讀博時開創一個新領域，他用一生回答 “怎樣學數學”_風聞

年輕時的李天巖（1945.6.28-2020.6.25）是幸運的。他在讀博士時就開創了一個新領域——現代同倫延拓法；而剛獲得博士學位不久，他的突破性研究又讓他和烏拉姆一同成為計算遍歷理論的兩位主要奠基者。他的創造性研究風格極大地影響了他的弟子們。

這幾日，是李天巖教授逝世五週年及八十誕辰之際，讓我們走進這位傳奇數學家的世界，感受那份嚴苛背後的深情，與足以影響幾代人的求知之火。

撰文 | 丁玖（美國南密西西比大學數學系教授）

2025年6月25日，是我的博士論文指導老師李天巖教授逝世五週年。三天後的28日，將迎來他的八十週歲誕辰。

五年前，在他離世的那個早晨，弟子們馬上舉行網上追思會的沉重哀悼氣氛至今還瀰漫在我的腦海中；十年前，在密歇根州立大學數學系為他慶祝七十壽辰的師生歡樂場景也依然在我眼前不時浮現；再向前十年，在台灣新竹清華大學理論研究中心“慶祝李天巖教授六十週歲國際學術研討會”上拍下的那張師門羣聚照，一張張笑臉栩栩如生地反射出充滿“李天巖學術家族”特色的親密師生情緣……現在，思緒萬千的我把對他的感恩和思念之情，聚焦在幾十年中他對博士弟子們的一生影響中。

人在一生一世中受到各種影響，有幼兒直至少年時期的父母影響，有讀書時代的師長影響，有無孔不入的社會影響，有潛移默化的好友影響。這些來自四面八方的複合影響，有正有負，就像機械工廠鍛造車間的衝牀，將我們捶打成不同類型之人、不同善惡之心、不同追求之輩、不同發育之軀，而選擇了不同的價值觀念和生命軌跡。

然而，就我自己可以記憶的六十年人生歷程，撇開閲讀習慣這個功率極強的影響力不談，撫育孩子長大的父母和教育學生成才的教師對於個體可能是公認的兩大“影響因素”。我在回憶先母的文章《母親的手》中寫道：“她不僅潛移默化我一生愛書，而且言傳身教我莫為功利；她不僅樹立我遠大理想，而且鼓勵我永不退縮；她不僅教育我禮貌待人，而且告誡我勿忘他恩；……”從中可量度出家長對子女的影響力。但是，對於未來將走向探索學問之路的大學生和研究生，親炙於優質導師的治學之道和做人原則，對其職業的影響毫無疑問是最具決定性的。

在李天巖教授幾乎所有的弟子眼裏，他就是這樣一位言行完美結合的導師：在對待治學的態度上，他為學生做出表率；在用於鑽研學問的時間上，他比學生還要投入；在將後學者帶入新的研究領域時，他慷慨播撒思想的種子；在教導怎樣解釋數學的過程中，他對學生傾情傳授演講技巧；在每週舉行的弟子討論班上，他常常跳上講台示範一個概念的自然登場。他沉浸數學未知世界探索其中奧秘時顯示出的忘我狀態，他在課堂講授數學聲情並茂迸發出的迷人激情，四十年間影響了他一批又一批的弟子和學生們。

今天，在李天巖教授離世五週年之際，讓我梳理這段歷史中自己比較熟悉的那幾根經緯，踏着他所留下的研究足跡，回放對年輕學子或許有啓迪意義的幾首學術樂章，以典型而具體的代表性人物故事，追憶他是怎樣深刻地影響了眾多的弟子和廣義的學生。

創造性探索未知

1983年我在南京大學讀碩士學位期間，第一次看到李天巖教授的名字，從此，我的未來道路與他聯繫在一起。那次與他在期刊文章首頁上的偶遇，來自閲讀他與凱洛格（Royal Bruce Kellogg，1930-2012）及約克（James A. Yorke，1941-）合寫的一篇開創性論文。這是尋求非線性方程組數值解的現代同倫延拓法開天闢地之作，起始於作為博士生的李天巖聽從了其博士論文導師約克教授的建議，而去旁聽凱洛格教授的研究生課程《非線性方程組的數值解》。那一年是1973年，第二年，28週歲的李天巖獲得數學博士學位。

在那之前，博士生李天巖獨立或跟隨導師約克所做的所有研究都屬於微分方程與動力系統領域，這是純粹數學的一個重要分支，對自然科學和工程技術有着廣泛的應用價值。此刻的李天巖已經完成了“週期三則意味着混沌”這一“約克猜想”的初等微分學證明，但日後讓他聲名顯赫的“李-約克混沌定理”還要等到1975年的聖誕之月，才在大眾雜誌《美國數學月刊》中橫空出世。

為何這時以純粹數學研究見長、已有數個不平凡成果的李天巖，一下子修起了某些純粹數學家都比較輕視甚至輕蔑的計算數學課程？

這是因為，在上世紀七十年代初的美國，高等院校新增教職對於剛剛出爐的新科博士，極難獲取。當時是與九十年代初同樣艱難的大學教鞭稀少期。結果是許多來自中國台灣的留美博士生，獲得博士後因在美國學術界很難找到職位而最終打道回府。為了幫助弟子留美工作多一條後路，即便拿不到大學教鞭也有可能靠實用學科的知識在工業界謀到一份差事，那學期約克教授便讓李天巖去凱洛格教授的課堂旁聽，學一學數值求解非線性代數方程組有用的理論和方法。

差不多九年後的1982年，我在南京大學的教學大樓裏與碩士導師何旭初教授的幾個同門弟子及南京師範學院的一位旁聽研究生，作為最優化理論研究方向的專業基礎課，註冊修讀了李天巖教授早九年旁聽過的同名研究生課程。開講此課的沈祖和老師很會教書，他選用的教材，恰好就是1970年出版的馬里蘭大學計算數學家James M. Ortega（1932-）和Werner C. Rheinboldt（1928-2024）兩教授撰寫、現已成為經典的一本厚書《多變量非線性方程組的迭代解》（Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables）。我沒問過李教授當凱洛格教授於1973年講授該課時有沒有將其本校同事的這本著作指定為教材或列為參考書，但當我於1986年留學密歇根州立大學數學系讀博士學位而修了幾年課，才知道美國大學和當時的中國做法經常不一樣：許多教授講授的研究生課程沒有專門的教科書而只列出參考書，有的連參考書都沒有，全靠教授依據自己準備的講義，靠他的三寸不爛之舌來兜售知識。可是，這種看似不甚統一的做法，卻至少會讓有創造性思維傾向的一些聽課者受益無窮。

為什麼呢？因為那部分研究型教授在教學中由於知識常新，會有意或無意地將與課程內容相關的思想浪花潑灑在學生的頭頂上，而這正是凱洛格教授在班上所做的。他的課中有一節講的是布勞威爾不動點定理。這是以其主要發現者荷蘭拓撲學家布勞威爾（L. E. J. Brouwer，1881-1966）的名字命名的一條大定理，其敍述語言稍微簡單一點的某個版本是：n維歐幾里得空間中的單位閉圓球到其自身的任何光滑映射必有不動點。既然此定理極其重要，且應用十分廣泛，從它問世後的幾十年間人們找到了多種多樣的證明也就不足為奇了。沈祖和老師發給我們聽課研究生的教科書中有一章，專講非線性映射的度理論，作為該分析學重要數學工具的一個直接應用，布勞威爾不動點定理自然而然地就被推理了出來。我當時學習完這一段內容後，雖然驚歎於度理論之精妙，卻根本想不到，也可能無從想起，從這裏可以再闖出一條探索之路來。蓋因那時的我還沒有懂得怎樣做研究，同時，周圍的教學環境也沒能向我提供浸潤於創造性思維的良好機會。

然而，凱洛格教授卻獨闢蹊徑，沒有按照標準教科書中現成的方法在黑板上抄下證明，而是從期刊中拿出加州大學伯克利分校數學系的赫希（Morris Hirsch，1933-）教授十年前在美國數學會的期刊上發表的一個簡潔反證法，展現給班上的學生。赫希的推理過程可簡單敍述如下：倘若將閉圓球映到自身的光滑映射沒有不動點，就可定義一個將閉圓球映入到其表面（維數比球體少一的球面）的一個光滑映射，它具有下面的性質：球面上每一點在該映射下動也不動；換言之，這個值域比定義域維數少一的映射限制在球面上是個恆等映射。這卻和微分拓撲學中的一個基本結果相矛盾。下圖對二維閉圓盤情形展示了赫希反證法中所構造的將閉圓盤映到圓周上的那個光滑映射：

在圖中，由於反證法假設，閉圓盤上任一點x不等於f(x)，其中f是給定的將閉圓盤映到自身的光滑映射，故可將從點f(x)到點x的有向線段延長到與圓周的交點F(x)。這就構造出了一個光滑映射F，它將閉圓盤映到圓周，並保持圓周各點不變。但微分拓撲學中的一個基本事實卻阻止了它成真。

僅僅旁聽凱洛格教授這門課的中國青年李天巖，卻沒有像正式註冊此課的其他研究生一樣，對赫希的證明“一聽了事，下課就走”，而是深深陷入探索性的苦苦思索之中。這或許就是淺嘗輒止學習者和刨根問底學習者的分水嶺。他在想，雖然那個將閉圓球映到圓球面的映射（在上圖中標記為F）無法在整個閉圓球上的每一點處都能有定義（因為不動點存在！），卻能在將閉圓球中所有不動點（至少有一個）去掉之後的那個集合上處處可定義，那麼，根據微分拓撲學中的沙德定理，隨機地在圓球面上取一點（所構造映射的“正則值”，在球面上幾乎處處存在），它在這個餘維數為一的映射下的逆像是一條維數為一的光滑曲線，它起始於該點，最終將會趨向於原先映射的所有不動點組成的集合。如果從所取初始點出發，數值上沿着這條曲線向前推進，就有可能計算出一個不動點來。這同時也可形成布勞威爾不動點定理的一個“構造性證明”。

這個將赫希反證法再向前推進了一步的思考結果，播下了現代同倫延拓法的種子。李天巖將他的新想法告訴了導師約克教授和授課老師凱洛格教授。他們都支持他利用電子計算機實戰他的新點子。經過兩個月的緊張數值試驗，之前從未上過計算機的純數學博士生在計算數學史上基於微分拓撲學，第一次算出了布勞威爾不動點。

年輕時的李天巖教授是夠幸運的，因為他在博士生階段開創了一個新領域——現代同倫延拓法。但是他的幸運首先建立在他的主觀能動性之上：不是被動地接受現成知識，而是主動出擊，敏鋭發現新的突破口，創造出新的知識。而這個學術機遇也跟凱洛格教授分不開。如果這位教授僅僅滿足於按部就班地照本宣科，可能聽課的學生不易從中獲取啓動創造性思維的第一推動力。所以，好的老師，尤其是論文指導老師，往往能激發出學生對探索未知的好奇心和成功欲。

李天巖教授對他的博士論文導師約克教授推崇備至，認為自己對數學及其研究的品味極受後者的影響。赴美留學前，儘管在台灣清華大學數學系本科四年的成績單拿出來十分耀眼，幾乎門門五分，但他卻在幾十年後的文章《回首來時路》中，剖析自己當年對數學“一竅不通”，只會“背定義背定理”，而大學成績自稱“C或C以下”的約克教授，在他眼裏卻是數學武林中的“一代宗師”。

約克被弟子如此仰視，一個重要原因是，如同他十年前在電郵中告訴過我的：“我在高中起就學會了怎樣學數學”。這個怎樣學數學的真諦，再用他對我説過的另一句話説，就是“理解重要定理證明中的關鍵想法比理解定理本身更重要”。我想，正是透徹理解了混沌之父洛倫茲（Edward N. Lorenz，1917-2008）關於長期天氣預報不可預測性的那篇論文《確定性非週期流》（Deterministic Nonperiodic Flow）中的關鍵想法，他的大腦中才提煉成“週期三意味着混沌”的偉大猜想，而他的弟子則抓住了這個猜想反射出的迭代內涵，運用微積分手段破解了它，變合理猜想為深刻定理，三十年過後被卓越的理論物理學家戴森（Freeman Dyson，1923-2020）在其“愛因斯坦講座”文章《鳥與蛙》（Birds and Frogs）中讚歎為“數學文獻中的不朽珍品”。

李天巖教授年輕時的另一大數學貢獻，也和約克教授的創見及他自己的眼光相關。約克與其親密合作者波蘭數學家拉速達（Andrzej Lasota，1932-2006）在1973年發表了一篇現代遍歷理論的重要論文，回答了被後世稱為“數學科學家”的氫彈之父烏拉姆（Stanislaw Ulam，1909-1984）提出的一個數學問題——“區間上的逐片單調映射是否具有絕對連續不變測度？”他們證明：對於逐片拉長的映射回答是肯定的。在其存在性定理的證明中，約克發現的關於有界變差函數的一個不等式——後來被稱為約克不等式——起了關鍵性作用。

這類映射現在稱為拉速達-約克類區間映射。剛獲得博士學位不久的李天巖讀到導師的這篇合作論文時，沒有僅僅停留在理解文章的定理和結論上，而是想得更遠：在拉速達-約克類映射絕對連續不變測度的存在性得到保證後，數值上能否方便地將它算出來？這當然屬於計算數學的範疇，可惜的是，不少純粹數學家不大瞧得起計算數學這門應用性極強的學科，他們的姿態有點像美聲唱法歌唱家對待流行歌手，以為後者不能登大雅之堂，所以他們中的許多人鮮有考慮計算之想。然而，約克教授於2005年借慶祝弟子六十歲生日之際，在台灣接受數學家劉太平教授採訪時説道：“計算能導致偉大的發現”。當然，只要讀一讀剛剛去世的美國應用/計算數學家拉克斯（Peter Lax，1926-2025）的學術履歷，瞧一瞧上面所羅列的國家科學獎、沃爾夫數學獎、阿貝爾獎等大獎，部分純粹數學家對計算數學的那些輕視之語大概就應該收回。由於發明了現代同倫延拓法，此時純粹數學出身的李天巖博士可能自告奮勇擔當一位計算數學家了。

一旦又有了新的想法，他就全力以赴地沉浸其中，很快構造出一種用於可積函數空間的算子方程數值逼近法。利用已駕輕就熟的布勞威爾不動點定理，他確認了該算法計算近似不變密度函數的合理性，並採用了他導師發現的那個新穎的約克不等式，證明了他的逐片常數投影密度計算法在可積函數空間中的強收斂。更由於他的方法恰好也是烏拉姆在自己1960年出版的書《數學問題集》中提出的矩陣逼近算子法，他實際上對一類區間映射解決了關於書中提出的烏拉姆方法收斂性的所謂“烏拉姆猜想”。李天巖教授的這項成就使他和烏拉姆一同成為計算遍歷理論這一新興應用學科的兩位主要奠基者。

1976年，碩果累累的李天巖博士被密歇根州立大學數學系聘為助理教授，此時他的身體狀況已經逐漸變壞；事實上，到他去世為止，他與腎臟疾病搏鬥了半個世紀。然而他沒有停下腳步，常在醫院裏思考數學。

1986年1月2日，是我到達留學美國目的地的第一天。在當晚祖國同胞招待我的晚餐上，李天巖教授的一位博士生告訴我，本系一些教授在研究之路上寸步難行，卻看到李教授的論文預印本如同雨後春筍不斷冒出。從李天巖教授1982年帶出的第一個博士開始，他的創造性研究風格也極大地影響了他的弟子們。

深受導師影響的弟子

和李天巖教授一樣在台灣長大的朱天照博士，是他的第一個親授弟子。朱博士在1982年獲得了密歇根州立大學數學系的博士學位，被北卡州立大學數學系聘為正式的助理教授。我在李教授門下求學的那幾年，他常常向我們幾個同年從中國大陸赴美攻讀博士學位的師兄弟們專門提起自己這位出色的學生，用意無非有二：第一個是當他發現我們在他眼裏不夠用功，尤其是覺得有人懶於對新思想動手試驗時，就會用朱博士當年做學問時的苦幹精神鞭策我們：“從前我叫朱天照去做什麼，他二話不説就去幹，非搞個明白不可”。這句話本身就是李教授做學問一輩子的座右銘，只不過他讓實踐得最好的弟子的行為替他給我們“訓話”。他曾對自己的學術人生有一句生動的描繪：“憑着一股牛勁，凡事堅持到底，絕不輕言放棄”。因此，如果我們當中有人不親自動手，輕易放棄值得一試的新觀點，他是不太滿意的，甚至會嚴厲批評。我們這幾個都是出身於七七級數學系的，雖只比他小了十來歲，在做學問這事上都有點怕他。

李教授常提及朱天照的第二個用意，是介紹這位優秀弟子在數值代數領域率先用同倫思想處理矩陣特徵值問題的新穎想法。我們這幾個大陸弟子同年進校後，最後寫出的博士論文除了兩人之外，都聚焦於矩陣特徵值同倫延拓法計算，其最基本的想法出現在朱博士早他們幾年發表的那幾篇論文中。同倫延拓的思想用於計算數學的不同領域，就會催生出能保證全局收斂性的新算法，對於特徵值問題，它還有計算過程可以實現並行化的額外優勢。李教授深信，矩陣特徵值同倫算法具有與在數值代數中佔有老大地位的經典QR方法一比高低的潛能。於是，他率領手下兵馬在那些年中，為實現這一目標做出了令人矚目的成績。

作為李教授最優秀的弟子之一，朱天照在獲得博士學位六年後就晉升為正教授。而在正常情況下，從助理教授到副教授，在研究型大學一般需要六年的“試用期”，即經過自下而上的系、院、校三級投票結果為正時，所在大學就會相信被晉升者有了可以永久聘用的資格，而不再“試用”。朱天照在計算和應用數學領域中的眾多學術貢獻，包括對於特徵值反問題的深入研究並出版了專著。我在讀博士階段的幾年中只見過他一次，那次他應導師之邀從他正在訪問的位於芝加哥的國家實驗室驅車回到母系，做了一場學術報告，專論離散迭代算法與連續動力系統之間的姻緣關係。他關於這個論題和特徵值反問題的綜述性文章都刊登在美國工業與應用數學學會的期刊SIAM Reviews上。

李天巖教授後半生的主要研究領域是多元多項式方程組數值解。求聯立多項式方程的共同零點是代數幾何的一箇中心問題，同倫算法成為數值求解的一件利器。在同我一批的弟子中，以七七級考進吉林大學數學系的王筱沈是他在這一領域的學術傳人之一。王筱沈兄弟四人中有三人在美國當了數學教授，他們的父親是中國有名的數學家王柔懷教授。1986年秋季學期開學前，剛進校幾天的王筱沈就去考了本系博士生撰寫學位論文前兩大必要考試之一的“資格考”（第二個過關考試叫“預備考”，都考兩門）。因為我和他同進考場，看到李教授跨進教室查看他“考得怎樣”，其情節被我寫進了《走出混沌：我與李天巖的數學情緣》書中。當善於發現學生天賦資質和用功程度的李教授瞭解到這位長我五歲者讀書時和他一樣是個“拼命三郎”時，就對他額外加碼好好栽培了。

我在上述的書中這樣回憶王筱沈：“李教授看出他的學術素質、研究潛力和用功精神，在他一通過博士預備考後，就交給他受過格羅滕迪克（Alexander Grothendieck，1928-2014）栽培的美國代數幾何學家哈茨霍恩（Robin Heartshorn，1938-）的名著《代數幾何》（Algebraic Geometry），裏面的語言將在弟子未來的職業生涯中不停地掛在嘴上或寫進文章裏。密歇根冬季的冰天雪地來得早卻去得遲，地面是一片白雪皚皚。王筱沈除了白天去校修課教書，每天在家吃完晚飯後，同樣騎着自行車飛馳到辦公室，繼續沉浸在代數幾何的王國裏，直至夜深人靜騎車回家。”

對代數幾何下了苦功的王筱沈將這套純數學的艱深理論運用於數值求解多項式系統的同倫算法，取得不俗的成績。他進攻學問的精神和誠實做人的品質一直深受導師的喜愛，他們不僅合寫研究論文，而且王筱沈夫婦位於阿肯色州首府小石城的家很可能是李教授光顧得最多的弟子之家。

本科和碩士學位均在武漢大學獲得的曾鍾剛，是另一個在研究的開拓性探險上繼承了導師衣缽的例子。在李教授的所有博士生中，我和曾鍾剛在兩人出國前就有過通信交流，介紹人是中山大學數學系的王則柯老師，因為八十年代初王老師從訪學的美國引進了單純不動點算法這一新的領域，而曾鍾剛則先於我接觸到該研究課題。我們於1985年6月初分別從南京和武漢去了中山大學，與首次訪問祖國的李教授見面，一同聆聽了他為時一週的若干次講座和演講。那次曾鍾剛和李教授同遊中山紀念堂的合照，被我放進了回憶錄《走出混沌：我與李天巖的數學情緣》裏的第一章。

幾十年來，曾鍾剛鑽研學問的特點是甘坐冷板凳，深入問題的心臟，不達目的絕不罷休。他的博士論文研究集中在用同倫思想計算一般矩陣的特徵值和特徵向量，這是在同門師兄朱天照、Noah Rhee（韓國名字是李弘九）先前工作的基礎上，對李教授所開創的代數特徵值問題同倫延拓法的繼續推進。在進一步深入探索的過程中，他自然而然地面臨對計算數學而言極端困難的一個棘手問題：怎樣有效地計算代數方程的重根？

由於計算過程出現各類誤差的不可避免性，數值處理重根問題的困難性可用一個日常經驗打比方：如果將一件小物品放在桌面的邊界之內，則該物被稍稍移動一下位置後，依然還會在桌面上而不至於掉下地來；然而，如果將它放在桌面的邊緣處，則微小的一個移動都有可能致使它掉在地上，除非將它向着桌子的中央移動。這説明，東西放在桌面的內部是安全的，而放在邊界上則是危險的。用此來比較代數方程的單根重根，“桌面內部”相當於“單根”狀態：在方程參數的微小變化後單根依然保持單根；“桌面邊緣”類似於“重根”情形：不同方向的微小變化會引起重根的不同變化。

在矩陣理論中也有類似的現象：可逆矩陣的小小擾動不改變矩陣的可逆性，因而從可逆矩陣到其逆矩陣的變換是連續的，即矩陣元素的小變化導致逆矩陣元素的小變化；然而奇異矩陣就複雜多了，某些小擾動可以保持矩陣的秩，但另一些小擾動卻可以增加秩，因此從一般矩陣到其廣義逆矩陣的變換是不連續的，可以證明這僅僅是個“上半連續”的變換。

如果在數值上能卓有成效地克服重根問題帶來的困難，便能成就計算數學的一個大突破。曾鍾剛從導師那裏繼承了進攻難題“不到長城非好漢”的氣概，埋頭苦幹了好幾年，終於想出了一種“流形投影”的妙法，成功解決數值計算重根困擾計算數學界的這一個難題。李教授曾經告訴過我，在那幾年中，曾鍾剛沒有滿足於做些容易發表論文的小研究，事實上這樣的文章他五六年間好像一篇也沒有發表過，集中精力專攻“重根問題”，最終是不鳴則已，一鳴驚人，他的優秀成果發表在計算數學的名刊上，他的研究思路得到美國科學基金會的賞識而獲得基金支持。他關於重根計算的開創性文章獲得美國計算機協會符號與代數計算2003年會的傑出論文獎。

事實上，這篇內容厚實的傑作，如果願意的話，可以分成三篇寫：多項式最大公因子數值計算的第一個算法；多項式的根的重數計算；用已知重數精確計算重根。李教授對弟子説，你要是分成三篇，都是一般漸進文章，但把三篇寫成一篇就是經典。後來果然成了獲獎文章，首次實現多項式重根精確計算。前幾年，曾鍾剛繼續將降服重根的思想推廣到奇異導數矩陣情形下的牛頓迭代法並獲成功。目前的他正在撰寫專著，總結他在這個領域中的開創性工作。

長期情繫學問不折不撓的曾鍾剛身上，散發出李天巖教授對他深入骨髓的影響，他也因此深得導師的讚許和期待。離開師門後的近三十年，他與李教授一直保持學術交往，結伴探索，保持濃厚的師生情誼。在和我同期的四五個師兄弟中，他任教的大學離母校最近，他也常常開車四小時回校訪問加看望導師。《走出混沌：我與李天巖的數學情緣》書中的最後一張照片，是他於2020年1月18日驅車前往密歇根州東蘭辛市探望老師，兩人一同觀看美式足球賽時留下的合影。五個月再加一週後，李教授溘然長逝。

李天巖教授的學術人生“影響因子”遍及他的所有弟子，他們無論是在大學教書或管理，還是在公司負責研發，都實踐着導師對他們的教導。我同批的師兄弟中，就有兩位獲得任教學校“大學傑出教授”的頭銜。他幾十年不斷的“李教授師生討論班”，從來不會讓學生僅僅停留在對所報告學術論文的定理陳述、證明邏輯以及研究結論的膚淺瞭解上，更不允許報告人缺乏準備地走上講台匆匆報告可能自己也沒有真正搞清楚的一篇文章。他時刻強調的是，每一個演講者都必須搞明白定理條件和結論背後的基本思想。在他的調教下，經過討論班嚴格訓練的前後跨度三十年的二十多位博士生，大都成長為會講數學、會提出問題並能解決問題的新一代學者。

李天巖教授雖然已離開人世整五年，但他的治學思想和人格魅力不僅對他親傳的弟子和教過的學生繼續發生影響，同時也對知曉他一生傳奇故事的廣大讀者帶來追求真理的動力，鞭策人們不畏困難，勇往直前。長期的疾病縮短了他的壽命，但他的求知精神卻長駐人間。李天巖教授將永遠被人銘記與敬仰！

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