和信心，更是因為這本新著涉及的是丁玖教授最獨家的題材，緬懷的是他學術生涯裏最重要、最親近的人。李天巖門下一共出過 26 位博士 (按獲得學位的年份排序，丁玖 “排行” 第六)，雖然我對其中 25 位一無所知，但我敢押很高的賭注，賭丁玖教授是最適合寫這樣一本緬懷之作的人。因為能寫書的人在人羣之中只佔極少數，而我幾十年的讀書經驗告訴我，像丁玖這樣水準的作者在能寫書的人之中又只佔極少數。英國生物學家兼科學作家理查德·道金斯 (Richard Dawkins) 曾經寫過一本書，書名叫作 Climbing Mount Improbable。我覺得，那兩個 “極少數” 所疊加出的就是一座 “Mount Improbable”。在一個區區 26 人的 “小樣本” 裏，出現另一位能攀上這種山峯的人的概率是微乎其微的。

“貪念” 既生，自然要設法滿足，但滿足之路卻頗有些崎嶇——因為《走出混沌：我與李天巖的數學情緣》出版於疫情期間，回國逛書店在當時仍屬遙不可及之事。

直到 2024 年年初，與前一次回國隔了將近四年半，我才再次踏上故土。雖然那次逗留的時間只有短短兩天，造訪的內地城市只有珠海一地，我仍抽空 “視察” 了一家名為 “珠海書城” 的大型新華書店——目的之一就是尋訪這本《走出混沌： 我與李天巖的數學情緣》，結果卻是 “尋隱者不遇”。

不過幸運的是，2024 年年底，我又回了一趟國。在那趟回國中，我首次參加了《數學文化》的編委會議，並且首次見到了編委之一的丁玖教授。被 “貪念” 慫恿着，多數時候怯於交際的我厚顏上前，主動 “搭訕” 索書，這才終於如願以償——後來得知，我厚顏得正是時候，因為丁玖教授用來贈送友朋的《走出混沌： 我與李天巖的數學情緣》當時已只剩下最後一本！

在本質上是微博彙編的 “二〇二四年中國散記” 一文中，我記下了那次索書之舉：

2024 年 12 月 8 日：

……今天的最大收穫乃是結識了首度會面的《數學文化》編委丁玖教授，並得到了他的《走出混沌： 我與李天巖的數學情緣》一書的簽名題贈本。丁教授的文章在《數學文化》上拜讀過不少，是我素來欣賞的，李天巖則是丁教授的博士導師。此書是李天巖去世後丁教授精益求精五度修訂才付梓出版的緬懷之作， 我在與會之前就 “盯上” 了。:-)

《走出混沌： 我與李天巖的數學情緣》的 “簽名題贈本”

如今，這本《走出混沌：我與李天巖的數學情緣》已被我讀完，帶着密集的 page markers (我的藏書習慣受集郵影響頗深，素來講究品相，從不在書上塗寫，遇到值得標記之處一般會貼 page markers 或將 notes 寫在紙片上夾入書裏) 立在書架上，與Sheldon Glashow 的 The Charm of Physics、Hans Bethe 的The Road from Los Alamos、John Wheeler 的 At Home in the Universe 等等比鄰而居。

丁玖教授這本《走出混沌： 我與李天巖的數學情緣》在一定程度上可視為李天巖的傳略，雖篇幅不大，對李天巖的前半生着墨不多 (故不算完整傳記)，卻對其作為數學家的教學和研究兩大人生主軸，及遠比一般人坎坷的身體方面的境遇等，作了非常深入的刻劃。另一方面，正如副書名 “我與李天巖的數學情緣” 所示，這本書同時也是一本關於丁玖本人的書——是一本帶自傳色彩的書。李天巖是丁玖的博士導師，兩人有 35 年的 “數學情緣”。35 年在意大利詩人但丁眼裏正好是人生的一半 (但丁在《神曲》開篇寫下 “Midway upon the journey of our life…” 時據説正是 35 歲左右)。現代人的人生雖往往比但丁那時來得長，但以其中的職業生涯而論，35 年對任何學者都是學術生涯的很大比例。因此這本《走出混沌： 我與李天巖的數學情緣》同時涵蓋了李天巖和丁玖學術生涯的很大比例。從這個意義上講，這本緬懷之作是李天巖和丁玖的共同傳略——是一本雙重傳略。

這本雙重傳略還有以下特點：

1. 對李天巖和丁玖在求知、教學、研究、交流等方面的理念作了很多闡釋。那些闡釋除涵蓋核心理念外，還觸及了一些很細緻的分支話題，比如如何讀書，如何求職，如何做演講，等等。在闡釋那些理念時，丁玖教授會用李天巖和他自己——尤其是他自己——的人生經歷作為例子，不僅使理念變得鮮活，而且讀起來有一種共話家常般的親切感。這種親切感也是我讀這本書時的一種整體感覺。丁玖在講述自己的人生經歷時，連缺點和挫折都毫不避諱地娓娓道來、層層刨析，提煉出經驗教訓。這些連稍稍疏遠些的親戚或朋友都未必知道的經歷和感悟，作為讀者的我們卻可以從這本書裏分享到，這是作者與讀者之間只有通過真正的好書才能建立起來的温暖紐帶。讀完這本洋溢着真摯情感的書，相信很多讀者會有一種感覺，覺得作者彷彿是一位親切而寬厚的朋友或長輩——這感覺與丁玖教授本人留給我的印象是完全一致的。

這種親切和寬厚也許正是丁玖教授從李天巖那裏感受過的，如今通過這本書，通過質樸而坦誠的文字，傳遞給了讀者。另外順便提一下，丁玖教授是一位有幾十年教齡的資深教授，出版過像《親歷美國教育： 三十年的體驗與思考》及《數學之英文寫作》(與《數學文化》主編湯濤教授合著) 那樣的專著，他所闡釋的求知、教學、研究、交流等方面的理念都是對讀者——尤其是尚在求學階段的讀者——有很大現實借鑑意義的經驗之談。

2. 這本書雖不是數學科普，不以數學細節為重點，但為數不多談論數學細節的部分卻非常精闢——不僅題材往往是普通數學科普里讀不大到的，且還對一些有趣的史實作了辨析，並澄清了一些常見的誤區。前者比如對李天巖除 “週期三意味着混沌” 之外的其他數學貢獻及研究過程作了簡明介紹；後者最令我印象深刻的則是對 “週期三意味着混沌” 與烏克蘭數學家沙科夫斯基 (Oleksandr Sharkovsky) 的早期研究之異同作了辨析，並澄清了與 “週期三” 有關的一個常見的誤區。為了印證我所言不虛，也為這篇推薦增加點份量，這裏乾脆介紹一下與 “週期三” 有關的那個常見的誤區。 “週期三意味着混沌” (Period Three Implies Chaos) 是李天巖與導師約克發表在《美國數學月刊》(The American Mathematical Monthly) 上的著名論文的標題。《美國數學月刊》是一份發行量很大的數學雜誌，上面的文章——依照該刊編輯一度拒絕 “週期三意味着混沌” 時所提的要求——需淺顯到 “一般學生都能看懂的地步”。不知是不是因為投寄給這樣一份刊物之故，李天巖和約克取了 “週期三意味着混沌” 這樣一個琅琅上口卻不甚精確的標題——其中的 “週期三” 的提法容易造成一個望文生義的誤區。用最淺顯的話説， “週期三” 指的是一個函數在某個點迭代三次會首次回到初始值，所謂 “週期三意味着混沌”，從字面上講，則是指一個函數若在某個點具有 “週期三”， 則迭代時總體上會出現混沌現象。由於混沌現象是自然界中一類很重要、很複雜的現象，因此像 “週期三意味着混沌” 那樣的普適結果是很引人注目的。但問題是，對自然現象來説，嚴格的 “週期三” 是很苛刻的條件——比如一個生物種羣的個體數量在三代之後嚴格回到初始值是非常小概率的事情，一個數學結果若有賴於苛刻的條件，在現實世界裏就很難有真正的普適性。幸運的是，李天巖和約克論文裏的 “週期三” 的真正含義是：函數在某個點的前兩次迭代的結果逐次增加 (或逐次減少)，第三次迭代的結果則不大於 (或不小於) 初始值。很明顯，這樣的含義在現實世界裏將會容易實現得多 (因為不要求嚴格的 “週期三”)，結果的普適性則會大大增加。這個細節被很多人乃至很多書所忽略，成為一個常見的誤區，在丁玖教授這本書裏則得到了清晰的説明。談到這裏，順便請讀者做一點小小的思考，以加深理解。丁玖教授在給出了 “週期三” 的上述真正含義後表示， “週期三” 只是上述含義的特例。不過，不知有沒有讀者產生這樣一個疑問，那就是：上述含義由於只要求第三次迭代不大於或不小於初始值，從而確實比要求第三次迭代等於初始值的 “週期三” 更普遍；但另一方面， “週期三” 對前兩次迭代並無逐次增加或逐次減少的要求，卻又看起來比上述含義更普遍，兩者似乎互不包含，誰也不是誰的特例。情況果真如此嗎？感興趣的讀者不妨思考一下。

3. 這本書的 “主角” 雖是李天巖和丁玖，卻也穿插了一些跟其他數學家有關的逸聞和花絮——都是跟主題存在某種相關性的。那些逸聞和花絮不僅有趣，而且有時還能跟讀者產生意想不到的共鳴。比如在談論如何做演講時，丁玖教授穿插介紹了一些數學家對做演講的看法和經驗，其中有一段就出乎意料地 “於我心有慼慼焉” ——對此，容我再引一條自己的微博：2025 年 2 月 10 日：

在 “YouTube 頻道一月記” 裏，我曾提到，昔日為了做一個題為 “希爾伯特與廣義相對論場方程” 的報告，我不僅寫了腳本，還獨自練習了很多次，最後簡直將腳本背了下來。這是我不擅演講、因演講而戰戰兢兢的寫照。不過近日在丁玖教授的《走出混沌》一書中，讀到演講高手、匈牙利裔美國數學家哈爾莫斯 (P. R. Halmos) 的經驗之談，稱自己準備報告的步驟是 “大聲講了一遍， 然後對着錄音機……從頭到尾聽了六遍——其中三遍找出需要加工的地方 (下一遍前已經加工)，其後的三次用於調整演講時間……一旦做完了這些，並已準備好了膠片， 從頭到尾又彩排了一次……” 更有甚者， “一位著名數學家也曾告訴他 [哈爾莫斯]，為了做一個五十分鐘的學術演講，自己足足花了五十個小時為之準備……”——這甚至比我花的時間還多。讀到這些不覺大感安慰。:-)當然，各花入各眼，什麼內容在什麼時候會因什麼經歷而與自己產生共鳴是因人而異的，讀者諸君當會有自己的閲讀體驗——這種事先無法預測的體驗也正是閲讀樂趣的一部分。

4. 這本書的素材雖主要是基於丁玖與李天巖的直接交往，卻也收錄了一些李天巖的同事及其他學生的回憶，使視角更加立體，信息也更為豐富。美國作家阿西莫夫 (Isaac Asimov) 曾將自己第一本回憶錄的書名取為 In Memory Yet Green (記憶猶新)，丁玖這本書的初稿完成於 2020 年 10 月 16 日，距李天巖教授的去世時間—— 2020 年 6 月 25 日美國東部時間早晨 8 點 45 分——不到四個月，其 “memory” 遠比阿西莫夫的回憶錄更加 “green”。更重要的是，丁玖有跟阿西莫夫一樣的從年輕時代開始就記日記的習慣，他並且還有保存書信的習慣。寫於李天巖去世後不久，使這本書有了最真切而豐沛的情感；以日記和書信為依託，使這本書有了最細緻而可靠的信息；而在這些之上，還有初稿完成後的五個月時間內的五次修訂。所有這一切——以及前述所有其他特點——共同造就了這本獨樹一幟的雙重傳略。

在結束這篇推薦之前，讓我從這本《走出混沌： 我與李天巖的數學情緣》裏引幾句李天巖本人的話。李天巖的一生有別於普通人或普通數學家的一個最大的特殊性，是——如前面微博所概述的——他大半生的疾病纏繞。從始於 31 歲的定期洗腎算起，直到 75 歲去世，在長達 44 年的時間裏，李天巖憑着——用丁玖的話説—— “驚人的鋼鐵意志”，活出了 “多姿多彩的豐富人生”； “幾十次的全身麻醉，數不清的大小開刀，不計其數的局部麻醉，先後若干枚的 ‘血管支架’，以及全身密佈的累累刀疤，都擋不住他山火一般的生命洪流”。書中不止一次提到，李天巖鼓勵學生的一句話是： “如果你們做學問有什麼困難，只要想到我的一身病體，就不會有任何困難了。”

在這本書的封底， 印着李天巖的另外兩段話， 其中幾句是這樣的：

對於隨時可能襲來的死亡， 我沒有畏懼。我已做完了塵世的工作， 打完應打的戰了。

我沒爬過最高的山， 但我攀越人生的險山峻嶺。我沒遊過最深的海， 但我遊過人生的惡水急流。

這些跟前面微博裏引過的“我離開大學學習生活已經 40 多年了。有時常常想，若是重新再給我一次學習的機會，我將做什麼，怎麼做？但是正如……電影 “天涯何處無芳草” 中所提的： “沒有人能使時光倒流，草原再綠，花卉再放。只有在剩餘部分，爭取力量！”都是讓我深為感動的話——因為來自一個真實的人，一位令人欽佩的數學家。

丁玖有幸，能遇到李天巖那樣的名師，既是學問上的嚮導，更是人生的楷模。

李天巖有幸，能招到丁玖這樣的學生，不僅繼承 “衣缽”，而且記錄了他的生命風采和學術精神。

讀者亦有幸，能讀到這樣的好書。

李天巖與丁玖——攝於2010 年

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