自舉思想在共形場論中的應用_風聞

“自舉”最早起源於20世紀60年代對強子的研究，研究者試圖僅通過系統的自洽性來定量地理解複雜的強相互作用。儘管這種嘗試最終沒能取得成功，自舉的思想卻被保留了下來，並逐漸發展為研究強耦合量子場論的一個重要工具。文章將簡單介紹自舉思想及其在共形場論研究中的一些應用。

撰文 | 周稀楠 (中國科學院大學 卡弗裏理論科學研究所)

來源 | 選自《物理》2025年第6期

01

引言:自然來源於自洽？

自舉(bootstrap)一詞來源於英文習語“Pull oneself up by one’s bootstraps”，該習語的字面意思為通過靴筒上端的環狀拉手把自己拉起來(儘管這顯然違背力學原理)，引申為不依賴外界幫助而實現某個目標。自舉在物理學中的出現最早可追溯到20世紀60年代，當時在加速器中不斷髮現新的強子粒子，這給研究粒子理論的物理學家帶來了極大的困惑：這些大量的粒子中究竟哪些才是最基本的？加州大學伯克利分校的物理學家Geoffrey Chew提出了一個相當激進的觀點，他認為所有的強子粒子都同樣基本，並且其背後的相互作用規律可以完全通過自洽性要求推斷出來。按照Chew的設想，每個粒子都可被看作其他粒子的複合體，同時通過交換這些粒子本身來傳遞相互作用。由此形成的邏輯閉環要求相互作用的規則並不是任意的而必須滿足一定的自洽性條件。Chew認為這種自洽性最終決定了相互作用的規則以及粒子的性質。正如他寫道的，“自然之所以是我們所看到的樣子，是因為這是唯一自相融洽的自然”[1]。換言之，自然來源於自洽。借用本段開頭的習語，Chew將這種研究粒子物理的方法稱之為“自舉”。值得注意的是，這種方法與自古希 臘哲學家德謨克利特以來主導西方科學的“還原論”思想有很大的區別。自舉強調以一種整體的觀念來看待和研究自然，而不是試圖將其分解到無法進一步解釋的基本單元。

更具體地，Chew的自舉方法着眼於所謂的S-矩陣。這一最早由海森伯提出的物理量 (S代表散射的英文scattering)，描述了不同入射態在散射實驗中對應到不同出射態的幾率。為了得到S-矩陣，自舉方法要求S-矩陣滿足一些基本的自洽性條件。這包括時空的龐加萊對稱性、概率的守恆 (幺正性)，以及其他一些S-矩陣較為普適的解析性質。這種自舉方法在早期研究中的確取得了一些成功，比如對ρ介子質量的正確預言。相比之下，同一時期還在發展中的量子場論仍面臨着不少技術和概念上的困難。這使得Chew在1968年仍樂觀地預測自舉方法將成為領域未來的主流，而局域場論的方法則將逐漸失去吸引力[1]。然而歷史與Chew的希望恰恰相反，強子自舉的方法並沒能實現預期的進展，並最終被粒子物理學界所拋棄[2] （注：然而S-矩陣自舉的研究卻意外導致了弦理論的誕生，後者在隨後的幾十年內徹底改變了高能理論物理領域的面貌。1968年，Gabriele Veneziano發現了一個以他名字命名的散射振幅公式。該公式藴藏了弦的特徵，從而拉開了弦理論研究的序幕。對於歷史感興趣的讀者可以閲讀John Schwarz的一篇短文[2]）。而量子場論框架下的量子色動力學後來居上，成為了解釋強相互作用的主流理論。

02

共形自舉的誕生

儘管Geoffrey Chew關於自舉方法的設想沒能在強子研究中實現，其思想卻在20世紀70至80年代被借鑑到了共形場論 (conformal field theory, CFT) 的研究中，並在二維時空的情形中取得了很大的成功。

圖1　共形變換

共形場論是一類在所謂共形變換的時空變換下保持不變的量子場論。共形變換保持角度不變 (圖1，注意網格線在變換後仍以直角相交)，從而推廣了僅保持長度不變的旋轉變換和平

求理論不具備任何內稟的尺度 (能量、質量、長度)，因此理論中不能存在粒子而只有連續的能譜。粒子概念的缺乏讓我們無從討論散射，但仍可以在不同時空點插入局域算符 (比如能量密度算符)，並研究這些算符所對應的物理量漲落之間的關聯。這種關聯被稱為關聯函數，並可被粗略地視為散射振幅的對應。

圖2　量子場論空間中的重整化羣流

共形場論在物理中有着重要且廣泛的應用。一方面，共形場論可以被抽象地想象成在包含了所有量子場論的理論空間中的“燈塔”。在這一空間中，量子場論通過所謂重整化羣流被聯繫，這些流告訴了我們量子場論是如何隨研究尺度而變化的。因為沒有內稟尺度，共形場論處在重整化羣流的終點。而這些流可以相互匯聚，從而形成一個複雜的網絡 (圖2)。因此，作為理解所有量子場論的第一步，我們首要的目標是理解這些處於特殊點的共形場論。另一方面，共形場論在現實生活中其實並不陌生，因為它們描述了各種微觀體系在發生二級相變時的臨界行為。比如，在圖3所示的水的相圖中，分隔氣相和液相的一級相變線終止於一個二級相變點，而該點的物理可以由一個共形場論來刻畫。共形場論雖然具有重要的意義，但它們一般是一些相互作用很強的理論，即所謂的強耦合理論。這意味着我們無法把相互作用看作微小的擾動從而用微擾論的方法來處理。事實上，非微擾手段的缺乏使得我們在一般情況下很難去具體地研究這些強耦合理論。

圖3　水的相圖

20世紀70年代，兩組研究者Sergio Ferrara、Raoul Gatto、Aurelio Grillo[3](意大利)和Alexander Polyakov[4](前蘇聯)獨立地嘗試將自舉思想應用到共形場論的研究中。類似於拉氏量中粒子的質量項和三粒子相互作用，在共形場論中有兩點和三點關聯函數：

這裏我們可以發現一個有趣的現象：即使對於四點函數的約化計算，進行OPE時選取算符的方式也並非唯一。比如，可以對12和34分別做OPE，但也可以對14和23分別做OPE。而自洽性要求兩者必須給出同樣的結果。這可以粗略地寫成：

這裏每一個圖被稱作一個共形模塊 (conformal block)，代表了通過OPE交換某個算符對四點函數的貢獻。這一等式被稱作交叉方程(crossing equation)，實質上反映了OPE的結合律。由此可以看到，定義理論的共形場論數據並非隨意選取，而是需要滿足交叉方程所施加的非平凡限制。而試圖通過利用共形對稱性和自洽性來直接解出共形場論的方法被研究者稱為共形自舉 (conformal bootstrap)。

在1984年的一篇著名論文中，Belavin、Polyakov和Zamolodchikov[5]首次真正實現了共形自舉，從而非微擾地解出了無窮多的所謂“最小模型” (minimal models) 的共形場論。然而，這一成功的一個關鍵要素是時空必須是二維的。利用復座標z來描述二維平面，任何亞純函數z→f(z) 都構成二維的共形變換，但只有具備z→(a+bz)/(c+dz)形式(且ad-bc=1)的特例才是高維時空中共形變換的對應。換言之，共形對稱在二維中會被拓展成具有無窮多生成元的Virasoro代數。而正是因為這種更強對稱性的存在，更多的算符被聯繫起來，從而將共形自舉歸為一個只包含有限個變量的可以求解的問題。雖然這一突破性的工作證明了共形自舉作為一種非微擾方法的有效性，但是其中用到的特殊的無窮對稱使得共形自舉在高維時空中的推廣仍然看來遙不可及。

03

高維時空中的共形場論自舉

經過20世紀80年代的研究高潮後，共形自舉也與S-矩陣自舉一樣逐漸淡出了人們視線，直到2008年才重新煥發出生機。此時希格斯粒子尚未被實驗發現，在瑞士和意大利的一組研究者Rattazzi、Rychkov、Tonni和Vichi試圖考察一種利用共形場論來替代希格斯粒子的理論可能[6]。這一研究的動機是解決所謂的希格斯粒子質量的等級問題 (hierarchy problem)。通過綜合共形場論和Technicolor模型中的“行走行為” (walking behavior)，Rattazzi和Rychkov等人所研究的模型可以為解決等級問題提供新思路。但是這一機制的實現要求共形場論滿足極為特殊的條件[7]（注：更具體地來説，為了與粒子物理標準模型的結果符合，所涉及的Conformal Technicolor模型[7]要求希格斯粒子的質量量綱接近自由標量粒子（為1），但希格斯粒子與其自身形成的複合粒子的質量量綱則具有非常大的反常量綱（接近4）。這一點在很大程度上是與直覺相矛盾的，因為嚴格自由的標量粒子所形成的複合粒子具有量綱2。但是Conformal Technicolor模型設想某種強耦合效應或許可以實現這一情形。Rattazzi和Rychkov等人工作的出發點就是尋找一種嚴格的非微擾的方法來驗證這一設想在物理上是否可行）。有意思的是，這一出於粒子物理唯象學動機的工作卻發明了一種具有更廣泛應用的研究共形場論的新型數值方法。某種程度上，或許也正是這種唯象學的視角為共形自舉的研究思路提供了關鍵的突破。

為了解釋其原理，我們具體考慮一個具有同樣標量算符ϕ 的四點函數，並把交叉方程更準確地寫成：

在第一個方程的左邊特意分離出了來自恆等算符的貢獻，該算符總是出現在兩個同樣算符的OPE中。方程的這一形式使我們更容易看出其中所包含的限制的無窮性。當移動算符來改變U 和V 的取值時，交叉方程會給出關於OPE係數平方的不同的線性限制。

Rattazzi和Rychkov等人方法的關鍵是採取了一種粒子物理研究中常見的排除法思路：雖然我們無法直接求解CFT數據，但是否能至少排除其中不可能的取值？而決定一組數據是否可能的自洽性判據正是交叉方程。為了直觀地看到這一點，我們不妨採用以下的幾何視角。如果將每個FΔ,l (U, V )看作無窮維函數空間中的一個向量，那麼交叉方程要求恆等算符以外的所有向量之和等於一個特殊的固定向量1。同時我們注意到每個向量都具有非負的系

錐 (convex cone)。凸錐的形狀既依賴於所交換的算符維數也取決於U和V的取值。於是對於交叉方程我們有圖4中所示的三種邏輯可能。在情況圖4(a)中，固定向量位於錐的內部，此時交叉方程有解。在情況圖4(b)中，固定向量處於錐的外部，因此交叉方程無解。最後在情況圖4(c)中，固定向量位於錐的邊界，這時交叉方程處於有解的臨界情形。由此有了以下的假設—排除方法：作為假設先對CFT數據取某些特定的值，然後遍歷所有的U和V取值。此時交叉方程有解尚不能説明太多問題，但如果方程無解則説明基於假設數據的共形場論沒有辦法滿足自洽條件，因此我們可以排除關於CFT數據所取的這一假設。之後我們可以不斷重複這個過程，從而在CFT數據的空間中逐步排除掉無法構成自洽理論的部分。這一基本思路可以被進一步有限化，並轉化成一個半正定規劃問題 (semidefinite programming)，從而在計算機上高效地執行。特別的，我們可以在(Δmin, Δϕ)這一CFT數據的子空間中做排除法，並對其他數據只作一般的幺正性要求。這裏Δmin為被交換的標量算符所能取的最低共形維數。Rattazzi和Rychkov等人在工作中證明了利用上述數值方法可以給出關於不同Δϕ的取值Δmin的上界，從而首次在高維的共形場論中僅利用自洽性條件得到非平凡的結果。

圖4　交叉方程對應的幾種情況 (a)固定向量位於凸錐內部，方程有解；(b)固定向量位於凸錐外部，方程無解；(c)固定向量位於凸錐表面，方程有解

Rattazzi和Rychkov等人的工作掀起了一股持續至今的共形自舉研究熱潮。其中最具代表性的結果是三維伊辛模型(Ising model)的精確求解。2012年，數值共形自舉的方法被應用到三維空間中[8]。該工作顯示共形自舉將(Δmin, Δϕ)平面分成了“允許”和“排除”兩個區域（圖5）。這兩個區域的分界線幾乎到處光滑，但在(1.41, 0.51)這個點附近出現了一個明顯的轉折。存在這一轉折點最可能的解釋是其附近存在着一個真實的理論，因此對其鄰近區域的排除構成了阻礙。這一猜想也被蒙特卡羅模擬結果所支持，因為轉折點所對應的共形維數與所謂的三維伊辛模型中的結果極為接近。在此基礎上，研究者進一步考慮了一個更大交叉方程系統的自舉。除了ϕ算符，我們還可以加入對應Δmin的算符，並考慮由此構成的所有四點函數的交叉方程[9]。這一體系顯然包含了更多的限制，並將可能的共形維數區域進一步縮小到一個包含三維伊辛模型的小島 (圖5)。這裏我們需要特別強調這種基於假設—排除的算法與生俱來的特點。利用這種方法得到的所有估計的上下限都是嚴格的，而這是蒙特卡羅模擬等其他數值方法所不具備的優勢。事實上，數值共形自舉方法是如此的有效，以至於可能存在理論的參數區域被壓縮到一個極小的範圍[10，11]。由此得到的對算符共形維數的估計在精度上遠遠超過了蒙特卡羅（注：共形自舉目前得到的Δmin和Δϕ最精確的估計值分別為1.41262528(29)和0.518148806(24)，遠優於由蒙特卡羅得到的1.41265(13)和0.518142(20)。這一精度的提升得益於在交叉方程系統中進一步加入應力—能量張量這一普遍出現的算符[11])。值得一提的是，三維伊辛模型與之前提到的水的臨界點處於同一個所謂的臨界普適類，即兩者可由同一個共形場論來描述。因此，至少在這個例子中，Geoffrey Chew的“自然來自自洽”的設想得到了完美的實現！目前高維共形場論的研究已經發展成了一個很廣泛的領域。感興趣的讀者可以參照相關綜述[12—15]來進一步瞭解這一領域在不同方面的進展[16—21]（注：除了數值方面的發展外，目前對於共形自舉的解析研究也有不少重要的進展。這包括光錐共形自舉（lightcone conformal bootstrap）[16，17]，大自旋微擾理論（large spin perturbation theory）[18]，洛倫茲反演公式（Lorentzian inversion formula）[19]，Polyakov—Mellin自舉[20]和解析泛函方法（analytic functional method）[21]。對其中部分進展的介紹可以參考近期一篇關於解析共形自舉的綜述[15])。

圖5　數值共形自舉求解三維伊辛模型的結果示意圖(圖片改編自文獻[8，10，11])

04

自舉方法在全息共形場論中的應用

那麼自舉到底是什麼？儘管上述例子細節不一，但我們不難找到其中的共同之處。不妨把Geoffrey Chew最初的強子自舉的設想理解成一種更為廣泛的思想，並把所有試圖通過對稱性和自洽性等限制來直接求解物理量的方法稱之為自舉。在這種廣義理解下，接下來我們將考慮其思想在共形場論關聯函數解析計算中的應用。

前面已經提到，共形場論作為強耦合理論一般難以通過解析的手段來精確研究，然而一個重要的例外是1997年Juan Maldacena提出的AdS/CFT對應[22] (其他非微擾的解析工具包括可積性方法、復現方法以及超對稱局域化方法，這些方法分別在本刊江雲峯、顧傑和張欣宇的文章中有詳細介紹[23—25])。該對應指出了一大類共形場論可以被完全等價地看作更高維時空中的量子引力理論。這裏更高維的時空是所謂的反德西特 (anti de Sitter, AdS) 空間 (圖6)。這是一種具有恆定負曲率的時空並具有一個邊界，而等價的共形場論正位於這一邊界上。這種將高維體系的信息等價地儲存在低維體系的機制與全息相片頗為相似，因此AdS/CFT對應也被稱為全息對偶。

圖6 AdS空間示意圖。該空間存在一個位於無窮遠處的邊界(橙色)。在這一示意圖中，越靠近邊界距離越被壓縮，這可以從兩個相同的五邊形(紅色)的不同表觀大小看出來

弦理論的對應。前者是描述強相互作用的量子色動力學的一個理想化翻版，在時空的龐加萊對稱外還具備了大量聯繫起玻色子和費米子的超對稱。這使得原本漸進自由的理論不再隨尺度的變化而改變，從而成為一個超對稱共形場論。對應中的後者則是超弦理論中的一種，並處在一個具有特殊直積形式的十維空間。這個空間的兩部分分別是一個五維的AdS空間和一個五維的球面。這個典型的例子很好地展示了AdS/CFT對應的一個重要特點：對應中兩種對偶的描述可以將強弱耦合互相轉化。具體來説，當N=4超楊—米爾斯理論處於弱耦合時，我們可以直接用量子場論中的費曼圖方法來微擾地研究。而在微擾方法失效的強

論的低能極限)（注：準確來説，這要求我們取一個所謂的 ’t Hooft極限，此時需要讓超楊—米爾斯理論中規範羣的秩N趨於無窮（在量子色動力學中N = 3））。因此原則上我們又可以重新使用微擾論 (儘管是在彎曲時空中的) 來解析地研究強耦合的量子場論。作為最基本的可觀測量，共形場論中的關聯函數全息地等價於AdS空間中的散射振幅，如圖7所示。在這一示意圖中，我們在較早時間插入的算符位置上引入了AdS空間中場的擾動。擾動所形成的波包向AdS空間的內部傳播，最終相遇並相互散射。出射的波包被更晚時間插入的算符所探測，這一過程測量到的散射振幅正對應了共形場論中的關聯函數。我們在共形場論的討論中已經看到關聯函數具有最基礎的重要性，而這一點從對偶的描述中也不難看出。在AdS空間中關聯函數的測量被轉化成一個粒子對撞的思想實驗，而在粒子對撞實驗中人們所能測量的正是散射振幅。

圖7 AdS/CFT對應示意圖。這裏我們強調了時間方向(沿着圓柱的方向向上)，圓柱的表面代表了共形場論存在的時空，內部表示AdS時空。在圓柱表面上插入的算符的關聯函數對應了發生在內部的散射振幅

正如平直空間中散射振幅可以由費曼圖計算得到，AdS空間中的振幅也可以由類似的所謂Witten圖來計算。這種基於Witten圖展開的方法是研究這些全息關聯函數最傳統的策略。這一策略可以分成以下三步。首先，需要掌握所有的費曼規則。這包括了告訴我們粒子如何自由傳播的傳播子 (格林函數)，以及描述粒子相互作用的頂點。然後，列出某一過程中所有可能貢獻的圖。在這裏我們將注意力集中於四點函數，並只考慮具有樹狀結構的Witten圖 (具有圈狀結構圖的貢獻在超引力極限下是次要的)。可能的圖可以被分成交換圖和接觸圖，如圖8所示。最後，計算所有這些Witten圖並把結果相加得到全息關聯函數。

圖8 AdS空間中的Witten圖。傳播子和頂點給出了基本的規則並可被用來構造一般的Witten圖

這一方案看似簡單直接，但在實際操作中卻遇到了極大的困難。事實上，從AdS/CFT對應發現起的近20年內，文獻中只有屈指可數的全息關聯函數被具體計算。這些困難包含了以下的幾方面。首先，與20世紀60年代強子散射的處境類似，這些全息理論中也包含了無窮多的粒子，粒子的無窮性來源於所謂的Kaluza—Klein約化。簡單來説，在這一散射實驗中我們只能直接看到AdS這一因子，而看不到內在的五維球面。一個十維空間中的粒子可以在內部空間有無窮種不同的運動模式，這在低維的AdS觀測者看來對應了不同質量的粒子。其次，因為有無窮多的粒子，其相互作用是極其複雜的。事實上，為了計算一般的樹圖階的四點函數，需要整整15頁的費曼規則來描述其中的相互作用！而當我們考慮更重的粒子作為散射過程的外點時，需要計算的Witten圖的數目也隨着外點質量迅速且無限制地增加。這對於上述的圖展開方法顯然不是一個好消息。最後，彎曲的時空也使得圖的計算更加困難，最終得到的結果看上去非常複雜且難以進一步簡化。

如何高效地計算全息關聯函數這個基本問題一直困擾了研究者近20年。雖然這一問題是弱耦合的，但事實證明採取自舉思想來處理該問題具有出人意料的優勢。在2016年，筆者和Leonardo Rastelli引入一種融入了自舉思想的新方法，併成功得到了所有樹圖階的四點函數[26]。首先，我們對全息關聯函數做了所謂的Mellin變換，並在變換後的空間內考察這些關聯函數。這是一種Gerhard Mack在2009年引入的框架[27]，其優點是變換後的關聯函數 (Mellin振幅) 具有與平直時空的動量空間中振幅類似的解析性質。然後，與Chew的S-矩陣自舉類似，我們列出Mellin振幅所需要滿足的限制條件。這包括了理論的超共形對稱性，以及振幅在粒子交換順序下不變的交叉對稱性。同時，單個Witten圖的解析結構 (但無需知道其振幅的具體細節) 給出了Mellin振幅的一般解析行為 (具有單極點並具有多項式留數) 。另外，我們還可以推定Mellin振幅在高能極限下的行為。這是因為取高能極限等價於在極小的尺度下考察AdS空間，而此時曲率並不可見因而時空接近平直。所有的這些限制都可以在Mellin空間下表述，並將全息關聯函數的計算轉化成了一個在多重限制下求解Mellin振幅的代數問題。我們可以關於任意算符統一地求解這個問題，最後發現該問題的解出人意料的簡單：所有無窮多的樹圖階四點函數的Mellin振幅只需要短短的一行就可以寫下！

這個例子充分凸顯了自舉方法的優越性。儘管全息關聯函數的計算在微擾量子場論的描述下顯示出令人絕望的複雜性，但自舉方法揭示了其中隱藏的巧妙及簡潔性。值得注意的是，對於這種自舉方法而言，Witten圖的計算完全是多餘的，因此我們不必事先知道這些無窮多粒子是如何相互作用的。相反，從由自洽性確定的結果中我們可以反推出AdS空間中粒子作用的細節。讀者不難發現，這種全息關聯函數的自舉方法事實上與Geoffrey Chew關於強子自舉最初的設想十分類似。

我們在這裏所展示的這一成功案例也並非巧合，這種自舉的思路同樣適合於其他的理論以及更復雜的全息關聯函數 (比如更多的算符、圈圖階的修正)。除了作為強耦合量子場論中重要的可觀測量，我們還提到了全息關聯函數具有AdS空間中散射振幅的對偶解釋。因此在考慮上述的引力子散射之外，還可以同樣使用自舉方法去考慮AdS空間中膠子的散射[28]。由此可以進一步去探索平直空間中“雙重複制”關係等振幅的深刻性質的推廣[29]，從而試圖去建立一套彎曲時空中的散射振幅理論。我們將不再具體展開這些拓展，推薦感興趣的讀者參考前幾年的一篇綜述[15]來獲得更深入的瞭解。

05

總結與展望

在本文中，我們看到了自舉這一思想在高能理論物理中 (特別是共形場論中) 的一些應用。拋開具體的細節，可以看到自舉思想的核心不過是利用自洽性的限制來求解問題。從這個角度來説，甚至我們在初等數學中接觸到的“待定係數法”都可以看做是自舉的一種形式。在引言中提到了由拉氏量出發的量子場論等方法遵循着物理學中一直以來的“還原論”的思想，而強調整體的自舉思想則與此之成了很好的互補。因此，在高能理論物理的研究中恰當地融入一些自舉的元素或可以為解決問題帶來一些意想不到的好處。

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本文經授權轉載自微信公眾號“中國物理學會期刊網”。

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