牛津數學家追更當代素數研究新成果：張益唐等數學家都做了什麼_風聞

牛津大學著名數學教授馬庫斯·杜·索托伊（Marcus du Sautoy）在其代表性的數學科普書《悠揚的素數：黎曼猜想趣史》發行20多年後專門“追更”了近年素數研究的進展和突破，在追更的文章中，他稱張益唐為“中國的拉馬努金”，並全面描述了全球其他頂級數學家在這一領域的相關成就。

本文經授權節選自剛剛上市的《悠揚的素數》增訂版中文譯本中增補的核心章節。

撰文 | 馬庫斯·杜·索托伊

翻譯 | 談天星

素數的美妙之處在於，它們不會過時。科學理論興衰更迭，歲歲枯榮，數學卻最是長青。面對預示着科學新理論的革命，證明的力量令數學無可撼動。古希臘人於兩千多年前首次提出的素數發現至今依然成立。

《悠揚的素數》講述了一場傳奇的接力賽，數學家們奔跑不歇，將素數的接力棒傳遞給下一代。兩千多年了，人類一直試圖理解素數，二十載光陰不過是一扇小小的窗户。自 2003年本書首次出版以來，我們在奔赴終點線的路上走得更遠了嗎？黎曼假設離得證更近一步了嗎？

我仍然認為，我們距離證明還差一個重要構想，但這並不是説，我們未曾取得關於素數的新發現。在過去的二十年裏，一批年輕的以及不那麼年輕的數學天才脱穎而出，向我們呈現了這些神秘事物的新面貌。

特別是，數學家們對於連續素數的間距問題提出了新見解。雖然歐幾里得證明了素數永不枯竭，但正如高斯所見，越是通向數的宇宙深處，素數就越稀少。黎曼猜測，素數隨機分佈於所有的數中。隨機性往往將事物集中在一起。你等一輛公交車，結果兩輛一起出現。我們認為素數也是如此。

孿生素數猜想表明，雖然隨着計數的增加，素數會變得稀少，但我們始終會遇見間距為 2的兩個素數。例如 41和 43，或是 137和 139。這是最為相近的素數（2和 3 除外），這類數被稱為孿生素數。截至 2023 年，已知最大的一對孿生素數是

但這一猜想宣稱，還有無窮多對更大的孿生素數。

這一猜想至今未能得證。然而在 2013 年，求證之路已邁出關鍵的第一步。追根溯源，令人意外。

中國的拉馬努金

張益唐第一次聽説孿生素數猜想時，還在上海上學。他出生於 1955年，由外祖母，一個不識字的工廠工人撫養長大。他説：“那個年代很難找到上過大學的人，很難找到一本書。”他最終輟學了，靠着之前好不容易收集到的書自學。

“我為數學而生。”張益唐是這樣説的，“有好些年都過得不太容易，但我沒有放棄。我就是一直往前走，一直敦促自己。最重要的是好奇心，它讓數學成了我生命裏不可或缺的一部分。”

1985 年，張益唐前往美國，來到普渡大學讀博。在攻讀數學期間，為了養活自己，他到處打零工，還在當地的一家賽百味幹過一段時間。最終，在國內大學同學的幫助下，他在新罕布什爾大學找到了一份教職。他始終惦念着在上海上學時瞭解到的素數問題，尤其是關於素數間距的挑戰。但他的研究並無進展。直到 2012年，他已經很多年沒有發表過任何原創內容了。他決定休息一段時間，於是動身前往科羅拉多，去觀看朋友指揮的音樂會。“我是真的要度假，”他説，“我沒有帶任何書、本子、紙張，或是計算機。我都沒有動過筆。”

演出當晚，前往會場之前，他去朋友家的花園裏看鹿。不過，一旦被素數問題抓住，就很難忽視它。“有時候鹿很多，”他説，“但我一隻也沒瞧見，不過我有了思路。”他最終明白了該如何求證有無窮多對素數。他的素數間距沒有孿生素數猜想説的那麼小，但還是有界的。

要思考孿生素數問題，你可以在數軸上想象出一扇窗户，透過它，能看到三個連續的數。當這扇窗户在數的宇宙中向上移動時，由孿生素數猜想可知，我們可以無限次透過窗户看到兩個素數。張益唐證出，如果窗口變大，能夠看到 7000萬個連續的數，那麼，當你將窗户向上移動時，就會無限次看到兩個素數。

這麼大一扇窗户似乎不足為奇，但是請注意，高斯已經證出，隨着計數增加，素數會愈發稀少。因此，要想看到兩個連續的素數，窗口也須變大。當我們放眼無窮多個數，查看一個沒有盡頭的數集時，7000 萬量級的窗口很快就會顯得非常小。透過一扇給定尺寸的窗户，能無限次看到兩個素數，這一事實令人驚歎，值得一證。

張益唐明白，如果他的證明是正確的，將會震驚素數界，這也意味着他的證明會經受嚴苛的審查。他曾試圖發表蘭道-西格爾零點猜想的證明，那是黎曼假設的弱化版。但那篇論文被駁回了，因為存在問題。現在有了新證明，他必須確保萬無一失。他説：“我告訴自己，我需要特別仔細，要反覆檢查所有內容。這就花了很長時間。”

問題是，他在素數圈默默無聞，也沒有任何成果。一篇論文的元數據——包括作者是誰，在哪裏擔任教授——給人留下的第一印象十分重要，就像我們喜歡依據封面評判一本書。自 2001年就再未發表過論文的張益唐只能讓封面下的證明來説話。

2013年 4月，他向《數學年刊》提交了自己的論文，當初安德魯·懷爾斯就是在這份刊物上發表了費馬大定理的證明。一般來説，論文需要經過數年的審查，才能被接受發表。但張益唐的證明確實讓人耳目一新。一個月內，論文就被接受了。他的成果令編輯們讚歎不已，新證明的消息傳開了，甚至傳到了《紐約時報》。張益唐開始受邀去各地演講，去介紹他的偉大突破，包括去普林斯頓高等研究院。

正如彼得·薩納克所評：“他不是那種之前就有很多成果的人。沒人知道他。多虧了評審過程，在報社聽到消息之前，研究院裏就傳開了。”

數學真美好。你可以是班裏最安靜的小孩、無名小輩、馬德拉斯的職員、就職於末流美國大學的賽百味前職工，只要你的證明是正確的，數學就會為你説話。

張益唐的論文是從素數賽道衝向終點線的一大步。他的成果震驚了素數圈，為素數間距問題開啓了新思路的閘門。緊隨張益唐之後，又一篇論文的作者令人相當好奇。這是一位初出茅廬的新人。

新布爾巴基

數學家們在挑戰黎曼假設或是費馬大定理這樣的問題時，總是各自為戰。將某個標誌性難題的證明冠以自己的名字一直被視為極大的榮譽。為證明費馬大定理，安德魯·懷爾斯在閣樓上奮鬥了七年。為免共享榮譽，他沒有讓任何人知道自己在研究什麼。鑑於懷爾斯多年來少有成果，許多人以為他已智盡能索。最終，他確實需要合作者理查德·泰勒（Richard Taylor）的幫助，才彌補了他在劍橋宣佈證明後出現的漏洞。

不過，這種獨自攻克難題的方法是否有效呢？數學家們有時也會尋求合作。“哈代與李特爾伍德”遠比“哈代或李特爾伍德”戰力更強。但你很少會見到大型數學科研團隊展開合作。

來自劍橋的菲爾茲獎獲得者蒂莫西·高爾斯並不認同孤軍奮戰能夠取得最佳成果。維基百科等令人驚歎的協作成果讓高爾斯深受啓發，他認為，大規模合作必將更為有效地推進研究進程。數學界難道不能發揮好互聯網新時代的價值，讓溝通便利的數學家們在線攜手共進嗎？其他科學領域正是藉此推出了極為成功的公眾科學項目，讓業餘科學家協同研究。在牛津大學，“星系動物園”（Galaxy Zoo）項目邀請天文愛好者參與星系圖片的分類，最終發現了一座全新的星系，我們稱之為綠豌豆（green pea）。Foldit是華盛頓大學開發的一款公眾科學計算機遊戲，旨在探索蛋白質的摺疊，這或許是理解痴呆等退行性疾病的關鍵。

高爾斯開始好奇，他能否藉助自己的熱門博客為數學做出同樣的貢獻。“博學項目”（Polymath Project）應運而生，旨在通過建立大型數學家團隊，協同解決數學問題，任何人都可參與。人們不再秘密工作，等到完成證明，方才宣佈，而是可以即時跟進，眼見證明初步形成，走過彎道，途經盲區，最終得證。該項目需要參與者做好冒險的準備，公開嘗試或將無功而返的構思。正如高爾斯後來所寫：“當參與者們靠近答案時，有起有伏，還有真實的緊張。誰能猜到，一個數學項目的日誌讀起來就像是驚險小説呢？”

高爾斯提出的第一項挑戰是找到某個組合數學問題的初等證明，而組合數學正是他的研究領域。自 2009年 2月 1日發佈挑戰後，項目開始緩慢推進。7 小時後，來自加拿大不列顛哥倫比亞大學的一位數學家表示感興趣。又過了 15分鐘，來自美國亞利桑那州的一位高中教師加入對話。3分鐘後，數學界的重量級人物、菲爾茲獎得主陶哲軒（Terence Tao）提出了一些想法。

從這一刻起，進程開始加速。接下來的 37天裏，有 27人貢獻了大約800條實質性評論，共計 17萬字，構建出了一條新證明。高爾斯認為，這是獨自研究五年才能取得的成果，如今僅在一個多月內就完成了。

不得不説，這並非真正的公眾科學。參與這樣高難度的數學研究，門檻極高。這 27位合作者大多是知名數學家。儘管如此，一個證明由眾多專業數學家共同完成，即便不是聞所未聞，也是罕見的新鮮事。高爾斯證明了大規模在線協同研究的概念是可行的。

陶哲軒非常喜歡這種方式，在“博學項目”啓動後的幾年裏，他提供了許多問題和思路。2004 年，陶哲軒將自己的名字寫入了素數領域，他與英國數學家本·格林（Ben Green）宣佈了一個證明，這一發現與算術級數中的素數有關。有時你會得到一串間隔相同的素數。例如，如果我從素數 5開始，一直加 6，就能得到五個素數：5, 11, 17, 23, 29。這些素數被稱為算術級數中的素數。但遺憾的是，下一個數 35並非素數。這類素數數列可以有多長呢？能否無限長呢？

2004 年的紀錄是連續出現 23 個素數，間隔為 44 546 738 095 860。陶哲軒與格林能夠證明，一組等差素數數列可以是任意長度的。不僅如此，每種固定長度的等差數列可以有無窮多個。這一驚人的發現令陶哲軒在 2006 年榮獲菲爾茲獎。這並非他唯一的突破。正如頒獎詞所説，他在眾多數學領域中都做出了重要貢獻，不單單是數論。高爾斯評論説：“據説大衞·希爾伯特是最後一位通曉一切數學知識的人，但要想發現陶哲軒的知識空白並不容易。如果你真的找到了，那麼你很可能會在一年後發現，這一空白已被填補。”

陶哲軒的許多論文都是與人合作完成的，他喜歡和其他數學家合作，因而被譽為當代保羅·埃爾德什。10 歲時，他在一場數學活動上遇見了埃爾德什。他還記得這位匈牙利人沒有俯視他，而是將他視為數學同人。事實上，10歲的他很可能真的已經是數學家了。正因為陶哲軒熱衷於合作，所以高爾斯的“博學項目”特別吸引他。

當張益唐宣佈完他的素數間距證明後，陶哲軒建議“博學項目”接受挑戰，將間距 7000萬縮減至更小。誰知道呢，也許他們能將間距縮小至孿生素數猜想提出的 2。藉助“博學項目”的博客與維基界面，經過幾個月的密集工作，這支團隊成功將 7000萬縮小至 4680。然而，就在他們開始撰寫成果時，另一條獨立突破的消息在數學界傳播開來。

帶着禮物的智者

英國數學家詹姆斯·梅納德（James Maynard）曾被幾位同事告誡，要遠離素數。正如哈代曾言：“每個笨蛋都能提出智者無法回答的素數問題。”然而，早在 2013年，梅納德剛剛在牛津完成博士學位之際，他還沒有學會害怕素數。他決定在第一段博士後期間研究素數間距問題。這一無畏的態度得到了回報。

梅納德採用了與張益唐截然不同的方式，並在 2013年 11月宣佈，他已成功將素數間距縮小到了 600。如果這一發現能夠提前六個月，那麼，因為在孿生素數猜想上取得突破而功成名就的便不會是張益唐，而是他了。儘管如此，梅納德提出的方法以及他所取得的更小間距都令素數圈興奮不已。“博學項目”團隊特意停下了腳步，決定看看，如果結合梅納德的方法，能否進一步縮小間距。果然，兩相結合後，間距被縮小至 246，至今保持着紀錄。

梅納德嚐到了素數的甜頭，而這一成果只是一系列新見解中的第一個。不同於他所證明的相近素數，他還證出素數的間距也可以很大。高斯關於素數會變得稀少的發現表明，素數 p與下一個素數的平均間距應為 p的對數。例如，360169 是一個素數。360169 的對數約為 12.8，果然，下一個素數是 360181，間距為 12。孿生素數猜想斷言，存在無窮多對素數的間距小至 2。例如，素數 360287加 2之後是它的孿生素數 360289。但間距有時也會遠超平均值。素數 360653 需加 96 才能得到下一個素數 360749。據説間距有時會和 log p的平方一樣大（同前文註釋所述，此處log p指ln p，後面指的也都是自然對數。——編者注），但要求證這一點還有很遠的路要走。

2014年，梅納德證出，對於任意數 x，都存在小於 x的連續素數對，它們的間距大於下面這個可怕的公式的值：

與此同時（實際上僅相差一天），陶哲軒與包括本·格林在內的三位合作者宣佈了以不同方法取得的同一成果。陶哲軒與梅納德的成果如此同步，以至於陶哲軒曾經笑稱，自己最近變得有些偏執。再度取得突破時，他的第一個念頭是：我真希望梅納德這回可別再搶佔先機了。

梅納德的公式中有如此多的對數，以至於讓我想起了最愛的數學笑話：溺水的數論家會説什麼？ Loglogloglog……這個證明印證了埃爾德什關於素數間距的直覺，我們在第七章提到過。這位匈牙利人曾經疑惑是否有人能證出這一結果，併為這一問題的解答提供了他的第二項大獎：1 萬美元。儘管埃爾德什沒能在生前見證這兩條獨立的證明，但他的一位長期合作者羅納德·格雷厄姆（Ronald Graham）主動支付了這筆獎金。即便對數學家而言，這一公式也是相當可怕的，不過梅納德的另一項素數貢獻則通過了哈代的簡潔性測試。

2016年，梅納德證出，有無窮多個素數不包含數字7。這一數列從 2,3,5,11,13,19,23,29 開始，這麼多的素數里都沒有一個7。但是，隨着計數增加，是否總能遇見不含 7的素數，這一點還不得而知。畢竟，隨着計數增加，數的位數也在增加，避開 7就會越來越難。想象一個千萬位的素數，你平均會遇見一百萬個7，真的還能找到一個沒有 7的素數嗎？梅納德的構想表明，這是可能的。數字7並無特別之處。他證出，存在無窮多個不包含任意數字的素數。憑藉對素數的非凡領悟，這位牛津大學教授在 2022 年贏得了數學界最高榮譽菲爾茲獎。他的下一項突破會是什麼呢？我們都拭目以待。

自本書首次出版，迄今已有二十年，這部史詩般的交響樂又添加了一個重要樂章。新一代的數學之星正為這些詭秘莫測的數提供見解。過去二十年中，素數領域的研究成果異常豐碩，部分是因為互聯網讓數學家們得以廣泛合作，再者也是因為我們有幸擁有這樣一羣令人振奮的數學新秀。然而，黎曼假設這一重要問題仍然遙不可及。本書的最後一個和絃依然等待着被聽見。

馬庫斯·杜·索托伊

2023年 1月於英國牛津

作者簡介

馬庫斯·杜·索托伊（Marcus du Sautoy）

牛津大學數學教授、西蒙義講座教授，英國工程暨物理研究委員會研究員，英國皇家學會研究員。他是BBC科普節目嘉賓、TED演講嘉賓，《泰晤士報》和《衞報》專欄作家，曾獲倫敦數學學會的貝維克獎、大英帝國官佐勳章。他的科普著作《神奇的數學：牛津教授給青少年的講座》深受讀者喜愛。

特 別 提 示

1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單“精品專欄“，可查閲不同主題系列科普文章。

2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號，回覆四位數組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。