現代數學誕生的契機是什麼？_風聞

一提到數學，人們往往只看到計算、分析等技術層面的內容，從而對數學敬而遠之。其實，數學從古希臘時代、文藝復興之後的近代發展到現代，一直與思想與哲學互為表裏。

菲爾茲獎數學家廣中平祐從自己的數學研究中總結出一種思考模式——“可變思考”。這一思維曾助力廣中平祐解開過多個無人能解的難題，甚至還啓發過企業經營領域的稻盛和夫。

面對棘手的難題時該怎麼做？真正研究數學的人怎麼把探索數學的能力遷移複製到別的領域？《可變思考：數學與創造性思維》帶我們一起用數學的智慧探索創造力的本質。

《可變思考：數學與創造性思維》

撰文 | [日]廣中平祐

譯者 | 佟凡

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解釋“劇變”“分岔”“反轉”

業餘的預測往往猜對了是撞大運，猜錯了是理所當然。科學的預測則需要抓住基本規律，分析具體現狀，進行有邏輯推斷的預測。

舉一個簡單的例子，請大家思考將石頭拋向空中的情況。知道“拋出的角度”“石頭離手時的速度”這兩個初始條件後，我們就能根據引力法則預測出幾秒後石頭的位置。也就是説，只要知道法則和初始條件就能完成預測，這就是“預測的原理”。

“預測的原理”可以用在更普遍的場合中。也就是即使沒有充分了解法則和初始條件，只要知道足夠精確的近似值，得出的推測就不會有太大偏差。

如果擴大解釋後的預測原理完全不適用，即普遍的預測原理失效的情況就叫作“突變”。假設在赤道附近倒一杯水，在杯底開個洞。流出的水應該會形成旋渦，但究竟是右旋還是左旋，只有實際嘗試過才會知道。

旋渦右旋還是左旋，是由一開始非常細微的區別決定的。只要一開始沒有對洞的形狀和方向做特殊處理，現實中就無法預測旋渦的朝向，因為這是由水極其細微的動向等初始條件決定的。

綜上所述，自然界中同樣存在法則和初始條件有一丁點改變，就能大幅改變結果，甚至帶來完全相反的結果的現象。這種情況在社會現象和心理現象中同樣隨處可見。這種現象就是“突變”。

因此當我們發現一個現象有突變的跡象時，可以考慮它的三個特徵。

第一個是“劇變”。一個不斷被刁難、始終在忍受的人會在某個時間點突然爆發怒火。在這種情況下，劇變就是指這個人忍無可忍的狀態。

第二個是“分岔”。水從杯子中流出後形成旋渦的朝向會由於細微的差別，呈現出完全相反的結果。有一句諺語就叫“一犬吠影 , 百犬吠聲”。

第三個是“反轉”。該特徵指原本朝着某個方向前進，結果突然開始朝相反方向前進的狀態，比如股票暴漲後暴跌就是很好的例子。涉及愛憎的心理現象中也有不少反轉現象，比如“愛之深，恨之切”。

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能追溯到古希臘的“動態思考”

用來表現以上現象的數學模型叫作“突變理論”，它在日本還被翻譯為“悲劇理論”。

“突變理論”是用來解釋不流暢的變化，也就是不連續現象的理論。該理論或許可以發展成能夠解釋各種生命現象、社會現象等此前無法預測、變化複雜的現象的新線索。

如果用數學解釋突變理論，就算使用完善的理論也過於深奧，所以我在此略過。簡單來説，突變理論就是去除一種現象中“量的部分”，表現“質的部分”，即表現現象所呈現出的面貌的模型。

換句話説，突變理論會將擁有相同性質的現象合而為一，描述其“性質”，是一種籠統的模型。

直到最近，突變的思考方法才被總結成統一的數學理論，但其背景存在於伽利略和牛頓時代的數學界。

如果繼續追溯，甚至可以在關注事物“變化”和“變動”的古希臘發現其思想源泉。從生卒年為約公元前 624 年～公元前 547 年的泰勒斯開始，古希臘在數學和自然科學方面就取得了飛躍式的發展。

泰勒斯以各種形式清晰地展現出了古代數學精神。

泰勒斯有兩個特點，一個是做理論證明時會不斷迴歸原理。另一個特點在於應用方面。有一個著名的故事：泰勒斯曾經把一根棍子插在地面上，測量棍子和金字塔的影子的長度，利用相似原理測出了金字塔的高度。

繼泰勒斯之後，畢達哥拉斯、希波克拉底、柏拉圖、亞里士多德等人紛紛出現，大約三百年後，《幾何原本》的作者歐幾里得登場。

我想強調的是，與古埃及的數學和自然觀相比，古希臘的科學家和哲學家們對於變化和變動擁有更加強烈的好奇心和敏感度。

泰勒斯曾經説過：“水是萬物本原。”水沒有固定的形狀，始終在流動，在植物、動物以及一切其他生物中承擔重要作用。而且水會在空氣中化為水蒸氣消失，然後變成雨落下，形成河流匯入大海。泰勒斯從大自然的基本現象中，得出了水是萬物本原的思想。

赫拉克利特也曾説過“萬物流轉”；亞里士多德寫過關於出現和消亡以及力學問題的書，他在其中使用了“動態”的説法。古希臘文明雖然受到了埃及和美索不達米亞文明的影響，但埃及和美索不達米亞的數學將三角形、四邊形、圓形等明確的形狀，也就是靜態事物作為考察和研究的對象，而古希臘則對更加模糊、更加動態的事物產生了好奇心，開始將它們作為研究的對象。

然而遺憾的是，古希臘的這種思考方法並沒有形成能夠作為數學這門學問的基礎體系，所以沒有得到真正的發展。

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現代數學誕生的契機：對變化的興趣

這樣的古希臘數學，以及在公元 400 年～公元 500 年引入了零和負數的概念，開始研究二次方程的解法，為代數學制定了原點的古印度數學，終於還是傳到了阿拉伯。從 11 世紀開始，各種數學理論在歐洲逐漸傳播開來。不久後，意大利開始了文藝復興運動，影響到整個歐洲，伽利略、牛頓、萊布尼茨等人建立起現代科學中最基礎的數學理論。

伽利略提出變化、變動的背後存在力的作用，還留下了一句名言：“大自然這本書是用數學語言寫的。”他在《關於兩門新科學的對話》一書中寫下了發現自由落體定律的經過，清楚地展現出首先設定極限狀態“真空”，然後在確立原理後迴歸現實進行研究的態度。牛頓的“萬有引力定律”也繼承了他的構想。

牛頓被認為是微積分的創立者，與他在同一時期單獨建立微積分學的，是德國數學家萊布尼茨。萊布尼茨曾經説過：“靜止是動態之間的平衡狀態。”

動態之間的平衡，只要由於某種契機出現些許偏差，就會產生巨大的變化，從靜轉變為動。可以説與動態相關的思想必然會引出微積分學。

本文經授權摘選自圖靈新知圖書《可變思考：數學與創造性思維》。

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