我如何成為一位數學家？_風聞

波蘭裔美國數學家 Mark Kac 是 20 世紀傑出數學家，現代概率論發展的先驅，特別是推動了概率論在統計物理學中的應用。他最廣為人知的故事是提出問題“可以聽出鼓的形狀嗎？”由此引發了相關譜理論的研究。Mark Kac 最大的特點是能將複雜概念以簡單直觀的方式呈現，寫作風格清晰簡潔，因此備受同行讚譽。本文摘自他的自傳《機運之謎》（Enigmas of Chance: An Autobiography），記錄了一個少年如何與數學結緣的故事。

撰文 | Mark Kac

翻譯 | 蔡聰明

Mark Kac（1914.8.3—1984.10.26）

這是 1930 年夏天，在波蘭所發生的事情。那年我 16 歲。高中的最後一年在 9 月就要開學，我必須思考未來的前途作生涯規劃。因為數學與物理都是我拿手的，所以選擇讀工程似乎是實際與合理的事情。“一個家庭一個哲學家就已足夠”，這是我母親表述問題與建議解答的方式。“一個家庭一個哲學家”是指我的父親，他在德國的萊比錫大學讀哲學並且得到博士學位，其後又在莫斯科大學得到歷史與語言學結合的博士學位。儘管有這些優秀的學歷，但是由於社會普遍反猶，讓他無法找到任何教職，除了在一個學校當了兩年短暫的校長之外。我父親參與我外祖父經營的紡織事業，多年後也宣告失敗而結束，他只好靠着微薄的家教收入維生。他可能是歷史上懂得希伯來文、拉丁文、希臘文、甚至是斯拉夫舊教文的唯一商人。因為他的一些學生是當地希臘正教學院的學生，所以他很方便就學得後者。

這樣的生活並不是我母親對她的兒子所期望的，因此讀工程似乎是正確的方向。然而，在 1930 年的夏天，選擇大學的科系在我心目中並不是最重要的事情。因為一個經常折磨數學家與科學家間歇性發作的“疾病”，突然發生在我的身上，那就是：對一個問題着迷。發病的症狀都類似，而且很容易辨認，特別是患者的妻子更是心有慼慼焉，因為患者表現出的反社會行為持續增強。最常見的是：茶飯不思，也不睡覺。我的症狀特別顯著，因此家人開始為我擔心。

事實上，我的問題並沒有什麼了不起，甚至也不會產生重大的後續發展，這就是三次方程式的求解問題。答案早在 1545 年就由意大利的數學家卡丹 (Cardano，1501-1576) 所發表。我所不知道的只是，他是如何想到與推導出來的。

波蘭教育專家們為中學所設計的數學課程，在解完二次方程式之後就停止了。對於三次或更高次方程式好奇的學生，他們會回答説：“這對你們太高深了”，或者説：“不要急，當你以後讀到高等數學時，就會學到。”因此這個問題就如同一個禁地。但是我不理會它，決心要自己弄明白三次方程式的求解問題。

我拿起一本暑期數學讀物，打開三次方程式這一節，讀到第一行我就被打敗了。開頭這樣寫着: “令 x=u+v. ”因為我知道答案是兩個立方根之和，所以令 x=u+v，顯然是預期這樣的解答形式，但是整體説來，我覺得這對學習者是不公平的。

在這個節骨眼上，我很接近於數學教學的一個奇妙的分水嶺：一邊是如何想出證明或推理的策略，這大部分是超越邏輯的範疇；另一邊是證明或推理的技巧，這是純演繹的工作，因此具有邏輯與形式的特性。換言之，這是在求知過程中，動機與實踐的區別。不幸地，絕大部分的數學書都只呈現後者，而忽略前者。

在不瞭解背後動機之下，我無法接受只是形式的推演。直接令 x=u+v，而不説明為什麼要這樣做，這對我是一種冒犯。我問父親，但是他太專注於他那瀕臨衰敗的事業，以至於對我沒有什麼幫助。因此我立定決心，要自己找尋一個滿意且不同的推導方法。我父親則抱持懷疑的態度，這從他願意出高價就看得出來。只要我做成功，他就給我 5 元波蘭幣的獎金（這在當時是一個不小的數目）。

我這一生中，有好多次因沉迷於問題而發狂的紀錄，有些問題在數學與科學上還產生過一些影響，但是在 1930 年後，我從未像這次那麼努力與狂熱的工作。我很早就起牀，幾乎沒有時間吃早餐，我整天都在做計算，在一大堆白紙上寫滿公式，直到深夜累壞倒在牀上。跟我講話是沒有用的，因為我只會回應無意義的單音節，“嗯”、“啊？”。我停止與朋友會面，甚至放棄跟女朋友約會。由於缺少策略，我的工作漫無方向，經常重複走着沒有結果的老路，蹣跚於死衚衕中。

直到有一天早晨，答案突然出現在眼前，卡丹公式就在眼前的紙頁上放光！我花一整天或更多的時間，從堆積如山的紙堆中拾取論證的線索。最後終於把整個推導過程精煉成三到四頁。我父親把我辛勞的成果瀏覽一遍後，就付給我獎金。

不久學校開學了，我把整理好的文章交給數學老師。他是一個親切的人，喜愛伏特加酒，他在聖彼得堡大學受過良好的教育，但是當我認識他時，他已很少記得他所學的，並且也不在乎。不過，他還是很小心地研讀我的文章，並且代我投稿到華沙的《少年數學家》這本雜誌。到此似乎就結束了，因為雜誌社一直沒有通知我文章已收到，又經過了幾個月也沒有從遙遠的華沙傳來任何訊息。

然後，在 1931 年 5 月初，距離期末考只有幾個禮拜的時間，好消息突然降臨。在上午的時段，宗教靈脩的課程正要開始。因為只有信奉羅馬天主教的同學要接受教導，對於我們少數幾個非天主教徒的學生，這段是自由時間。現在上課鐘聲響了，朦朧微暗的走廊幾乎沒有學生。我遲了一些離開教室，在匆忙之中差一點就撞上正要進入教室的牧師。就在這時，我看見校長朝我走來。我猜這必是衝着我而來，因為宗教課從未有外行的專家會來造訪，而且我的周遭沒有人，走廊也只是通到教室的死巷。

根據我的經驗，會見校長大概不會是什麼好事，於是我開始回想，到底我有沒有做錯什麼事情，才讓校長走出辦公室來找我（有別於通常的召人進入校長室)，我擔心可能要被處罰。事實上，從他神秘的表情看來，他將要獎賞我！甚至在他開口之前，還特別調整一下自己以示莊重，這是一個學生在快要畢業的前夕所無法想象的事。他的第一句話就讓事情明朗。他説：“教育部的參事 Rusiecki 閣下，正在本校訪問，下午兩點半在他的辦公室要接見你。”這時果戈裏《巡按將軍》的景象立刻在我腦海浮現，不過 Rusiecki 是“真實的”人物，這讓我有幾秒鐘的時間一直回味着“參事閣下”這句話。原來 Rusiecki 是《少年數學家》雜誌的主編。

在兩點半整，我以週末最佳的整裝打理好自己去會見 Rusiecki 先生。他個子高大，有點瘦，蓄小鬍子，戴着金邊眼鏡。他對我講話時，宛如我們的地位是平等的。

“我們已經收到你的論文，會拖這麼久是有理由的。在編輯會議的討論中， 起先我們相信你的方法是已經知道的，因為在文獻上有許多不同的方法可以推導出卡丹公式，也許你只是重新發現其中之一而已。然而，經過我們搜尋文獻的結果，最後確信你的方法是新的，因此我們準備要刊登你的論文。”

他們實現了承諾。在我畢業幾個月後，論文註銷來了，我用 Katz 的名字發表，因為我覺得德文的拼字 Katz，比斯拉夫文的 Kac 還要優雅。

在我會見 Rusiecki 先生要結束前，他問我將來有什麼計劃。我告訴他説，家人要我讀工程。他説：“不，你應該讀數學，顯然你對數學有天分。”我聽從他的勸告，走上數學之路，這救了我的性命。我的數學足夠好，也足夠幸運，我在 1938 年申請到博士後出國深造的研究獎學金。這是由波蘭富有的猶太家庭 Parnas 所捐贈，規定要有一個名額給猶太籍申請者，為期兩年期的獎學金。我在 1938 年 12 月抵達約翰・霍普金斯大學，二次世界大戰讓我滯留在美國，有家歸不得。如果我當初去讀工程，無疑地，我必然留在波蘭，跟我的家人和六百萬猶太同胞一樣，走上被希特勒屠殺的相同命運。

最後附言：在幾年前我有一位朋友，也是美國年輕的數學之星 Gian-Carlo Rota 在洛克斐勒大學演講，題目是 “Umbral Calculus”， 探討用新方法來處理不變式理論。在演講中， Rota 順便討論 Sylvester 定理，這是關於二元齊次式的一個美妙結果。他説：“我現在展示給你們看，如何用 Sylvester 定理來求解三次方程式。”我只聽他講幾句話，立刻就感覺到電流傳佈全身。因為我認識到，那就是在 1930 年夏天我所發現的方法。

編者注

1：Kac的文章發表於1931年，原文是波蘭文，後來有人翻譯成英文，見https://old.maa.org/press/periodicals/convergence/mark-kac-s-first-publication-a-translation-of-o-nowym-sposobie-rozwi-zywania-r-wna-stopnia-trzeciego-6

2：Rota的證明，可見下文69頁5.4節：

J.P.S. Kung and G.-C. Rota, The theory of binary forms, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 10 (1984), 27-85.

Kac的自傳，1985年出版

本文轉載自微信公眾號“數學縱貫線”。原文摘自Mark Kac的自傳《機運之謎》（蔡聰明譯）第一章。

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