伯克霍夫：龐加萊在自守函數領域的研究_風聞

此前《返樸》發表關於龐加萊自守函數研究的長文科普《19世紀末的數學高峯：龐加萊的自守函數研究》和《龐加萊的數學交響：自守函數動機在20世紀的變奏與展開》，在業內獲得了不錯的反響。事實證明，對於龐加萊及其工作，仍有許多內容值得介紹，尤其是他數學論文集目前依然沒有中譯版。本文是美國著名數學家伯克霍夫在1920年為龐加萊去世後出版的第2卷文集（1916）所作的書評[他曾在1913年推廣並證明了龐加萊在1912年發現的“幾何定理”（théorème de géométrie），現稱為龐加萊-伯克霍夫定理]，文章主要回顧了龐加萊自守函數相關的研究。《返樸》發表的文章注重龐加萊工作的基礎來源、工作細節以及與其他領域的聯繫，而本文側重其在當時的具體背景和思想脈絡，也更具批判性。

撰文 | 伯克霍夫（George D. Birkhoff）

翻譯 | 金威

《龐加萊文集》約有10卷，而我們面前的這卷是首次出版。書中收錄了龐加萊在自守函數領域撰寫的主要論文，他早期的一些最傑出的工作即在於此。根據達布（Darboux）在序言中的説明，首先出版其中的第2卷，是希望它能激勵數學工作者在這一領域積極工作。

諾倫德（Nörlund）為本書提供了非常寶貴和必要的修訂，並附有批判性的註釋。

龐加萊逝世後不久，許多文采斐然的悼詞都證明，他在數學界的主導地位得到了廣泛的認可。其中一篇最精彩的悼詞中，沃爾特拉（Volterra）説：“如果要用一個名字來概括近代數學史，那麼我們都會選擇龐加萊。”[1]在這些讚譽中，阿達馬（Hadamard）的評價因其批判價值而值得一提，而達布令人欽佩的《歷史讚歌》（Eloge Historique）則理所應當地在本卷中佔據引言的位置。[2]

想要只用一篇文章，對龐加萊的成就做出令人滿意的評價是不可能的。他的論文集按主題編排出版，這為我們提供一個契機，即從他的工作及其與當時數學的關係出發，對他的工作進行更從容和更具批判性的評述。我的目的正是嘗試進行這樣的評述。

龐加萊在自守函數領域的研究，直接動機是1880年數學科學大獎賽提出的問題：在某些重要方面完善線性常微分方程理論。部分由於龐加萊對新函數的發展不夠完整，該獎項沒有授予龐加萊，而是授予了哈爾芬（G. H. Halphen）。龐加萊的這一初步嘗試的摘錄將刊登在《數學學報》（Acta Mathematica）第39卷。

為了理解龐加萊所取得的進步的本質，我們有必要回溯一下施瓦茨（Schwarz）、富克斯（Fuchs）、肖特基（Schottky）和克萊因（Klein）幾乎同期的工作。

在黎曼（Riemann）時代之後，眾所周知，一個二階線性常微分方程的一對（基本）解的比值的反函數是一個自守函數，即一個在分式線性變換羣作用下不變的函數。這類函數的例子當時已經存在，比如三角函數和橢圓函數、橢圓模函數，由施瓦茨首先分類的更一般的三角函數和肖特基提出的其他函數，最後還有由克萊因發展出其中代數和幾何優美關係的有理自守函數。當把這些例子與富克斯在線性常微分方程方面的啓發性工作聯繫起來看時，就會發現一個顯而易見的可能性，那就是單值超越自守函數的廣闊理論還有待發展。富克斯在1880年首先明確指出了這一領域，但龐加萊對其思想起源的描述表明，他與該文基本獨立[3]。

然而，一般的超越自守函數並沒有立即被研究，因為存在着我們現在要提到的某些空缺（gap）。

如果我們把微分方程的奇點和特徵指數（characteristic indices）都看作實數，那麼從1880年之前富克斯的研究中就可以明顯地推導出，其反函數將一個圓弧多邊形共形地映射到黎曼曲面上，並且通過解析延拓過程產生了其他多邊形，這些多邊形是通過線性分式變換得到的。多邊形互不重疊的一個直接必要條件是，第一個多邊形頂點上的角要麼為0，要麼為2π的有理數倍。其互不重疊所需進一步的精確條件，僅在有理自守函數的情況下才為人所知，而這一處理來自克萊因：此時多邊形可以表示為球面多邊形，因此可以使用球面三角函數的一般公式。但富克斯更早的研究清楚地表明，單值自守函數在沒有重疊的情況下始終存在。

因此，龐加萊在科學上臻於成熟的時刻，正是為這些函數建立一般理論的最佳時機，而這些函數正在引起數學家們的關注。

這裏似乎值得一提的是，一種在數學中經常出現，但在任何其他科學領域卻幾乎從未出現過的情況：幾位數學家都掌握了許多新材料，但唯獨缺少某個推理環節。然而，因為考慮到對完整性和嚴謹性的自我要求，無人宣稱自己取得了成果。

龐加萊開始研究超越自守函數時，該領域的狀態正是如此。對應相同羣的自守函數之間的代數關係、這些函數的單值化性質，以及它們在求解線性微分方程中的應用，都是這類材料的例證。

正是由於使用了非歐幾里得幾何，龐加萊才克服了上述提到的根本困難。那麼，這些幾何思想是如何進入這項研究的呢？

所考慮的複平面區域是一個不變圓（fixed circle）的內部，所提及的多邊形的邊界圓都與之正交。此外，這些多邊形的分式線性變換的特性是使不變圓保持不變。這就是羅巴切夫斯基（Lobachevsky）的非歐幾何的抽象特徵，即一個三參數變換羣，如果把與不變圓正交的每一個圓（弧）都看作直線，並且把角度看作通常的角度，那麼這個變換羣就可以被解釋為剛體運動羣。

認識到這一事實後，龐加萊在自守函數領域看到了廣闊的發展前景，並順帶着獲得了雙曲平面的一個新的簡單幾何表示。很自然地，這種幾何觀點與克萊因極富啓發性的研究成果聯繫在了一起。因此，我們毫不驚訝地發現，龐加萊一開始就掌握了射影幾何帶來的強大武器。

從這個新的角度來看，確定多邊形是否重疊的困難呈現為一個絕對具體的方面。多邊形在非歐幾里得平面上以普通多邊形的形式出現，而問題在於，確定在何時整個平面可以被一個全等多邊形網格填滿。精確的分析學條件即顯現為是代數的。

儘管龐加萊所取得進展的本質內核只是邁出了一步，但他必須被視為一般超越自守函數理論的真正奠基人。微積分在創立時也出現過類似的情況。毫無疑問，許多數學家都掌握微積分的大部分基本思想，但他們沒有察覺到通過發明合適的符號能將微積分提升為一門獨立學科的可能性。人們普遍認為牛頓和萊尼茲是微積分的創始人，正是因為他們確實看到了這種可能性。

如果牛頓只是發展了“流數計算”（calculus of fluxions）中較簡單的部分，那麼他也不會有如此崇高的地位。然而，牛頓不僅設想了這種可能性，還發展出適當的技術並將其應用於天體力學問題，將其付諸實踐。同樣，龐加萊也值得被高度讚揚，因為他一旦掌握了新的基本攻擊武器，就着手發展超越自守函數理論，並取得了令人矚目的成就。

在進一步發展新思想的過程中，龐加萊面臨着兩種可能性。一方面，沿着黎曼、施瓦茨、富克斯、肖特基和克萊因的一般路線，他可能會發展出一種基於共形映射存在定理的一般理論。他清楚地看到，這是一條可行的道路。因此，他在早期的一篇論文（Mathematische Annalen，1882）中宣稱：“從非連續羣的存在性出發，毫無疑問，我們可以通過類似於施瓦茲的過程，推導出通過羣元的置換重現的單值函數的存在性；但這樣一來，我們就無法得到這些超越函數的具體表達式。此外，最好使用其他方法。”另一種方法則基於龐加萊在注意到上述幾何度量關係之前發明的某些顯式級數，現在我們就來談談這些級數。

在普通的有限分式線性變換羣的情況下，對於任何z值及其在該羣變換下的參數zk的有理函數H(z)的和，顯然形成了一個（羣作用下的）不變函數。類似的無窮級數也存在於橢圓函數的級數中。 這些無窮級數由凱萊（Cayley）和愛森斯坦（Eisenstein）發明，雖然其導數級數收斂，但在某些情況下會發散。在這些級數的基礎上，魏爾斯特拉斯（Weierstrass）構建了他的橢圓函數理論。

此外，龐加萊從上述θ級數定義出的函數，發揮了類似橢圓函數理論中橢圓θ函數的作用，適合構成自守函數理論一般發展的基礎；事實上，兩個具有相同m值的此類函數的商是一個自守函數。迄今為止，我們還沒有發現其他完全顯式的自守函數表達式。

所有這些事實都可以從齊次變量的角度來看待，然後呈現為更優雅的形式，但龐加萊關於這些級數自身的思想的發展，很可能是沿着剛才所概述的阻力最小的路線進行的。

有了這兩塊理論基石——即非歐幾何和射影幾何的解釋，以及上文提到的顯式級數（構造）——自守函數理論與橢圓函數的類比就變得加倍明顯了。他認為，橢圓函數與代數函數及其積分、線性微分方程和數論之間的相互關係可以得到完全的推廣，而進行這一發展所需的知識範圍正是龐加萊在巴黎自然地掌握的。

他在《數學學報》早期卷中發表的五篇長篇論文，即使從該理論目前的發展程度上來看，仍可認為是為自守函數理論奠定了首要基礎。許多重要的補充成果已被主要是德國數學家添加，他們使用了齊次變量，並從上述提到的黎曼觀點出發，發展出獨立的理論。

在第一篇題為《關於富克斯羣的理論》（Théorie des groupes fuchsiens）的內容豐富的論文中，龐加萊從其幾何觀點出發，明確地發展了非歐平面上多邊形和全等多邊形網格的形式。為了紀念富克斯，他把具有不變圓的不連續羣稱為富克斯羣，並把相應的自守函數稱為富克斯函數。或許，此處使用克萊因的術語，將它們稱為“具有主圓（principal circle）的羣”和“具有主圓的自守函數”會更好一些。龐加萊對羣的分類是有啓發性的，但並未達到像弗裏克（Fricke）給出的那樣具有確定性。

在第二篇論文《富克斯函數的研究》（Sur les fonctionsfuchsiennes）中，龐加萊對前文所述的級數進行了研究，並闡述了與這些級數定義的函數有關的主要事實。主要的困難在於：這樣的函數可能完全消失（vanish）。利用這些函數的理論，也可以導出自守函數的理論。這裏需要證明的一個重要事實是，每個自守函數都可以表示為兩個此類級數的商。反過來，我們可以通過微分過程從自守函數回到龐加萊的θ級數。

在同一篇文章中，這些函數的第一個基本應用是代數函數的單值化。任何兩個具有相同羣的自守函數之間顯然存在代數關係，正如兩個具有相同週期平行四邊形的雙週期函數之間存在代數關係一樣。自守函數將這種代數關係單值化了，即每個變量都可以用屬於同一個羣的自守函數來表示。這樣，黎曼曲面就被共形地映射到與前面提到的圓弧多邊形上了。於是，一個重要的問題立刻出現了：難道不能用這樣的函數來單值化每一種代數關係嗎？龐加萊通過初步的常數計算（count of constants）得出，用自守函數進行單值化很可能是可以做到的。第二個重要應用在於求相應的二階線性微分方程的積分。

在第三篇論文《關於克萊因羣的論文》（Mémoire sur les groupes kleinéens）中，龐加萊用同樣的θ級數處理了沒有不變圓的更一般的共形羣。這些羣和相應的自守函數被他稱為“克萊因羣”和“克萊因函數“，但或許將其稱為“無主圓的羣”和“無主圓自守函數”更為恰當。凱萊和克萊因提出了基本的幾何結果，使得對這些更一般的函數的研究成為可能。空間非歐幾何學進入了複平面，複平面上所有線性分式變換的整體，與在空間中保持二次曲面不變的那些射影變換（的整體構成的羣）是同構的。

在另外兩篇論文《關於線性方程的羣》（Sur les groupes des équationslinéaires）和《關於ζ克萊因羣的論文》（Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes）中，龐加萊探討了單值化代數函數和具有代數係數的線性微分方程積分的問題。不難看出，如果函數只有三個分支點，或者線性微分方程有有理係數和三個奇點（正則或不正則），那麼只要三個奇點的像位於基本三角形的頂點，就可以通過橢圓模函數實現這種單值化。這一點顯然可以推廣。在嘗試建立這種推廣時，龐加萊首先證明了單值羣的特徵常數是文字係數（literal coefficient，譯者注：即係數的字母部分）的全純函數，然後採用克萊因的“連續性方法”。事實證明，這種方法很難得到令人滿意的應用。龐加萊給出了與他的θ級數類似的顯式級數，基於這些級數，微分方程的單值化是可能的。

在嘗試評價龐加萊發現的新函數的重要性時，我們必須始終記住，這些函數是早先在分析中處理的許多函數的自然延伸。此外，它們為代數函數及其積分的理論提供了一種非常簡單的系統性方法，併為代數係數的線性常微分方程理論增添了光輝的一章。但是，自然推廣的過程似乎隨着這些函數的發明和研究而結束，就像橢圓函數理論早先得出的結論一樣。我並不期望看到重大的進一步發展，儘管達布在序言中暗示了相反的希望。

對於未來的數學家而言，他們在掌握了這些完備的理論之後，一方面會設法對其進行清晰化和簡化，另一方面則只會使用其中與進一步發展真正密切相關的部分[4]。

如果確實如此，那麼我們可以預言，橢圓模函數和三角函數將因其內在的重要性和作為具有主圓的超越自守函數的最佳範例而保持重要地位，而龐加萊發現的更一般的函數將只得到必要的考慮，以確定它們在解析函數層級結構（hierarchy）中的位置。[譯者注：就譯者所見，自守函數在之後單值化定理的證明中發揮了重要作用。而在另一方面，作為函數論的研究對象，自守函數後來的大體命運似乎確實如伯克霍夫此處所言。首先是一些數學家對自守函數的相關問題和理論進行了系統整理和論述，並撰寫了經典專著（如Lehner, Discontinuous groups and automorphic functions和Ford, Automorphic Functions等）。在自守函數理論基本發展成熟和趨於完備之後，不同領域的數學家則根據各自的興趣和需要，轉向研究和使用自守函數的各種推廣，例如（1）利用“泛函化”觀點對自守函數的直接推廣，在數學物理（如微分方程和量子場論）中應用廣泛（可參見李國平、郭友中、陳銀通，《自守函數與閔可夫斯基函數》）；（2）作為其進一步推廣的自守形式，在現當代數論（包括朗蘭茲綱領）中更是佔據核心地位。關於這兩點，可參考譯者之前文章中的第二篇：《龐加萊的數學交響：自守函數動機在20世紀的變奏與展開》及文末參考文獻。]

參考文獻及註釋

[1] Volterra, “Henri Poincaré.” A lecture delivered at the inauguration of Rice Institute（在萊斯學院落成典禮上發表的演講）. Translated by G. C. Evans. Rice Institute Pamphlets, Vol. I (1915), No. 2, pp. 133-L62.

[2] “Henri Poincaré: le mathématicien,” Revue de Métaphysique et de Morale, vol. 21 (1913), pp. 617-658.

[3] “Science et Méthode,” Flammarion, Paris, 1908, Chap. 3; 或 pp. lvii-lviii of Darboux’s " Eloge Historique.”

[4] 在奧斯古德（Osgood）教授的 “Lehrbuch der Funktionentheorie”，第一卷（第二版1912 年）的最後一章中，以這種精神論述了自守函數。另見他的論文《論代數函數的單值化》（On the uniformization of algebraic functions）, Annals of Mathematics, ser. 2, vol. 14 (1912-1913), pp. 143-162.

本文譯自George D. Birkhoff, Oeuvres de Henri Poincaré, Bull. Amer. Math. Soc., Volume 40, Number 5 (1934),363-366.https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1920-03279-9

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