諾維科夫：莫斯科拓撲學派的中流砥柱_風聞

謝爾蓋·彼得羅維奇·諾維科夫是俄羅斯著名數學家，1970年菲爾茲獎獲得者，2005年沃爾夫數學獎獲得者。諾維科夫在拓撲學和數學物理學領域都做出了重大貢獻，推動了莫斯科拓撲學派的復興與發展。

撰文 | 張悦、徐乃楠、劉鵬飛

謝爾蓋·彼得羅維奇·諾維科夫 (Сергей Петрович Новиков) 是俄羅斯著名數學家，曾獲數學界最高獎菲爾茲獎、沃爾夫數學獎。他早期主要研究興趣是拓撲學，後將注意力轉向數學物理學。他對於莫斯科數學學派的復興與發展起到了至關重要的作用，是莫斯科拓撲學派的中流砥柱。

諾維科夫簡介

1938年3月20日，諾維科夫出生於蘇聯的高爾基市 (現為俄羅斯的下諾夫哥羅德市，因著名文豪高爾基出生於此，故1932-1990年間被稱為高爾基市)。

其父彼得·謝爾蓋維奇·諾維科夫 (П. С. Новиков) 是一位數學家，在數理邏輯、集合論方面都做出了重要貢獻。其母柳德米拉·弗謝沃洛多夫娜·克爾德什 (Л. В. Келдыш) 也是一位數學家，是幾何拓撲和集合論方面的傑出專家[1]。諾維科夫的舅舅姆斯季斯拉夫·弗謝沃洛多維奇·克爾德什 (М. В. Келдыш) 是蘇聯傑出的數學家和工程師，對複變函數理論、微分方程和空氣動力學的應用做出了重大貢獻，被譽為蘇聯“航天學的首席理論家”，是蘇聯太空計劃工作的領導人之一[2]。

諾維科夫的哥哥列昂尼德·韋尼阿米諾維奇·克爾德什 (Л. В. Келдыш) 是國際知名的固體物理學和凝聚態物理學理論專家。他的另一個哥哥安德烈·諾維科夫 (A. Новиков) 是代數數論領域的專家，但不幸早夭。他的兩個妹妹則從事數學以外的其他工作。

可以想見，諾維科夫在一個數學氛圍濃厚的家庭環境中長大，從小就在他父親的學生李雅普諾夫 (А. А. Ляпунов) 組織的兒童科學學會學習科學知識。1945-1955年，他在莫斯科第330中學接受教育，開始學習英語和拉丁語，同時他還一直在家學習德語。

諾維科夫在數學方面具有很高的天賦，13-14歲時就參加了數學奧林匹克競賽並取得了卓越的成績。儘管如此他也不確定自己是否要從事數學研究，因為在他看來家中已經有了許多數學家。直至17歲諾維科夫才決定從事數學研究，並於1955年考入莫斯科大學數學與力學系。本科期間，諾維科夫並沒有跟隨當時莫斯科大學研究實變函數論的熱潮，而是選擇當時國際上熱門的拓撲學，此後在老師波斯尼科夫 (М. М. Постников) 指導下掌握了大量現代拓撲思想。1960年諾維科夫順利獲得學士學位，同年考入斯捷克洛夫數學研究所成為一名研究生，並於1964年獲副博士學位。

1965年，諾維科夫因為證明了微分流形有理龐特里亞金示性類的拓撲不變性而名聲大噪，並獲理學博士學位。隨後他在莫斯科大學微分幾何系任教，同年被選為蘇聯科學院通訊院士。

1968年，蘇聯著名數理邏輯專家亞歷山大·謝爾蓋耶維奇·葉賽寧-沃爾平 (А. С. Есéнин-Вóльпин) 因政治問題在未經親屬知情和同意的情況下，被強行安置在精神病院。這一舉動引起蘇聯科學界不滿，包括數學家蓋爾範德 (И. М. Гельфанд)、諾維科夫在內的99名科學家聯名簽署公開信，要求釋放葉賽寧-沃爾平。這封公開信在英國廣播電台和美國之聲廣播播出後，全世界的輿論壓力迫使蘇聯領導人立即釋放了葉賽寧-沃爾平，但這也激怒了當局，為此蓋爾範德被迫辭去在莫斯科大學數學力學系的教學工作。諾維科夫也受到了影響，在1970年法國尼斯舉辦的國際數學家大會上諾維科夫被授予菲爾茲獎，然而卻被禁止參加頒獎典禮。

1971年，諾維科夫加入蘇聯科學院朗道理論物理研究所，將注意力轉向數學物理，緊密地同物理學家合作，為數學及理論物理之間架設橋樑。他研究的起點是1960年代後期發現非線性淺水波方程的孤立子解，諾維科夫出乎意料地把這類可積系統同代數幾何學聯繫起來，其後推廣到更為高階的KdV方程。他的研究對象不僅限於經典物理學，還有量子力學及場論等。

諾維科夫還致力於把拓撲與代數幾何思想滲透到物理學方面，為此他系統學習了物理教材上的全部理論，深入研究力學與理論物理學。其間諾維科夫相繼發表了多篇文章，並參與撰寫《現代幾何學——方法和應用》系列叢書。整套書內容包括張量分析、曲線和曲面幾何、一維和高維變分法 (第1卷)，微分流形的拓撲和幾何 (第2卷)，以及同調與上同調理論 (第3卷)，力求以直觀的語言從物理的視角闡述數學問題。

1981年，諾維科夫被選為蘇聯科學院院士。1985—1996年擔任莫斯科數學學會主席。1986—1990年擔任國際數學物理協會副主席。直到戈爾巴喬夫執政時期，諾維科夫才被允許出國進行國際學術交流。自1996年起，他一直在美國馬里蘭大學擔任教學工作，但與俄羅斯保持着密切的聯繫，仍在莫斯科大學、斯捷克洛夫數學研究所、朗道理論物理研究所擔任研究職務。

諾維科夫興趣廣泛，他也是一位敏鋭而博學的歷史愛好者。曾有人在希臘的克里特島目睹了一件有趣的事：一位年輕的高素質專業導遊因為諾維科夫在希臘歷史方面出眾的知識而感到非常尷尬[3]。

2024年6月6日，諾維科夫去世，享年86歲。

對拓撲學的貢獻

1950年左右是蘇聯拓撲學蓬勃發展的時期，特別是龐特里亞金 (Л. С. Понтрягин) 引進以他名字命名的示性類，將蘇聯的拓撲學研究推到一個新的高度。然而1952年，龐特里亞金徹底改變了他的研究方向，開始研究應用數學，特別是研究微分方程和控制理論。這就導致蘇聯拓撲學在龐特里亞金之後出現了一個較長時期的中斷。偏偏在這時，法國數學家特別是塞爾 (J. P. Serre) 和託姆 (R. Thom) 以及當時在法留學的吳文俊等人把拓撲學推向一個新高峯。

正值大學讀書的諾維科夫看出蘇聯數學研究中的這項空白，開始跟隨波斯尼科夫研究拓撲學。通過研究亞當斯 (J. F. Adams) 和託姆的作品，諾維科夫於1959年發表了第一篇文章《斯廷羅德代數的上同調》[4]，對於p>2的情況進一步發展了亞當斯計算穩定同倫羣的方法——“亞當斯譜序列”，找到球面的“長迭代”，並在有限域上霍普夫代數的同調中創造性地引入了斯廷羅德代數的類比概念，從而完備了霍普夫代數的計算。

諾維科夫隨後將其應用於計算定向復配邊環。1960年，諾維科夫發表在蘇聯科學院院刊上的《與託姆空間理論有關的流形拓撲中的一些問題》[5]，宣佈了定向配邊環2-撓模乘法結構的計算，此外他還將某些斯廷羅德代數上的上同調模所具有的霍普夫性質加以形式化，稱之為“餘代數”，並利用萬有託姆空間亞當斯譜序列的乘法性質，從而作為代數推導的一個初等推論計算出了復配邊環的結構[6]，這使得配邊思想得到了極大的發展。

拓撲學在1950年代進入了一個嶄新的時期，其標誌是1956年米爾諾 (J. W. Milnor) 發現一個7維微分流形，它拓撲同胚於7維球面S7，但不微分同胚於帶有微分結構的7維球面S7 。隨後研究拓撲流形上的微分結構與組合結構的存在性和唯一性、微分結構與組合結構間關係、拓撲流形在各種意義下的分類等問題，成為當時拓撲學界的中心議題，包括諾維科夫在內的許多拓撲學家都做出了重要貢獻，使這一課題得到了迅速發展，人們對微分流形和分片線性流形之間的區別以及它們的分類有了深刻的理解。

1961年，諾維科夫進一步推廣米爾諾的做法，成功將與給定流形同倫等價的維數不小於5的單連通流形在微分同胚下加以分類。1962年，美國數學家布勞德 (W. Browder) 在所有單連通復形中指出了具有閉流形的同倫型。二人最初的工作是為了解決不同的問題，並且是完全獨立進行的，但後來發現二人的方法極其相似，最終發展為現在所謂的諾維科夫-布勞德理論，可對給定的同倫類進行分類，也可以用來對組合流形與帶邊流形進行分類。

1965年，諾維科夫在蘇聯科學院院刊上發表的文章《有理龐特里亞金類的拓撲不變性》，分四個步驟使用具有自由阿貝爾基本羣的非單連通緊流形及其非緊緻泛覆蓋，證明了有理龐特里亞金類是拓撲不變的，也就是説，對光滑流形與分片線性流形作純粹的連續同胚之後它們保持不變。

事實上，這得益於諾維科夫在研究連續同胚時發現的一種新方法，這種方法基於龐特里亞金-希策布魯赫積分在流形某些特殊的“環體”區域上做局部化，在概念上同格羅滕迪克的“平展拓撲” (étale topology) 相似，後者起源於1850年代末，目的是對有限特徵域上的代數簇定義合適的同調理論，它是利用扎里斯基拓撲中開集上覆蓋的範疇來組成平展拓撲[7]。著名數學家阿蒂亞評價諾維科夫的構造方法：“這是一個真正的神來之筆，完全是史無前例的！[8] ”

諾維科夫在證明過程中使用了具有自由阿貝爾基羣的流形，同時他也研究了其他特徵類的同倫不變性。他觀察到，若基本羣是非平凡的，則存在具有以下性質的非平凡上同調類：如果將這個類乘以龐特里亞金-希策布魯赫多項式，並在整個流形上積分，那麼得到的結果是同構不變量。並初步推測一維上同調類的乘積就具有這種性質 (諾維科夫猜想，或稱高維符號差猜想)。1967年左右，他關於一維上同調類乘積的猜測，被許多數學家完全證明。

諾維科夫因對微分拓撲學配邊理論、微分流形理論、有理龐特里亞金示性類拓撲不變性的重大貢獻，使得他於1970年被授予菲爾茲獎。

在拓撲學的發展史方面，諾維科夫也發表了許多總結性著作供後人參考，如《二十世紀的拓撲學》重點介紹了20世紀拓撲學的發展，總結了託姆、米爾諾、布勞德等拓撲學家的工作;《拓撲學Ⅰ》和《拓撲學Ⅱ》是拓撲學基本教科書，也是拓撲學的百科全書，對後續拓撲學研究者來説具有重要的學習價值。

龐特里亞金

對數學物理的貢獻

諾維科夫獲得博士學位後進行拓撲學研究時，他就開始思考：純數學工作的意義何在?純數學何時何地能夠應用?這種想法使他開始走上從數學到自然科學的研究道路，首先開始研究數學的相鄰領域——力學，然後是理論物理學[9]。1965-1970年諾維科夫通過朗道與利夫希茨 (Е. М. Ли́фшиц) 撰寫的教材，系統地學習理論物理。1971年，諾維科夫加入朗道理論物理研究所之後，開始致力於在現代數學和理論物理學的交界處做出貢獻。

初步接觸理論物理這一領域時，諾維科夫就被愛因斯坦的廣義相對論所吸引，並與學生撰寫了一系列關於宇宙標準模型各向異性擾動的論文，但後來他們發現，如果物質處於現代物理學所能理解的某種狀態，在任何具有初始數據的自然統計環境中，膨脹宇宙的可觀測各向同性並不明確地遵循愛因斯坦經典廣義相對論的定律。然而，現代天文觀測表明宇宙在非常早期的“暴脹”階段就已經變成了各向同性。這無疑降低了致力於非各向同性宇宙學模型的工作的價值，諾維科夫不相信愛因斯坦引力的量化是有必要的，因此停止了這一領域的工作[10]。

較之廣義相對論，諾維科夫在數學物理方面最重要的成就來自將代數幾何方法引入完全可積系統的研究。在與物理學家合作期間，諾維科夫瞭解到孤立子理論中的重要數學思想——逆散射問題的方法，這種方法可以用於研究KdV方程的孤立子解問題。1974年，諾維科夫在研究KdV方程的一類週期解和概週期解的方法時首次使用代數幾何方法，創立了KdV方程及其類似問題的代數幾何解法。

隨後諾維科夫與學生一直在發展孤立子理論，代數幾何的方法在其中得到了廣泛的應用：1976年研究二維固定能量薛定諤算子的逆問題；1978—1980年研究秩大於1交換算子的分類問題及代數曲線上全純束的變形問題；1982—1984年通過代數幾何方法——所謂的“代數幾何泊松括號”研究可積系統哈密頓形式的通用方法；1986—1990年研究黎曼曲面上洛朗-傅里葉基的類似物，以及玻色子弦的算子量子化。

諾維科夫同時還致力於將拓撲學應用於解決物理問題。1982年，諾維科夫對費米表面上的動力系統幾何結構和拓撲結構產生了興趣，並在討論班上進行了多年的研究。費米麪是金屬理論中出現的一個與對偶格對應的三維環面上的莫爾斯函數的水平面，這個環面被稱為“準動量空間”。在低温情況下靠近費米表面的自由電子對金屬導電性有着重要的意義，而在磁場中，電子開始沿着費米表面運動，它們在通用覆蓋上的運動軌跡看起來就像費米麪與垂直於磁場的平面的交點。如果基本羣的像覆蓋了整個晶格，那麼費米表面上的動力系統就會非常複雜。

1996年諾維科夫發表的《在普通金屬電導率的研究中觀察到拓撲量子特性》中成功利用拓撲得出結論：在一般位置的開放式軌跡的情況下，總是存在一個與強磁場B正交的方向η，在該方向上，大B的電導率接近零，並且該方向位於某個積分 (即由兩個倒格矢生成) 平面中，該平面對於B的方向的微小變化保持不變。在強磁場B中研究具有複雜費米表面的普通金屬單晶的電導率，揭示了由開放式準經典電子軌道拓撲結構決定的積分拓撲特性。此外，他還幫助過其他物理學家將拓撲學應用於楊-米爾斯場理論和凝聚態物理學。

2005年，為表彰對拓撲學和數學物理的基礎性和開創性貢獻，諾維科夫被授予沃爾夫數學獎。2005年5月，美國數學學會評價諾維科夫：“對數學的兩個獨立領域做出了根本性和引人注目的貢獻，而他是為數不多的數學家之一，他以令人驚歎和信服的方式，將深刻而關鍵的數學思想應用於物理學的關鍵難題。”

諾維科夫與莫斯科拓撲學派

進入20世紀以後，莫斯科數學學派迅速發展，在函數論、拓撲學等方面都做出了巨大的貢獻，這些成就在當今世紀有着深遠的影響。莫斯科拓撲學派是從函數論學派分離出來的，亞歷山德羅夫和烏雷松 (П. С. Урысóн) 是莫斯科拓撲學派的主要奠基人，他們早期都從事函數論研究，後轉向拓撲學。烏雷鬆開創了維數理論的研究，為發展一般拓撲學做出了傑出貢獻。然而1924年8月烏雷松在法國西部布列塔尼海岸游泳時遇到暴風，不幸去世。烏雷松去世後，作為烏雷松摯友的亞歷山德羅夫整理出版了好友的遺稿，並招賢納士共同研究拓撲學，莫斯科拓撲學派自此有了雛形。龐特里亞金也深受亞歷山德羅夫的影響，早期一直致力於拓撲學研究，在亞歷山德羅夫的引導下他19歲便發現了對偶性的一般規律，即龐特里亞金對偶定理，這被認為是20世紀拓撲學最重要的成就之一。1942年，龐特里亞金在研究格拉斯曼流形同調基的過程中，發現了一種新的示性類——龐特里亞金類。

這些研究成果使得莫斯科拓撲學在20世紀上半葉處於世界領先地位之一。1935年9月，第一屆國際拓撲學大會在莫斯科召開，莫斯科拓撲學派的活動更是達到了頂峯。然而到了1950年代左右卻一度出現了拓撲荒，當時亞歷山德羅夫熱衷於點集拓撲學，與世界拓撲學發展的代數拓撲 (組合拓撲) 主流完全脱離，龐特里亞金則從事了最優控制理論的研究，這致使蘇聯拓撲學的發展每況愈下，莫斯科拓撲學派岌岌可危。

直至1950年代末，沉寂了將近十年的拓撲學終於出現了扭轉的趨勢，莫斯科拓撲學派也迎來了轉機。在這個時期，諾維科夫、阿諾德 (В. И́. Арнóльд) 等人在拓撲學領域的研究填補了蘇聯拓撲學上的空缺。他們的研究成果推動了莫斯科拓撲學的復興，同時也使得莫斯科拓撲學派走向了一個嶄新的階段。

1965年起，諾維科夫組織了自己的討論班，並一直堅持至今，成為國際聞名的“諾維科夫討論班”。除了諾維科夫的討論班之外，在莫斯科的蓋爾範德討論班、阿諾德討論班、曼寧討論班等，培養了大批優秀的人才，在蘇聯數學發展中發揮了重要的作用。諾維科夫的討論班早期研究主題為拓撲學，包括研究形式羣以及它們在同倫理論以及光滑流形的有限和緊變換羣不動點的研究中的應用；多值形式羣理論及其在拓撲、代數、分析中的應用;來自復配邊理論的運算代數及其眾多的拓撲應用和內在代數結構等。培養了許多拓撲學領域的專家，包括V. M. 布赫什塔貝爾、A. S. 米先科、I. N. 伯恩斯坦、I. A. 沃洛丁、S. M. 斯米爾諾夫、S. M. 維什克和F. A. 博戈莫洛夫等。

1970-1971年，諾維科夫開始在朗道理論物理研究所工作之後，討論班的主題逐漸轉向現代理論物理中的數學問題。討論班參與者的研究興趣也逐漸出現了分歧，於是便組織了新的討論班，其中涉及拓撲和代數分支包括配邊、形式羣、非單連通流形問題，厄米特K-理論等問題的研究。諾維科夫討論班培養了眾多傑出的人才，他們分佈於各個領域，他們使用拓撲學、黎曼幾何、代數幾何、動力系統和奇異性理論等方法，在幾何和拓撲學以及應用數學和數學物理的各個領域從事國際水平的工作。

1985-1996年諾維科夫擔任莫斯科數學學會主席。莫斯科數學學會是莫斯科數學學派的重要科學舞台之一。學會的發展見證了蘇聯69年的風風雨雨。1991年蘇聯解體，對莫斯科數學學會乃至莫斯科整個數學界帶來了巨大沖擊，許多數學家紛紛離開，昔日數學界的輝煌不再。此時正值諾維科夫擔任學會主席，憑藉其在科學院和莫斯科大學的權威，為數學學會獲得了必要的法律地位，同時加強了學會與斯捷克洛夫研究所的聯繫。

此外，為挽救莫斯科數學學會以及整個俄羅斯數學，諾維科夫與眾多數學家包括阿諾德等共同組織創辦了莫斯科獨立大學。該大學加強了與西方俄羅斯僑民的科學合作，培養了許多精英學生，為對抗俄羅斯不可逆轉的“人才外流”做出了重要的貢獻。

[本文受國家自然科學基金數學天元基金資助項目“19—20世紀的俄羅斯數學文化史”(12326512)資助。]

參考文獻

[1]Сергей Петрович Новиков (к пятидесятилетию со дня рождения).Успехи математических наук, 1988, 43(4): 3-9.

[2]Академик Мстислав Всеволодович Келдыш (некролог). Успехи математических наук, 1978, 33(5): 3–5.

[3]Сергей Петрович Новиков (к шестидесятилетию со дня рождения). Успехи математических наук, 1999, 54(1): 5-10.

[4]Новиков С П. О когомологиях алгебры Стинрода. Доклады Академии наук СССР, 1959, 128(5): 893-895.

[5]Новиков С П. О некоторых задачах топологии многообразий, связанных с теорией пространств Тома. Доклады Академии наук СССР, 1960, 132(5): 1031-1034.

[6]Novikov S P. 二十世紀的拓撲學(Ⅰ). 錢妙雲, 譯.數學譯林, 2007, 26(2): 103-114.

[7]Novikov S P. 二十世紀的拓撲學(Ⅱ). 李振宇, 譯.數學譯林, 2007, 26(3): 193-202.

[8]Atiyah M F. On the work of Serge Novikov. Fields Medallists’ Lectures, 1997, 5: 195-197.

[9]Новиков С П. 二十一世紀前夕的數學(Ⅱ)——二十世紀下半葉的總結:俄羅斯與西方物理-數學界的危機. 袁鈞，譯.數學譯林, 2005, 24(3): 265-272.

[10]Buchstaber M. Interview with Sergy P. Novikov. European Mathematical Society Newsletter, 2001, 42: 17-20.

本文經授權轉載自微信公眾號“科學雜誌1915”。

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