創立廣義相對論的艱辛路：愛因斯坦曾在物理與數學之間搖擺不定_風聞

2025年是廣義相對論誕生110週年。愛因斯坦在廣義相對論中展現出的物理直覺與數學推演的完美結合，成為現代科學探索的典範。這一理論不僅改變了我們對宇宙的認知，更昭示着科學追求背後的理性與想象力。

撰文 | 方在慶（華東師範大學歷史學系、中國科學院自然科學史所）

2025 年是愛因斯坦廣義相對論誕生110 週年。廣義相對論被廣泛認為是人類認知自然界的最偉大成就之一。正如玻恩所言，廣義相對論“將哲學的深邃、物理學的直觀和數學的技藝令人驚歎地結合在一起”。一般來説，一個新理論的出現往往是由於舊理論在實驗上遭遇反例，或是與其他理論不一致。然而，廣義相對論的誕生歷史似乎修正了這一傳統觀點。首先，廣義相對論的提出並非源於迫切的經驗性問題。雖然水星近日點的進動問題曾引起關注，但這一現象並未被普遍視為重大困擾，且當時學術界通過其他方式對其進行了勉強的解釋。在此背景下，牛頓引力理論依然穩固，而未出現其他引力理論來挑戰其地位。那麼，愛因斯坦的廣義相對論究竟是基於何種動因而提出的？

廣義相對論源於狹義相對論。狹義相對論基於兩個基本原理：相對性原理和光速不變原理。提出狹義相對論後，愛因斯坦意識到其侷限性，並指出：“狹義相對論在理論上是不完全令人滿意的，因為它賦予勻速運動以特殊地位”。他認為，賦予慣性系特殊地位既在認識論上不合理，也不符合美學原則。因此，愛因斯坦將相對性原理推廣至任意參考系，提出了“廣義相對性原理”，即“所有參考物體，無論其運動狀態如何，描述自然現象時 (即表述普遍自然界定律) 是等效的”。

這一擴展並未完全解決問題。在已知的兩種力——電磁力和引力——中，電磁學與狹義相對論不衝突，但引力卻難以融入其中。根據牛頓的理論，引力是瞬時的超距作用，而光速不變原理要求任何物理效應的傳播速度不能超過光速。如何調和兩者之間的矛盾，成為愛因斯坦急需解決的難題。通過思考，愛因斯坦認識到引力與加速度之間的內在聯繫，為廣義相對論的進一步發展奠定了基礎。

1907 年，愛因斯坦提出了等效原理，進一步推廣了相對性原理；1912 年，他意識到時空度規的非歐幾何性質，進而引入了度規張量；1913 年，他與格羅斯曼合作，提出了“綱要理論”；到1915 年，他最終完成了場方程的推導。整個過程持續了八年，儘管歷經曲折，最終成功的關鍵在於愛因斯坦與許多人的合作和討論，尤其是與競爭者希爾伯特的互動。在最後階段，希爾伯特對理論的推動起到了重要作用。如果沒有同行的幫助和競爭者的存在，廣義相對論的完成可能還會推遲。

在這一理論發展的過程中，愛因斯坦急於通過天文觀測驗證尚未成熟的理論，甚至不惜自掏腰包。同時，他的個人生活經歷了重大變化，從瑞士聯邦專利局的二級職員晉升為國際科學界的重要成員，並在第一次世界大戰前夕被邀請加入柏林科學界。這一時期，愛因斯坦不僅要應對科學上的挑戰，還要應對戰爭的風暴。他的廣義相對論之路正是在這樣的複雜背景中展開的。

01

等效原理的頓悟與廣義相對論的萌芽

廣義相對論的基石之一是等效原理，它宣稱局部引力效應與加速度效應是等價的，即任何自由下落的參考系與非加速參考系在物理實驗上無法區分。愛因斯坦於1907 年通過一系列思考和思想實驗，得出了這一原理的初步結論。他的頓悟過程始於他在伯爾尼專利局的日常工作，尤其是在思考掉落物體的加速度時。通過設想，如果觀察物體在一個大加速的框架中，它將展現出類似引力場的行為，從而導出了等效原理的核心思想。他回憶道：“假如一個人自由落下，他不會感覺到自己的重量。這一簡單的思想打動了我，並引領我走向引力的研究。”這個領悟成為他“一生中最快樂的思想”並開啓了廣義相對論的長達八年的發展歷程。

從伽利略時代開始，人們就認識到引力質量與慣性質量相等，但對其內在機制一直未深入探討。愛因斯坦認為，物體的相同性質在不同情境下表現為“慣性”或“重量”，並將這一認識與等效原理結合，提出了新的引力觀念。

等效原理的一個核心實驗設想是：設想一個封閉的升降機在外太空加速向上運動，升降機內部的人會感受到向下的力，源自慣性質量；而如果升降機靜止於引力場中，感受到的力則源自引力質量。愛因斯坦認為，慣性質量和引力質量總是相等的，且在封閉的參考系中，無法通過實驗判斷一個系統是否在加速，還是靜止於引力場中。正如他所説：“引力的引入粉碎了慣性系的概念”。1913 年，愛因斯坦在德意志自然科學家和醫生協會年會上進一步闡述了等效原理，並通過思想實驗強調：加速的實驗室與均勻引力場中的物理現象是等價的。換言之，在一個封閉的房間裏，無法做實驗區分是處於引力場還是加速運動中。

等效原理的提出為廣義相對論的進一步發展奠定了基礎，它標誌着從牛頓引力學到新思維模式的過渡，即將引力視為時空的彎曲，而非傳統的力學作用力。

02

與格羅斯曼合作：非歐幾何的引入

大約在1912 年夏，愛因斯坦意識到相對論的數學問題與高斯曲面幾何之間的相似性，從而得出結論：引力場不能用標量勢描述，必須用十分量的度規張量來表示。這一突破性思路為廣義相對論的形成奠定了基礎。在此過程中，愛因斯坦受到他的朋友埃倫費斯特提出的“埃倫費斯特悖論”啓發。該悖論原本討論的是狹義相對論中的剛性圓盤轉動問題，表明旋轉圓盤由於相對論效應而發生形變，空間不再遵循歐幾里得幾何的規律，從而暗示了彎曲空間的必要性。

1912 年8 月，愛因斯坦回到蘇黎世聯邦工業大學任教，並開始向數學教授格羅斯曼請教相關數學問題。在格羅斯曼的幫助下，愛因斯坦深入學習了張量理論，並掌握了由克里斯托費爾發起，裏奇-庫爾巴斯特羅和列維-奇維塔等人發展起來的絕對微分學工具。1913 年，愛因斯坦與格羅斯曼共同發表了《廣義相對論和引力理論綱要》一文，首次嘗試結合新的物理理念與數學工具，提出引力場由度規張量描述，引力對物理過程的影響由廣義協變方程表述。儘管這篇“綱要理論”與最終的廣義相對論在理論框架上有諸多相似之處，但在數學推導和物理驗證上仍顯不完備。

在1912 年10 月29 日給索末菲的信中，愛因斯坦表示，他對引力問題的研究取得了顯著進展，且自己對數學的專注程度前所未有，認為早期的相對論成果與當前的研究相比“不過是兒戲”。儘管如此，愛因斯坦和格羅斯曼在“綱要理論”中未能解決如轉動系與靜止系的等價性等關鍵問題，也未能準確預測水星近日點的進動。然而，這段合作為廣義相對論的最終完成奠定了重要基礎。

“綱要理論”與兩年多後愛因斯坦發佈的最終理論相似之處顯著：引力場由度規張量表示，引力對物理過程的影響由廣義協變方程表達。然而，理論中的若干問題依舊未解，其中包括未能建立起一個廣義協變的框架，且無法確定方程是否適用於轉動參照系。此時，水星近日點的觀測結果與理論預測不符，愛因斯坦的理論也未能得到實驗證明。

根據保存下來的“蘇黎世日記”，愛因斯坦經常在物理理念與數學推導之間搖擺不定。有時為了保持守恆定律的要求，他會限制座標系的選擇；而為了維護因果性，他又放棄了廣義協變性的原則。儘管如此，愛因斯坦充滿信心地認為：“大自然只把獅子的尾巴顯露給我們，但我確信無疑，獅子是個龐然大物，尚不能立即全部顯露在我們眼前。我們見到的就像叮在獅子身上的蝨子所見到的一樣。”

1914 年春，愛因斯坦赴柏林工作後與格羅斯曼的合作告一段落。儘管早期合作未能完全解決理論中的問題，愛因斯坦始終對格羅斯曼充滿感激。1936 年格羅斯曼去世後，愛因斯坦在給他妻子的信中寫道：“沒有他的幫助，我雖不會死，但也會在精神上崩潰。”他還回憶起“10 年之後的狂熱合作”。在愛因斯坦去世前一個月，他還寫道與格羅斯曼的合作，説“我需要在自己在世時至少有一次機會來表達我對馬爾塞耳•格羅斯曼的感激之情……這個願望，給了我寫這篇……自傳草稿的勇氣。”

03

廣泛的學術爭論

愛因斯坦的廣義相對論的誕生離不開與當時其他科學家的廣泛爭論與合作。1912 年至1915 年間，愛因斯坦與德國物理學家亞伯拉罕、米以及芬蘭物理學家諾德斯特勒姆等人，就引力問題展開了深入的交流。

1912 年，諾德斯特勒姆提出了一個基於狹義相對論的標量引力理論。1913 年6 月底，諾德斯特勒姆訪問蘇黎世時，愛因斯坦與他進行了詳細討論。受此啓發，諾德斯特勒姆對自己的理論進行了修訂。愛因斯坦在維也納召開的德意志自然科學家學會第85 屆年會上，討論了諾德斯特勒姆的修訂理論，並與米、諾德斯特勒姆等人進行了激烈的辯論。愛因斯坦認識到，諾德斯特勒姆的理論是除“綱要理論”之外較為可信的一種選擇。儘管如此，他認為該理論無法解釋物體的慣性與周圍質量的引力效應之間的關係，因此仍不及他自己的“綱要理論”。愛因斯坦指出，唯一能驗證這兩種理論優劣的方式是通過日食觀測，特別是觀測那些靠近太陽的星體的光線偏轉情況。他期待1914 年的日食能為這一問題提供重要證據。

1914 年5 月，愛因斯坦與荷蘭物理學家福克爾合作，發表了一篇論文，嚴格遵守廣義協變性要求，探討了諾德斯特勒姆的引力理論。通過絕對微分運算和廣義協變性的要求，愛因斯坦及福克爾證明，諾德斯特勒姆的理論實際上只是愛因斯坦-格羅斯曼理論的一個特例，前者不包括光的彎曲，而後者則考慮了光的彎曲效應。這一結果進一步增強了愛因斯坦對自己理論的信心。

1915 年7 月，愛因斯坦應邀前往格丁根講學，在該地做了六次兩小時的講座，向數學家們介紹他的引力理論。這些報告在格丁根學派引發了廣泛討論，並促使一批頂尖數學家開始關注廣義相對論。在講學過程中，愛因斯坦不斷完善新的引力場方程。經過數月的深入思考與修正，他於1915 年11 月向普魯士科學院遞交了四篇論文，逐步推翻了此前的理論假設，併成功解釋了水星近日點的進動。這一突破性進展標誌着廣義相對論的理論框架趨於成熟。

到了1916 年，諾德斯特勒姆開始轉向廣義相對論的研究，並在翌年棄用了自己之前的理論，轉而研究愛因斯坦的廣義相對論。同年，曾是愛因斯坦“綱要理論”最嚴厲的批評者之一的米也開始接受並研究廣義相對論。由此，愛因斯坦的廣義相對論最終取得了廣泛的勝利，成為現代物理學的基石。

04

與希爾伯特的競爭與合作

1915 年，愛因斯坦提出了廣義相對論的完整方程，這一突破性理論的提出並非僅憑一人之力。與此同時，德國數學家大衞·希爾伯特也在獨立研究中得出了類似的方程。愛因斯坦與希爾伯特的關係既是合作也是競爭。儘管兩人在數學和物理背景上有所不同，最終愛因斯坦的理論因其深厚的物理基礎獲得了更廣泛的認可，而希爾伯特則對數學和純理論物理領域產生了深遠影響。

愛因斯坦在1915 年7 月格丁根的講學，不僅引起了學術界的廣泛關注，還吸引了希爾伯特的目光。作為當時數學界的領軍人物，希爾伯特對引力理論的數學結構表現出濃厚興趣，並迅速投入研究。他憑藉在變分法和微分方程領域的深厚造詣，開始從數學角度重新推導廣義相對論的場方程。

在1915 年11 月，希爾伯特獨立地得出了與愛因斯坦相似的場方程，並在11 月20 日向格丁根科學院提交了相關論文。這一成果不僅體現了希爾伯特卓越的數學才能，也讓他在這場競賽中幾乎與愛因斯坦同步完成了廣義相對論的核心方程。

在研究過程中，愛因斯坦和希爾伯特既保持着密切的學術交流，也在無形中展開了激烈競爭。這場競速促使兩位科學家都加快了研究步伐，同時也在數學和物理兩方面相互影響和啓發。儘管兩人的研究路徑不同，但最終指向了相似的理論框架，標誌着廣義相對論理論體系的最終確立。

儘管兩者的方程形式相似，愛因斯坦的理論更為清晰且具有物理意義，而希爾伯特則側重於其數學框架。這導致了科學史上一場關於誰先得到場方程的討論，儘管希爾伯特本人並未主張優先權。

最初，愛因斯坦的廣義相對論在德國物理學界並未獲得廣泛認可。普朗克和馮·勞厄等人對愛因斯坦的引力理論持懷疑態度。愛因斯坦曾在信中提到，德國物理學家對他的理論大多持否定態度，並且這些年長的學者“沒有自由的、不帶偏見的眼光”。儘管如此，愛因斯坦並未因此感到沮喪，反而認為同行的批判反而證明了他理論的價值。

在格丁根，愛因斯坦得到了極大的理解與支持，希爾伯特、克萊因、諾特等數學家對他產生了深刻的影響，並在他研究中提供了寶貴的靈感和支持。愛因斯坦在格丁根的成功演講，使他在此地受到了極高的評價，而希爾伯特也開始積極參與引力理論的研究。

愛因斯坦與希爾伯特的關係並非全然順利。在愛因斯坦得出最終的場方程後，他發現希爾伯特也得出了類似的結果，但希爾伯特並未在此之前向他説明其研究進展。愛因斯坦對此感到不滿，並在信中表露了自己的心情。然而，希爾伯特很快向愛因斯坦道歉，並解釋稱自己忘記了愛因斯坦在格丁根的報告。

1915 年12 月20 日，愛因斯坦給希爾伯特寫信，表示已經克服了內心的不愉快，並願意繼續保持良好的合作關係。他寫道：“在你我之間曾經出現過某種不和諧的狀況，但我已經完全克服了。”此後，兩人之間的隔閡得到消除，希爾伯特還幫助愛因斯坦的助手弗羅因德利希在格丁根大學找到工作。

1916 年3 月，愛因斯坦訪問格丁根大學，住在希爾伯特家中。在後來的歲月中，希爾伯特在格丁根大學的課程中專門講授了愛因斯坦的廣義相對論，並稱之為“愛因斯坦的最偉大的成就”。通過這種合作，廣義相對論的理論得到了進一步的傳播與發展。

05

廣義相對論的實驗驗證

廣義相對論提出後，面臨着嚴峻的實驗驗證挑戰。儘管愛因斯坦的理論在數學上精確且深刻，實際驗證的難度卻極大。早在1911 年6 月21 日，愛因斯坦便在提交給《物理學紀事》的論文中預言了光在經過太陽附近的引力場時會發生偏轉。愛因斯坦預測：“在太陽附近經過的光線將偏轉0.83 弧秒。由於日全食時，太陽附近的恆星可見，因此可以將這一預言與實際觀測進行對比。”他同時指出，驗證這一理論可能面臨技術挑戰，但強調如果光的偏轉不存在，那將證明這一理論的假設是錯誤的。

這一預言激發了年輕天文學家弗羅因德利希的興趣。遺憾的是，弗羅因德利希計劃在1914 年8 月21 日的日全食中進行觀測時，第一次世界大戰爆發，導致他被俄軍俘虜，觀測未能進行。幸運的是，這次觀測若按計劃進行，可能會得出比愛因斯坦預測值更大的偏差，因為愛因斯坦的預言值是1911 年預測值的兩倍。愛因斯坦曾表達過對驗證實驗的急切希望，並提醒，儘管該理論大膽，但如果光的偏轉無法測量出來，那麼這些假設就會被證明是錯誤的。

隨着技術的進步，廣義相對論終於在1919 年獲得了重要的實驗證據。英國天文學家愛丁頓在當年的日全食中進行了關鍵的觀測。他通過觀測太陽附近星光的彎曲現象，成功驗證了愛因斯坦關於引力透鏡效應的預言，為廣義相對論提供了強有力的實驗證據。

廣義相對論的建立，標誌着愛因斯坦在數學、物理與哲學領域的一次劃時代飛躍。這一理論不僅揭示了引力的幾何本質，還徹底改變了人類對時空、物質與運動的理解。通過等效原理、非歐幾何和張量分析，愛因斯坦成功將牛頓引力理論推廣到強引力場和高速運動的情境，為探索更深層次的宇宙規律奠定了基礎。

廣義相對論的影響遠超愛因斯坦時代。在理論物理領域，它催生了黑洞、引力波和宇宙膨脹模型的誕生，併為現代宇宙學和天體物理學提供了基本框架。愛因斯坦場方程不僅成功解釋了水星近日點的進動，還在之後的實驗驗證中屢屢獲勝，最終成為現代物理學的基石之一。

更重要的是，廣義相對論在科學哲學上的啓示同樣深遠。它不僅體現了物理學中數學形式與物理現實之間的高度統一，還展現了科學家在未知領域中敢於打破傳統、直面質疑的創造精神。這種基於邏輯推演與物理直覺相結合的方法論，深刻影響了後來的科學思維。

愛因斯坦在廣義相對論中展現出的物理直覺與數學推演的完美結合，成為現代科學探索的典範。這一理論不僅改變了我們對宇宙的認知，更昭示着科學追求背後的理性與想象力。正如愛因斯坦所言：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括着世界的一切。”在廣義相對論的偉大篇章中，這種想象力正是推動人類認知邊界不斷拓展的不竭動力。

本文經授權轉載自微信公眾號“現代物理知識雜誌”，選自《現代物理知識》2025年第2期，YWA編輯。

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