氣球和小黃鴨帶來靈感，數學家得到當今湍流數學最具影響力的成果_風聞

作者按

諾貝爾物理學獎獲得者理查德·費曼（Richard Feynman）曾經説過：“湍流是經典物理學中最後一個尚未解決的重要問題。”自奧斯本·雷諾（Osborne Reynolds）於1883年在曼徹斯特進行圓管流動實驗以來，湍流現象已被廣泛研究近140年，其物理表象背後的數學機理至今仍未明朗。傳聞量子力學奠基人之一，以不確定性原理名留科學史的海森堡（Werner Heisenberg），在人生的最後階段曾感慨道：“當我見到上帝后，我一定要問他兩個問題——什麼是相對論，什麼是湍流。我相信他對第一個問題應該有答案。”海森堡以玩笑似的口吻暗示上帝都不一定理解湍流的數學本質，可見，這個難題是如何複雜與艱鉅，令人望而生畏。

如今，三位數學家敲開了關於湍流問題的一個小口。

編譯 | 嘉偉

三維不可壓縮納維-斯托克斯（Navier-Stokes）方程組的整體光滑解是否存在，是克雷數學研究所公佈的七大百萬美元“千禧問題”之一。這是一組描述流體運動的偏微分方程，用於刻畫水之類的流體的動力學行為。本質上，不可壓縮流體還是相對簡單的研究對象，應對可壓縮納維-斯托克斯方程的非線性問題更加棘手。

如果有一場“人類vs.大自然”的求解納維-斯托克斯方程數學競賽，那到目前為止，人類可以説是處於完全的下風。別説求解，我們就連證明有（光滑）解都做不到——它當然有解，每次擰開水龍頭，大自然都相當於求解了一遍納維-斯托克斯方程。由於必要的理論工具的缺席，現在流體力學的研究應用是高度依賴實驗的。

阻礙理論進步最大的關隘就是流體中的湍流現象——現代科學中最大的謎題之一。方程在流體流動順暢時運行良好，而一旦流動變得湍急，流體就會分裂成多個漩渦，這些漩渦進一步分裂成更小的渦流。這種模式將一直持續下去，直到微觀分子間的碰撞阻止了新渦旋的形成。這些不同尺度的漩渦彼此影響，無法用方程精確預測流體中某一粒子的運動路徑。就像把橡皮小黃鴨或漂流瓶丟進洶湧的水流裏，沒人能準確預判它接下來會漂去哪裏。

或許最著名的湍流圖像是文森特·梵高 （Vincent van Gogh）1889年的畫作《星夜》（The Starry Night）。丨圖源：Turbulence - Wikipedia

通過數據收集和計算機模擬，物理學家已經推斷出湍流的一些特性，但這些結論往往無法在數學上嚴格證明。所以説，湍流的數學之謎正是納維-斯托克斯方程組的核心內容。

好消息是，2024年有三位數學家取得了“湍流數學領域裏最具影響力的成果之一”。他們的論文Superdiffusive central limit theorem for a Brownian particle in a critically-correlated incompressible random drift（翻譯過來應叫《臨界相關不可壓縮隨機漂移中布朗粒子的超擴散中心極限定理》）直到不久前才通過了同行評議。其中的數學內容無疑是艱深晦澀的，但啓發數學研究的相關故事則輕鬆有趣。前沿數學研究的歷史背景裏，有萬人空巷的氣球競賽，也有漂流瓶、橡皮小黃鴨賦予的形象比喻。雖然我們很難理解問題的解答過程，但至少可以瞭解這個問題的來龍去脈，以及其物理含義。

古老的漂流瓶與被大風吹走的氣球

傳説中，使用漂流瓶的最早記錄來自古希臘的哲學家狄奧弗拉斯圖（Theophrastus），他在公元前310年左右投放漂流瓶，以研究海洋洋流的路徑。

到目前為止，有記錄最古老的漂流瓶發現於2018年，有人撿到了一個可以追溯到1886年，也就是132年前的漂流瓶，它當時被半埋在西澳大利亞海灘裏。後來證實，瓶子來自印度洋上的一艘輪船，漂流了一個多世紀，然後在距離當初輪船近950公里的地方被人發現。瓶中信可不是格蘭特船長的求助信，而是一份問卷調查！那是德國在1864年啓動的洋流繪製計劃。

瓶中信一面標有日期、拋棄瓶子時船的確切座標、船名、母港和行駛路線。另一面則是問卷，詢問撿到者的地理位置，並請求其將問卷寄往當地的德國領事館。丨圖源：Western Australian Museum

這個故事雖然有趣，但並非本文重點。或許值得注意的是，為什麼那處海灘上只有一個當年的漂流瓶？答案是顯而易見的：時間過去太久，因為各種隨機性因素，同一批瓶子有充分的時間漂到不同的地方。

20世紀的貴格會科學家劉易斯·弗萊·理查森（Lewis Fry Richardson），在一場當年轟動歐洲的氣球航空賽事裏，思考了短時間尺度上的類似問題：為什麼16個載人氣球落到了不同的地點？

那是1906年9月30日下午，20萬巴黎市民聚集在市中心附近，觀看一場氣球賽事的首秀。來自七個國家的十六位頂級航空家齊聚一堂，目標是在不依靠動力系統、僅憑控制氫氣排放閥的條件下，儘可能飛得更遠。這項比賽後來發展成為全球最具聲望的氣球競賽——戈登·貝內特杯（Gordon Bennett Cup）。

1908年柏林承辦戈登·貝內特杯熱氣球飛行比賽時，名為“征服者”的巨大氣球墜落，“皮”披在柏林市區的房屋上。丨圖源：Gordon Bennett Cup (ballooning) - Wikipedia

這些高達50英尺的黃色和琥珀色氣球緩緩升空，天氣平靜如常。但隨着夜幕降臨、觀眾散去，風向突變，氣球被猛烈地吹散至諾曼底各地，甚至橫渡英吉利海峽，飄入英國。

看似平凡的現象與非凡的見解

這些航空家無意中參與了一項實驗——這項實驗最終改變了數學物理的進程。近20年後，理查森在研究氣象湍流影響時，在《航空學雜誌》（The Aeronautical Journal）中看到了當年這場比賽的着陸點數據。他將這些數據與自己收集的其他資料一起繪製成圖表，包括火山爆發後火山灰的飄散路徑以及蒲公英種子隨風飛揚的軌跡。

現代科學家研究氣象湍流的途徑之一是監測美麗的極地中間層雲（Polar mesospheric clouds，PMC），也稱為夜光雲（Noctilucent clouds），這是一種罕見的高空雲層。科學家希望應用它們來理解大氣中的湍流現象。丨圖源：NASA/PMC Turbo/Joy Ng

在所有案例中，他都觀察到一個共同的模式：無論是大尺度還是小尺度，大氣的湍流旋渦都能高效地將物體散播出去。理查森據此提出了一條關於湍流擴散的一般性規律——通常稱為“三分之四律”（4/3-Law），其核心內容可以表述為：

也就是説，尺度越大，粒子擴散得越快。這一“超擴散”特徵正是湍流區別於普通布朗擴散的標誌。

這一推測與實驗數據相符，但與描述相類現象的數學物理方程相沖突。數學家們至今仍在努力對其進行嚴格證明。

不過和本文相關的是理查森提出的另一個關於湍流的重要觀點。他假設，如果把兩隻橡皮小黃鴨或漂流瓶同時放入河中，它們之間的距離會比預期增長得更快——在那些旋渦的相互作用下，這兩隻小黃鴨彷彿獲得了額外的推動力。

芝加哥鴨子德比（Chicago Ducky Derby）是一項慈善賽事，每年在芝加哥河舉行，成千上萬只橡皮鴨被投放入水，競速漂流至終點。|圖源：Chicago Sun-Times

這種“加速擴散”現象如今被稱為“超擴散”（Superdiffusion），已被公認為湍流的典型特徵。但長期以來，哪怕是在高度簡化的流體模型中，這一現象都未能被嚴格證明。

直到（隸屬紐約大學的）柯朗數學科學研究所的兩位數學家斯科特·阿姆斯特朗（Scott Armstrong）、艾哈邁德·布-拉比（Ahmed Bou-Rabee）和赫爾辛基大學數學系的圖奧莫·庫西（Tuomo Kuusi）去年針對簡化模型給出了正確的證明。

對於斯科特·阿姆斯特朗來説，這項成果的意義遠遠不止於湍流研究。在過去十年中，他一直在推廣一種被數學界認為是偏門的數學技術，但他堅信這種技術潛力巨大，即使很多同行對此持懷疑態度。而現在，他憑藉這項技術解決了一項重要的湍流問題，他希望能讓其他數學家對此開始改觀。

命運的湍流

阿姆斯特朗最初並未預想會涉足湍流研究。“十年前，我甚至不知道湍流是什麼，我是研究一個非常冷門的問題時，意外進入這個領域的。”

斯科特·阿姆斯特朗。丨圖源：Pierre Kitmacher/Quanta Magazine

他當時正在分析一種金屬材料的簡化模型，採用了一種名為“均質化”（homogenization）的數學方法。在合適的條件下，均質化能證明：一個在微觀層面看似複雜、混亂的系統，在宏觀尺度上可能呈現出簡單有序的行為。簡而言之，這是一種試圖證明“小尺度噪聲”在大尺度下會被平均抹平的手段。

均質化方法通常只適用於非常受限的情境，小尺度的“噪聲”必須在某個範圍內，不能太極端。正因如此，數學家通常只會將均質化用於分析物理系統最簡單的模型。

然而，阿姆斯特朗在均質化中看到了其他人未曾看到的美與潛力。他相信，只要將這項技術加以打磨，它完全可以用於更接近現實、更加混亂的環境中。“我一直相信，這種方法最終會適用於許多問題。”他説，“如果我能讓它真正奏效，那它將成為一個重要的思想工具。”

而他需要一個真正具有挑戰性的試驗場。他想要用均質化來證明一個人們普遍認為難以應對的問題，一個能引起數學物理學家重視的問題。

這正是湍流登場的時刻。

理查森的童謠和數學的魔法

理查森早在20世紀初就提出：湍流中的大渦旋會驅動較小的渦旋，能量從大尺度向小尺度逐級傳遞，直至最微觀的尺度——在那裏，分子間的摩擦把動能轉化為熱能。他還寫了一首打油詩概括這個過程：

“大渦生小渦，速度催渦多；

小渦生細渦，層層歸粘着。”

（Big whirls have little whirls that feed on their velocity, and little whirls have lesser whirls and so on to viscosity.）

這一能量“瀑布式”下行過程，會使得水中兩隻橡皮鴨之間的距離增長速度超過常規擴散所預測的速度，即“超擴散”。

但像許多湍流現象一樣，幾代數學家始終未能對此加以嚴格證明。

上世紀80年代末，一批物理學家決定簡化問題。他們構造了一個理想化的湍流模型，這種流體仍具備湍流的旋渦特性，但遵循的方程要簡單得多。然後，他們提出了與理查森相同的問題：在這樣的流體中投放橡皮鴨或漂流瓶，它們擴散得有多快？

他們猜測粒子會出現超擴散現象，儘管速度可能與真實流體不同。他們用物理學中的重整化（renormalization）技術計算了這個速度。但重整化方法在數學上缺乏嚴格性——著名物理學家費曼曾稱之為“魔法咒語”（hocus-pocus）。數學家僅在少數特定情形中對其進行了嚴格化處理。

這裏用一個不甚準確的例子來説明什麼是重整化。比如説，描述某個物理量隨空間座標變化的函數，就是簡單的反函數

我們輸入非0的x值，都能得到和實驗一致的數據。但是，當x為0時，f(0)變成了無窮大。但是真實的物理過程並不存在無窮大的物理量。實際上，實驗也顯示，f(0)作為一個物理量存在有限的大小。

這種狀況令一代物理學家抓狂。理查德·費曼則提出了一個觀點：在數學公式可以得到有意義的物理量的時候，使用這個公式；當公式在某些點上失去物理意義的時候，就直接把這些點的函數值“定義”為實驗數據給出的數值！（現在該數學家抓狂了！）

在某些情況下，數學家找到了重整化這一手段的理論依據。而它也成為了現代物理學的核心概念。按照現代的理解，重整化其實描述了系統動力學在不同尺度上的變化。理解和直觀呈現重正化的一個好方法或許是伊辛模型（Ising model）。稍微一提，對伊辛模型的研究，已經催生好幾位菲爾茲獎得主。不過，現代數學家雖然可以理解重整化，但是重整化問題中仍存在很多盲點。

因此，即便數學家能在該模型中證明粒子擴散的某些性質，卻始終無法證明“超擴散”這一核心命題。

阿姆斯特朗設想，他可以用均質化來為物理學家的重整化論證奠定更堅實的數學基礎。

為證明粒子確實能在湍流中加速擴散，阿姆斯特朗必須先弄清楚這種擴散大致呈現何種結構。這正是他希望引入均質化的地方。他要在大尺度上證明流體行為可用更簡單的方程描述，並從中推導出粒子的擴散速率。然而其他數學家對此持懷疑態度，此前有人嘗試用均質化處理湍流問題，但都無果而終。因此，當他提出這個目標時，有人直言：“你不可能證明它。”

阿姆斯特朗沒有放棄。他與長期合作伙伴、赫爾辛基大學數學家圖奧莫·庫西（“我好像跟他結婚了一樣。要怎麼形容你最好的朋友呢？”），以及他的博士後艾哈邁德·布-拉比組成團隊，他們決心將均質化武裝到足以對抗物理學家的“魔法”的程度。

他們設想在流體上疊加一張細網格，並計算粒子在每個小格中平均停留的時間。有些網格內的流體如急流般湍急，粒子快速穿越；而另一些則充滿漩渦，使粒子打轉，停留時間變長。

追蹤湍流裏的布朗運動。丨圖源：Superdiffusive central limit theorem for a Brownian particle in a critically-correlated incompressible random drif

問題在於：這些數據點之間的差異過大，正是通常阻礙均質化應用的“混亂”。

他們的策略是逐步擴大網格的尺度，以觀察是否能在略大尺度上使系統行為變得更平穩、更可預測。一些數學家認為這太天真，因為中間尺度上的渦旋相互作用更復雜，導致混亂加劇而非減少。

但他們並沒有就此停下來。他們畫出更粗的網格，每個大格子包含多個原始小格子。原先分散的小渦旋此時可能聚在一起，改變了粒子在該區域的平均行為。他們再次計算粒子停留時間的變化，追蹤流體行為如何改變粒子運動。

他們不斷重複這一過程，逐步粗化網格，並在每一步證明：相鄰區域之間的差異在逐漸縮小。最終，他們在一個相對較大的尺度上，成功使用了傳統均質化方法。

這一成就耗費了300多頁推導，整整花了兩年時間。“這過程非常密集。”布-拉比説。“很多個週六早晨我們6點起牀，直奔辦公室，一干就是一天。”

最終，他們成功證明：在這個簡化湍流模型中，兩粒固體顆粒的擴散速度正是物理學家們幾十年前預測的超擴散速率。

他們成功證明了“超擴散猜想”。

令人欽佩的成就

該研究分為兩篇論文，首次在數學上嚴格描述了湍流流體高效擴散粒子的機制。它呼應了理查森一個世紀前通過氣球數據所觀察到的現象。“這樣的結果並不常見，”多倫多大學的數學家傑里米·誇斯特爾（Jeremy Quaste）説，“令人欽佩，很多人都很欽佩。”

對阿姆斯特朗來説，這是長久以來他對均質化信念的驗證。“沒人預料我們能這麼快跳出自己的領域，”他説，“但現在我們正在用這種方法解決其他領域的問題，而這原本看不到任何希望。”

更重要的是，他們建立了一種新的方法論。他們研究的流體是對真實湍流的粗略模擬，而現實中的尺度交互更強、超擴散更極端。所以，他們的方法或許能應用到更現實的湍流模型中，甚至擴展到粒子物理等其他使用重整化的領域。

除了湍流外，也存在簡單有序的層流。流體力學中層流的特點是，流體粒子以平行層狀運動，相互通過，沒有過多混合，低速時在鏡頭下看起來就像冰一樣。這三位作者也度過了人生裏的湍流階段，進入了美好的層流時期——看似靜止，其實奔流不息又有條不紊。

打開水龍頭，看看生活中的層流丨圖源：Science of the Universe

參考文獻

[1] Scott Armstrong, Ahmed Bou-Rabee, Tuomo Kuusi, Superdiffusive central limit theorem for a Brownian particle in a critically-correlated incompressible random drift, arXiv:2404.01115

[2] Snyder, Wallace Hutton. A field test of the four-thirds law of horizontal diffusion in the ocean. Diss. Monterey, California. US Naval Postgraduate School, 1967.

[3] Joseph Howlett, New ‘Superdiffusion’ Proof Probes the Mysterious Math of Turbulence Quanta Magazine

[4] RossAnderson, ChristinePorr, ‘DieseccFlasche wurde űber Bord geworfen’:amessage in a bottle from the German barque Paula(1886)discovered atWedge Island,Western Australia, WesternAustralianMuseum. https://museum.wa.gov.au/maritime-archaeology-db/sites/default/files/ma_report_325_paula_bottle_message_020318_0.pdf

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