“玩轉”拓撲，“破解”混沌—敬賀史蒂芬·斯梅爾教授九十五華誕_風聞

2025年7月15日是著名數學家史蒂芬・斯梅爾教授95歲生日。斯梅爾教授是橫跨拓撲學、動力系統與混沌理論等多領域的巨匠。1966年，他因證明n≥5廣義龐加萊猜想獲得菲爾茲獎；他發展的馬蹄映射理論成為了分析動力系統中混沌現象的重要工具；此外，他還在數學經濟學、計算與複雜性理論等領域取得重要成果；2007年獲得沃爾夫數學獎，表彰其在以上領域中做出的開創性貢獻。他的人生，既是一部數學分支領域的開拓史，也是一段充滿跨界勇氣與純粹熱愛的傳奇。作者謹撰此文，以表達對這位數學巨擘的崇高敬意與真情愛戴。

撰文 | 陳關榮

適逢史蒂芬·斯梅爾（Stephen Smale，1930.7.15-）教授九十五華誕之際，謹撰此文，以表達對這位數學巨擘的崇高敬意與真情愛戴。

斯梅爾於1995年從美國加州大學伯克利分校榮休，隨後加入香港城市大學任職傑出大學教授，直至2001年。我在1999年底加入香港城市大學，成為他的同事和朋友。

2002年，斯梅爾離開香港城市大學，前往芝加哥豐田（Toyota）技術研究所擔任教授，在那裏工作到2009年。之後，他返回香港城市大學，工作直至2016年。斯梅爾於2016年正式退休，帶着終身榮譽教授的稱號回到加州伯克利家中定居。

在香港城市大學期間，我們經常見面，關係也逐漸變得密切。我幾乎每個工作天早上都到工學院辦公室喝杯咖啡，順便到走廊對面他的辦公室看望他，簡短地聊一會。我們還多次週末在香港一起去徒步登山，常常會有幾位同事和學生同行。2010年4月，我安排了一次只與他一人前往北京的特別行程，訪問了中國科學院、北京大學和清華大學，在那裏他分別做了學術報告和研討會發言。

通過平日經常性的隨意交談，我對斯梅爾的個人經歷和學術貢獻有了更多瞭解。不過，斯梅爾並不是特別善談的人。因此，這篇短文中對他的生平和成就的概述，主要是基於多年來我閲讀過關於他的諸多資料，內容自然並不十分完整和準確。

雖然我對斯梅爾的瞭解很有限，但是我非常榮幸能夠在2025年7月15日前夕，為慶祝他的95歲生日寫下這篇簡短的敬辭。

第一部分

斯梅爾的職業生涯與主要成就

斯梅爾於1930年7月15日出生在美國密歇根州弗林特（Flint）市。他於1952年獲得學士學位，1953年獲碩士學位，1957年獲數學博士學位——全部都在密歇根大學完成。他的博士論文題為《黎曼流形上的正則曲線》，在哈斯勒·惠特尼（Hassler Whitney，1907–1989）的一些分析結果的基礎上，將平面上的正則閉合曲線推廣到n維流形上。

斯梅爾的學術生涯始於1956年至1958年在芝加哥大學擔任講師。1958年，他證明了一個著名的定理：在三維空間中的2-球面可以通過內插變換作向內“翻轉”——這是拓撲學中的一項突破性成果。1958–1959年，他在普林斯頓高等研究院工作，在那裏他發展了與動力系統相關的莫爾斯（Morse）不等式的重要結果。

1959-1960年，斯梅爾獲得國家科學基金會（NSF）博士後獎學金，用於1960年1月至6月到巴西里約熱內盧的純粹與應用數學研究所訪問。在此期間，他在混沌理論中建立了關於馬蹄映射的嚴格數學理論。此外，他證明了所有n≥5維的廣義龐加萊猜想，做出了一個劃時代的貢獻——這一成果於1961年發表。這個猜想由法國數學家昂利·龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854–1912）提出，是20世紀最著名的數學難題之一。斯梅爾的奠基性貢獻讓他在1966年獲得了菲爾茲獎，獲獎理由是：他證明了在n≥5維的廣義龐加萊猜想：“每個單連通閉合的、同倫等價於n維球面的n維流形，都與該n維球面拓撲同胚。”

此外，1962年，斯梅爾將h-半同調定理推廣到高維流形。1965年，他將著名的莫爾斯-薩爾定理關於光滑函數臨界值的內容推廣到無限維巴拿赫空間中的廣義非線性映射中，極大地影響了拓撲學和動力系統研究的發展。

在1960年代後期，斯梅爾基於早期的成功經驗，逐漸將研究重心轉向更偏應用的領域。隨後幾年，他將數學理論擴展到經濟學、天體力學、電路理論、生物學、免疫學等多個科學領域。

2007年，斯梅爾獲得了沃爾夫數學獎，表彰他在微分拓撲、動力系統、數學經濟學等領域的傑出貢獻。

斯梅爾在其職業生涯中曾在多個著名機構任職。他先在加州大學伯克利分校任副教授（1960–1961），然後在哥倫比亞大學任正教授（1961–1964），隨後又回到伯克利任正教授，直到1995年退休。如前所述，1996年起他作為傑出大學教授入職香港城市大學。2002年，他離開香港，到芝加哥豐田技術研究所任教授，直到2009年。之後，他再次回到香港城市大學，繼續擔任傑出大學教授。2016年他86歲時完全退休，保留着香港城市大學終身榮譽教授的頭銜，回到加州伯克利家中定居。

第二部分

斯梅爾在數學方面的主要貢獻

在本文極短的篇幅之內，幾乎不可能完整描述斯梅爾在數學上的奠基性貢獻。不過，我基於個人有限的信息，盡力提供一份我認為是他最重要的學術成就的簡要概述。

微分拓撲學

1958年，斯梅爾瞭解到亞歷山大·安德羅諾夫（Aleksandr A. Andronov，1901–1952）和列夫·龐特里亞金（Lev S. Pontryagin，1908–1988）關於動力系統結構穩定性的研究，便嘗試用拓撲學方法去研究那些問題。該研究促成了著名的莫爾斯–斯梅爾系統理論的建立，它揭示了一類結構穩定的光滑動力系統，其非遊蕩集由有限多個雙曲平衡點和雙曲週期軌道組成，並且其穩定流形和不穩定流形均滿足橫截條件。

1966年，斯梅爾在蘇聯莫斯科舉行的國際數學家大會上獲得菲爾茲獎，表彰他提供了高維龐加萊猜想的證明。這個高維版本的龐加萊猜想，説任何同倫等價於n維球面的封閉n維流形，實際上就是n維球面。當n=3時，這是經典的龐加萊猜想。斯梅爾證明了在n≥5維情況下的這個高維版本龐加萊猜想。他的證明基於莫爾斯理論，對之他曾作出過重要貢獻。莫爾斯理論允許通過研究流形上的可微函數去分析其拓撲結構。1982年，邁克爾·弗裏德曼（Michael H. Freedman，1951–）證明了n=4的高維龐加萊猜想，因而獲得了1986年的菲爾茲獎。最終，格里戈裏·佩雷爾曼（Grigori Y. Perelman，1966–）證明了n=3的經典龐加萊猜想。不過，他拒絕了受領2006年的菲爾茲獎。除了菲爾茲獎外，斯梅爾還獲得了美國數學會頒發的1966年韋布倫（Veblen）幾何獎，表彰他在微分拓撲學多方面的貢獻。

動力系統與混沌理論

1960年代，斯梅爾在動力系統理論所作的貢獻對該研究領域產生了重大影響。

從1950年代末到1960年代初，受喬治·伯克霍夫（George D. Birkhoff，1884–1944）工作的啓發，斯梅爾發現了龐加萊的同宿點與動力系統基本性質之間的重要聯繫。同宿點為他提供了具有無數週期點的結構穩定系統的範例。斯梅爾發現，在這些系統中極小集與康託集同胚，可利用新的雙曲系統理論從穩定與不穩定流形的角度來進行分析。

1960年初，斯梅爾作為NSF博士後在巴西工作時，收到諾曼·萊文森（Norman Levinson，1912–1975）的一封信，指出存在非莫爾斯–斯梅爾系統的結構穩定系統。這一發現促使斯梅爾發展了馬蹄映射，描述了動力系統中的奇異吸引子——後來被認為是混沌系統的標誌。從此，馬蹄映射理論成為了分析動力系統中混沌現象的重要工具：它可以用來證明混沌的存在，包含無限多個週期軌道，以及對初始條件的敏感性。

1967年，斯梅爾發表了奠基性的文章“可微動力系統”，為混沌理論的嚴格數學分析提供了拓撲學基礎。1998年，他在《數學智者》（Mathematical Intelligencer）雜誌發表的文章“混沌：在里約海灘上發現了馬蹄映射”中回憶説：“我很幸運在里約遇到了三種不同動力學傳統的交匯點。”其中，這三種傳統指的是：蘇聯戈爾基（Gorki）學派關於非線性動力學的安德羅諾夫和龐特里亞金的工作；萊文森、瑪麗·卡特賴特（Mary L. Cartwright，1900–1998）和約翰·李特爾伍德（John L. Littlewood，1885–1977）關於範德波（van de Pol）振子的研究；以及龐加萊和伯克霍夫關於常微分方程定性理論的基礎工作。

具體而言，斯梅爾證明了存在橫切同宿點的微分同胚附近的雙曲不變集，其動力學與有限字符的移位具有同構關係。他還完成了龐加萊遺留的一個工作，建立了常微分方程與具有概率馬爾可夫過程的確定性映射之間的聯繫，證明了它們的軌道是不可區分的。這一工作最終導致了斯梅爾-伯克霍夫同宿定理的建立。

在此領域中，我作為《國際分岔與混沌雜誌》主編，在2017年有幸邀請到因迪卡·拉賈帕克薩（Indika Rajapakse，1980–）和斯梅爾在雜誌上發表他們的合作論文“叉型分岔”（The pitchfork bifurcation），其中提出了一種新的叉型分岔理論，減弱或取消了傳統分析中關於對稱性和三階導數的要求，加深了人們對動力系統中分岔現象的理解。

第三部分

斯梅爾在科學應用的數學基礎方面的主要貢獻

從1960年代末開始，斯梅爾在取得許多顯著數學成就之後，逐步將研究重心轉向多個應用科學領域，包括經濟學、天體力學、電路理論、生物學、免疫學、科學計算、機器學習及多智能體羣體模型等。他用動力系統理論對物理過程如n體問題和電路動力學進行建模並結合拓撲學理論和方法進行分析，深化了對這些學科的認識和理解。

數學經濟學

1968年，斯梅爾在加州大學伯克利分校遇到經濟學家傑拉德·德布魯（Gerard Debreu，1921–2004），雙方開展合作，探索經濟學中的數學理論。1970年代，斯梅爾專注於一般均衡理論，利用拓撲學和動力系統方法研究價格調整的動力學。他發表了一系列關於經濟動態均衡的論文，深入解釋均衡的結構，並提出了相關計算方法。

1983年，德布魯獲得諾貝爾經濟學獎。他特別強調，斯梅爾教會他應用的薩德（Sard）定理對其主要經濟理論的發展起到了關鍵作用。

1980年代，由諾貝爾經濟學獎得主和世界頂尖經濟學家們編輯的《數學經濟學手冊》三卷本中，斯梅爾被邀請撰寫了題為“大規模分析與經濟學”的章節，彰顯他在該領域的重要角色和貢獻。

計算理論

旨在融合理論計算機科學和數值分析技術，斯梅爾與萊諾·布魯姆（Lenore C. Blum，1942–）和邁克爾·舒布（Michael I. Shub，1943–）合作，提出了“布魯姆-舒布-斯梅爾機器”模型。這是一種分析函數可計算性的框架，用於研究在理論計算機科學中的算法和函數的可計算性問題。1998年，布魯姆、斯梅爾、舒布和胡安·庫克（Juan Felipe Cucker，1958–）合著了關於這一重要主題的第一本全面教材《複雜性和實數計算》（Complexity and Real Computation），展示了經典的基於圖靈機模型的複雜性理論不足以解決現代科學計算中的許多問題，並提出了適合實際應用的新的複雜性理論。在引言中，作者們指出：“本書的觀點是，圖靈模型（我們稱之為‘經典’模型）依賴於0和1，從根本上來説不足以為現代科學計算提供需要的基礎，因為現代科學計算中的大多數算法——源自牛頓、歐拉、高斯等人——都是實數算法。”在此基礎上，他們建立了嚴密的數學基礎，包括牛頓法、線性規劃的單純形法等計算方法的性能分析工具。

1995年夏天，斯梅爾在猶他州帕克（Park）城組織了為期一個月的計算理論研討會，旨在加強數學與數值分析的統一，縮小純粹數學與應用數學的距離。隨後，他創立了“計算數學基礎協會”並創辦了《計算數學基礎》雜誌。自2011年起，該協會每三年頒發一次“史蒂芬·斯梅爾獎”，以表彰年輕數學家在計算理論領域的傑出貢獻。

學習的數學理論

21世紀初，斯梅爾與庫克和周定軒（Ding-Xuan Zhou，1967–）合作，將學習理論在嚴密的數學框架內形式化。這一理論結合了逼近理論和數據驅動的統計學習，涉及兒童語言獲識、早期人類文化中的語言出現、製造工程中的傳感器設計以及圖像識別中的模式識別等多個領域。它的應用範圍廣泛，涵蓋認知心理學、動物行為、經濟決策和工程學等，特別是在理解大腦功能和人類思維過程方面。

斯梅爾應用動力系統的結構穩定性理論，研究學習過程如何收斂到穩定解，以及迭代學習算法的表現。他與合作者還分析了神經網絡的結構，以及特定函數逼近任意連續函數的能力，揭示了不同學習模型的理論極限。他們還研究了梯度下降在無限維空間（如再生核希爾伯特空間）中的收斂性和穩定性。

此外，斯梅爾與托馬索·波焦（Tomaso Armando Poggio，1947–）合作，從神經科學角度着手，發展了嚴密的機器學習數學模型，極大推動了現代深度學習理論的發展。

2000年前後，斯梅爾與加州伯克利的博士生姚遠（Yuan Yao，1973–）合作，建立了動態學習理論的數學基礎，為現代機器學習中的神經網絡等模型和方法提供嚴格理論支持。

2010年前後，斯梅爾還利用Hodge理論特別是離散Hodge理論進行拓撲數據分析，研究點雲或單純形復形表示的數據。事實上，早在1980年代，斯梅爾已對線性規劃中的單純形方法的平均複雜度和計算性能分析作出過重要貢獻。

第四部分

斯梅爾的成就、獎項與榮譽

斯梅爾因其在拓撲學和微分幾何方面的開創性工作，包括對高維龐加萊猜想的證明和動力系統理論的發展，於1966年獲得菲爾茲獎。

2007年，他獲沃爾夫獎，表彰他在微分拓撲、動力系統、數學經濟學及其他數學領域的突破性貢獻。

1996年，他獲美國國家科學獎章，表彰他在基礎研究領域四十年的開創性工作，這些工作推動了純粹和應用數學的重大進展。

此外，他獲得多所大學的榮譽博士學位，包括華威大學（1974）、皇后大學（加拿大金斯頓，1987）、密歇根大學（1996）、巴黎皮埃爾和瑪麗居里大學（1997）、香港城市大學（1997）、羅斯托夫國立大學（1999）和熱那亞大學（2004）。

他還被授予多項學會榮譽會員，包括巴西純粹與應用數學研究所（1990）、都柏林三一數學會（1991）、莫斯科數學學會（1997）和倫敦數學學會（1998）。

除上述獎項，他還獲得美國數學會的韋布倫獎（1966）、美國數學協會的肖文內特獎（1988）、工業與應用數學學會的馮·諾伊曼獎（1989）和于爾根·莫澤獎（2005）。

更為重要的是，斯梅爾分別於1964年、1967年和1970年被選為巴西科學院、美國藝術與科學學院以及美國國家科學院院士。

最後提及，1973年，蘇聯科學院克里米亞天體物理台和應用天文學研究所將新發現的小行星命名為“斯梅爾行星”。

第五部分

斯梅爾的人生故事

斯梅爾的人生故事豐富多彩而激勵人心。這裏我只簡要地提及一些他的職業和個人生活的片段。

社會和政治活動

1960年代，斯梅爾積極參與社會政治事務，支持民權運動，反對越南戰爭，參加抗議和示威，呼籲種族平等與世界和平。

1966年，在蘇聯莫斯科舉行的國際數學大會上，斯梅爾獲得菲爾茲獎。他在大會演講中，公開地同時批評了美國和蘇聯在和平與民主化方面的問題和麪臨的挑戰。

1998年，斯梅爾在《數學智者》雜誌發表了一篇眾所周知的有趣文章“混沌：在里約海灘上發現了馬蹄映射”，回憶了他在美國國家科學基金會（NSF）博士後基金資助下訪問巴西期間的挫折與衝突，以及他在巴西研究期間如何受到啓發，提出混沌理論中的馬蹄映射這一基礎概念的經歷。

一些個人生活趣事

斯梅爾畢生經常使用圖書館，尤其是在早期研究過程中。然而，我曾驚訝地發現，他在香港城市大學的辦公室書架上沒有任何書籍，只有一大堆手稿。我沒有直接問他原因，因為我想到1966年與他共同獲得菲爾茲獎的亞歷山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendiec，1928–2014）在被人問到他在法國高等科學研究所（IHÉS）裏的辦公室為何不放書籍時回答説：“我們不看書；我們寫書。”

斯梅爾熱愛徒步登山，多年來也是一位出色的帆船運動員。我在香港期間，曾多次與他一起去登山；他精力充沛，活動中總是由他帶領我們團隊穿山越野。

最為有趣的是，他收集珍藏了一批世界上最精美的水晶石。在多次對公眾開放的展覽中，他展示了收藏的一些寶石和自己拍攝的珍貴照片。他收藏的各種漂亮水晶石可以從他編輯出版的《斯梅爾收藏：天然水晶的美麗》一書中看到。

啓示性的學習體驗

在學習和研究數學的過程中，我常常受到斯梅爾思維的啓發。他説：“至少在我個人看來，理解數學不是靠閲讀或聽講，而是靠重新思考自己所看到或聽到的內容。我必須在自己的知識背景下重新整理數學。這背景由許多線索組成，有強有弱。我的幾何分析背景較強，但跟隨數學公式去思考讓我吃力。相較之下，我理解一個論證的速度比大多數數學家都慢。當我用自己的方式重新組織數學內容時，而不是在此之前，我才會真正理解它。”

二十一世紀的十八個數學難題

1998年，斯梅爾列出了“二十一世紀的十八個數學難題”：

黎曼猜想；龐加萊猜想；P = NP是否成立；單變量多項式的整數零點；丟番圖曲線高度的界；天體力學中相對平衡狀態數量的有限性；二維球面上點的分佈；動力學引入經濟學理論；強多項式時間的線性規劃解法；封閉引理；一維動力系統一般是否為雙曲型；微分同胚的中心化子；希爾伯特第十六問題；洛倫茲吸引子；納維-斯托克斯方程；雅可比猜想；解多項式方程組；智能的極限。

其中一些難題近期已被完全或部分解決。

結語

最後，我想提及，斯梅爾在加州伯克利的博士生宣曉華（Michael Xiaohua Xuan，1963-）創立了華院計算技術（上海）股份有限公司（UniDT），並建立了“斯梅爾數學與計算研究院”，專注於計算基礎理論和算法的研究。斯梅爾任該研究院名譽主席，我也很榮幸成為其成員之一。

能在這裏寫篇小品表達我對這位卓越人物的敬意，我深感榮幸。斯梅爾的智慧與善良，總是在激勵着我，也激勵着所有認識他的人。

在此，願2025年7月15日成為斯梅爾生命中充滿喜悦與幸福的特殊日子。

筆者與斯梅爾在香港城市大學他的辦公室內合影丨攝於2015年12月11日

本文經授權轉載自微信公眾號“華院計算”，原題目為《陳關榮｜敬賀史蒂芬·斯梅爾教授九十五華誕》，

本文英文版下載地址：

A Tribute to Professor Stephen Smale on His 95th Birthday.pd

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