只有一個數學_風聞

本文是傑出的匈牙利數學家Lâszlô Lovâsz於1998年所作，他深入探討了數學世界中看似難以彌合的分裂：純粹與應用、抽象與具體、連續與離散。隨着研究羣體的壯大和計算機、生命科學等新領域的興起，數學的疆界不斷擴展，也帶來溝通與合作的挑戰。Lovász 認為，數學的真正力量來自其統一性，而非割裂。他主張不僅要重視定理與證明，還應認可綜合報告、解釋説性文章等研究形式；同時強調跨領域的交流與工具的互補，呼籲數學家積極跨越藩籬，以交流、闡釋和合作維繫“一個數學”的整體力量。

撰文 | Lâszlô Lovâsz

翻譯 | 胥鳴偉

審校 | 李文林

拉茲洛·洛瓦茲（László Lovász），1948年3月9日出生於匈牙利布達佩斯，歐洲科學與藝術學院院士，歐洲科學院院士，德國科學院院士，俄羅斯科學院院士，瑞典皇家科學院院士，美國國家科學院院士，羅蘭大學名譽教授。阿貝爾獎、沃爾夫獎、哥德爾獎得主。

數學被許多分界線所割裂。有劃開純數學與應用數學的最突出的那一條，也有“抽象”與“具體”的對抗，這正是圍繞 Bourbaki 學派的論戰焦點。而結構性數學（其主要成果是定理及證明）與算法性數學（其成果是算法及其分析）的區分則可追溯到古代；另外，在連續數學與離散數學間也有一個深刻的分界（至少表面上看來如此）。

它們中的某些劃分是由於工作環境的不同而出現的：例如，應用數學家是在與純數學家迥然不同的財政條件及成敗判定準則下工作的。還有其他一些劃分則是文化的：各個不同的數學分支有它們自己的會議、刊物、獎勵系統；還有一系列在談請交流中出現的不同的數學概念、基礎或許還有價值標準。當然，這種抽象的評價會因個性和個人的品味不同而有極大的差異。難道我們應該把“我是一個地道的、純粹的、抽象的、算法的、離散的數學家”這種劃分當作一個不可更改的事實來接受嗎？一些人説，這種劃分相當不錯，人們應該接受把數學分成越來越細的相互獨立分支這個無可爭辯的事實。我覺得，如果接受這點就真正會導致悲劇性的後果，我還覺得我們學科深刻的統一性賦予了它力量和活力。我要力圖證實，我們學科中當今的趨向使得這些分界線比它們看起來要更加複雜；我們必須盡力彌合這些裂隙；而同樣這些新趨勢將賦與我們彌合的方法。

三個新趨勢改變着數學世界

學術界的規模。在過去50年裏數學出版物的數量（與其他學科一樣）以指數般速度增長，這已是老生常談了。數學已經不再是過去小而嚴密的會社，它長大了。隨着其規模的增長，這個行業變得更加多種多樣，更加組織有序，更加複雜。

數學家是些保守的人；我不是説我們是右派（就我所見，我們所含蓋的政治派別與其他行業的一樣），但是我們不要求改變：除了力圖去證明 P≠NP（或者 Riemann 假設，或是任何使我們當前着迷的問題）外我們不願在其他事情上花功夫。於是，我們假裝認定數學研究仍是原來的樣子。我們相信，通過瀏覽圖書館桌上的新期刊就能獲得所有相關的信息，而且如果我們在一份成熟的刊物上發表了文章，則相信它會到達那些要利用我們的結果進行研究的人們手中。

較大的結構絕不正好是較小結構按比例的翻版。較大較複雜動物的軀體的相當大部分被用作“上層結構”，輸送原料、協調各部分的功能。在較大較複雜的社會中，其資源不斷增長的較大部分則被用作非生產性活動，如像運輸和信息處理。我們必須認識並接受這樣的事實，即我們的數學活動的越來越大的部分應該也將要被用作交流。這容易看出：業務訪問、會議、研討班以及研究機構數目快速增長，電子郵件的使用越來越頻繁。由多位作者合寫文章的百分比也猛增。或許我們很快要達到這樣的地步，在那裏個人的相互接觸再也不能提供充足的信息流。

規模上增長的另一個後果是：不可避免地形成了更小的會社（或稱之為子文化）。它們似乎是在一種隨意的基礎上產生的但卻在相當長的時間內持續和決定了研究方向。這樣一些子文化有離散數學、計算理論、運籌學。

除去文化上的理由外，我一點也不明白為什麼計算複雜性理論應該被離散算法設計者所接受，而大多數數值算法設計者卻對它抱着濃重的懷疑態度。

應用的新領域。數學的傳統應用領域是物理學：它涉及到最深厚的數學與最偉大的成功的故事。在這些應用中所用到的數學是分析，這是數學的真正艱難的核心。但是在本世紀後半葉的科學繁榮期中，許多其他的學科都到了需要嚴肅的數學工具的地步。傳統的分析工具常常不能勝任。例如，生物學試圖要了解遺傳密碼：一個巨大的任務，它是瞭解生命而最終了解我們自己的鑰匙。遺傳密碼是離散的：像尋找相配的模型或描述翻轉子串的後果這一類的簡單基本問題，聽起來更感熟悉的是圖論學家而不是微分方程的研究者。關於密碼的信息容量，剩餘量或者穩定性這類問題在一個經典的數學家聽起來是過於含糊了，但對於一個理論的計算機學者而言他至少立刻會明白有某些手段可以確定它（即使目前可能還難以找出答案）。甚至於物理學也會碰到不平常的離散結構：基本粒子、夸克這一類的東西是極具組合性的；而理解統計力學的基本模型需要圖論和概率論。經濟學是數學的一個大用户而其所需的許多東西並非來自傳統應用數學的工具箱。經濟學中的線性規劃及運籌學的成功運用依賴於凸性和無限可除性；把不可除性考慮進去（例如，邏輯決策或邏輯個體）則就要用到整數規劃或其他的組合優化模型，而處理它們要困難得多。最後，有一個全新的應用數學領域：計算機科學。電子計算方法的發展提出了一大批表達明確的、困難且重要的數學問題，這些間題發生在算法、數據庫、形式語言、編碼、計算機安全及大規模集成板設計等許多方面的研究中。其中大部分都與離散數學、形式邏輯及概率論有關。在最近的將來那一門數學分支富於應用這完全是不可預測的事。就在25年前，在數論中像3×10^200與4×10^200之間有多少個素數這一類問題似乎是那種最純粹的、最經典的、完全沒有應用可言的數學；現在與其相關的問題都屬於數學編碼與計算機安全的核心。應用的多樣性似乎是另一種離心力，但是我想，相反地它應該強化了跨越所有分界線的信息流。

沒有一個領域能夠退回到它的象牙塔裏而對應用關上大門；也沒有一個領域可以宣稱自己是應用數學。

新工具：計算機。當然，計算機不僅僅是有趣和新穎的數學問題的來源，而且它們也提供了從事和組織研究的工具。不同的數學家與計算機之間的關係有着很大的差異。一些人完全避免用計算機。另有一些人則泡在計算機上。我像大多數人一樣，用它來發電子郵件，來作文字處理，我還用它們來做實驗，來從網上獲取信息；通常是通過瀏覽電子雜誌，或者更有意思地是進入別的數學家的私人網頁。

計算機的這些用法是否只不過是個玩具，或者最多是為了圖個方便？我以為不是，這些用法的每一種都要對我們的學科產生深刻的影響。

電子雜誌和數據庫、私人網頁及電子郵件提供了發佈結果和想法的新途徑。從某種意義上説，它們在擴大研究規模方面有強化作用：不僅僅參加研究的人員不斷增加，而且在我們的指尖下可供使用的信息也不斷增加（常常有不斷增加的花哨無用和具有政擊性的東西：電子郵件的規範還遠沒有確立）。但是我可以把它們用作對付信息爆炸的手段。初看起來，文字處理只是看作書寫的一種方便方式，數學研究的最終成品依然是印刷的論文，在一種期刊上發表出來或者是越來越多地在他們辦公室裏打印世來，供他人閲讀。但是，逐步地，一些電子刊物出現了。它們較之通常的印刷品來的優越：極便聯結、有色畫面和圖解，生動活潑等等。閲讀一篇數學文章幾乎從來不是嚴格按順序的：跳回前面去重新看一個定義，又跳到後面去看一個引理是怎樣用到的，第一遍閲讀時略去證明，反覆回到前面來驗證在某個例子中的一些論斷--這更使人媳慮了瀏覽互聯網而不是讀一部小説。既然並不按順序閲讀一份文件，那麼為什麼還要按順序去寫呢？

這裏我不想討論電子出版物的這些特點所提供的機會（陷阱）；然而極有可能它們會改變我們寫論文的方式，而通過這點也可能改變我們搞研究的方式。

數學活動的新形式

具有2500年傳統的數學研究模式是：定義概念，敍述定理然後證明它們。或許很少意識到，算法設計也幾乎是同樣古老（想一下歐幾里得輾轉相除法及牛頓法）。這兩種數學研究方法儘管不同卻有很強的內在聯繫。另一個顯見的事實是，計算機在實質上增強了算法設計的可視性並使其受到更大的重視。

然而，研究範圍擴大的結果必定在現有的研究模式中添加上科學成就的新形式。它們包括寫出優秀的解説文章和綜合報告，列出問題和猜想，彙編例子，實驗和通報成果。我要對前兩個加以評論。

綜合報告。數學研究範圍的極度狹窄是對數學統一性最嚴重的威脅。沒有人能讀懂新研究論文中哪怕很小的一段。解決這個問題的方法之一是創建一個對研究成果進行二次處理的活動。雖然我更願意把它看作為一種數學研究的形式而不是一個書寫形式，但是由於沒有恰當的詞彙，我姑且稱它為解説性書寫：找出某成果在別的領域中的派生影響，進行解釋，或許還要對來自不同子文化的人們作點翻譯。數學界已經產生了這種活動：對於解説性文章、綜合報告、簡易課程、手冊及百科全書等都提出了越來越多的需求。許多會議主要或全部用來作綜合型的討論，而出版商也是非常願意出綜合文章的而不是研究論文的集子。

我們每四年組織一次國際會議（以及許多類似的地區性會議）。當一些數學家覺得數學家大會沒有什麼價值（如果你把它視作一個大型的研究性會議也的確如此）時，其他一些領域的人都為此而嫉妒我們。如果把這個大會用來維護我們領域的統一性，當作作綜合報告，解釋最重要的新成果、新領域及應用的新方法的講壇，它則是一筆巨大的財富。我們還不情願承認解説性的、綜合性的寫作是一種科學成果。人們往往對於某人寫了關於其他某人新成果的一篇解説性文章持保留態度（相反，我個人以為這類活動應得到鼓勵）。如果正如所建議的那樣把解説性書寫當作受到高度重視的研究活動，那麼人們必須要找到評價它的方法。寫綜合報告應該怎樣適應我們已經達到的狀態呢，這包括了職位、升遷以及資助？我們幾乎不知道一篇好的數學綜合報告的評判標準，雖然我們同樣也沒有判斷一個定理是否好的正式標準，但不管怎樣，仍然有一些合理而準確的必要條件（一個定理應當是新的，非平凡的，還應該是正確的），數學界還趨向於同意另外一些評判標準，它們是些更加難於規定的東西，譬如有趣味和有意義這類概念。我來推薦一個帶根本性的想法：讓我們按照人類評價他們自身成就的方式來評價這些綜合報告吧。我們往往把這些領域輕視為“軟的”（相較於我們自己的“硬而精確的”領域），我們相信其成功只是種僥倖，往壞裏説，是善於自我拾高而己。這種感覺顯然與事實相距十萬八千里，而人類總是以他們自身的方式去認識智力成就中的優秀成品的。學會怎樣不帶主觀的標準去做評價，只有這樣我們才能真正有所收穫。

將豐富的人類思想寶庫中更多的方法用於追尋知識之中，只會有利於我們的學科。

問題與猜想。在一個小圈子裏，每個人都知道什麼是主要問題，但在一個十萬人的圈子裏，必須對問題以精確的方式去鑑別和陳述。陳述得糟糕的問題引起人們厭煩和導致不相干的後果。這就把猜想的準確闡述提升到研究成果之中了。在已故的 Paul Erdős 手中，提出猜想成了一種藝術，他所提出的猜想恐怕比他之前的所有數學家所提出來的總和還要多。他把他的猜想看作為與他的定理一樣的是他的數學著作的一部分。我最為珍貴的回憶之一是他的一段評述：“我從不嫉妒任何人的一個定理；但為此猜想我卻嫉妒你。”當然，正如對於綜合報告一樣對於猜想我們也陷入了同樣的困境：難於規定什麼叫一個好的猜想。圍繞着 Erdős 猜想的風格也的確有許多爭論。容易取得一致的觀點是，一個好的猜想應當可期望其結果在實質上超前於我們現有的知識。當我們在構建數學時可清晰看到猜想所處的地位以及它可能的解答，這正是許多數學家所感覺到的那種好猜想；但是，確有一些猜想是那樣地出人意料，以現有方法它是那樣地完全不能接受而它們的解答必定會帶來一些新東西——只是我們還不知道它們在哪裏。

離散與連續

在這些分界線中最具本質性的是分割離散與連續的那條，這是由於它涉及到了我們學科的基本結構和方法。在此最後一節文字中，我不得不涉及較多一點技術性的內容，同時還要舉出一些例子以證明：如果讓這種裂縫繼續擴大，我們將蒙受多大的損失。而如果能彌合它，則我們又將獲得多少益處。

從無限到有限。或許沒有必要去論證什麼離散數學與連續數學互為補充，什麼它們彼此利用對方的方法和工具這一類的話。但除此之外，我們還用有限去逼近無限。把複雜的連續結構離散化一直是一種基本方法—比如從以同調論中剖分流形來給出 Riemann 積分的定義到在網格上對偏微分方程做數值解。儘管如此，我感覺在連續性數學中應用離散數學的狀況仍令人不滿。或許組合方法還未達到分析或代數所具有的那種深度與力度，或許部分地出於文化方面的原因：離散數學家學過 Galois 理論或 Borsuk-Ulam 定理的可能性要比“經典”數學家學過 Ransey 或 Max-Flow-Min-Cut 定理的可能性更大。

從有限到無限。無限常常（或者總是？）是一個較大有限的近似，這是個比較難於捉摸的想法。連續結構比它相對應的離散方面常常更乾淨、更系統、更內涵豐富（例如，一個平面網格較之於歐氏平面只具有很小的對稱度）。把離散結構“嵌入”到連續世界中去研究應用到組合方面。把這個最重要的組合最優化問題準確表達為一個具有整性條件的線性規劃問題是相當容易的，而且只要忽略掉整性條件給出解答也是十分容易的；策略是要找出一種方法使列出的這種忽略整性條件的線性規劃問題是合理的。

其他工具的威力。為支持我的數學統一性的主張，讓我來討論一下在算法論中新近的一個進展。從一個例子開始，即圖論中一個簡單的算法問題：給定一個（有限）圖，找出它的頂點集的一個一分為二的劃分使得連結這兩個子的邊數最多（儘管簡單這卻是個很重要的問題：參見 Deza 與 Laurent 敍述與它廣泛關聯問題的專著）。不幸，這個問題具有 NP-難度，如果你對複雜性理論的基本概念不甚熟悉，那麼粗略地講它表示沒有有效的（以多項式時間）方式來找出這種最好的劃分（至少遵循於假設P≠NP）。我們必須放寬一些要求，比如説去尋求一個近似的優化劃分。可以很容易找到一個劃分，使得至少有一半的邊連結兩個子集。這是 Erdős 六十年代在不同的背景下首先發現的。由於沒有劃分能包含所有的邊，所以這便給出了一個近似解，它至少取得了50%的優化。能夠做得更好些嗎？直到不久前這仍是個沒有解決的、純真的問題。但是最近剛剛有兩個重要結果幾乎同時得到了：Goemans 和 Willianson 給出了一個有效的近似算法，這具有13%以內的最優化；而 Hastad 在建立了一系列較弱結果的基礎上證明了沒有有效的（多項式時間的）近似算法能做到好於6%的最優化。對這一類問題而言，這是個使人驚訝的小缺口，然而從我們觀點來看，更為重要之處在於這兩個結果都依賴於那些來自完全意想不到之處的工具。上述那個否定性的結果是各種近似優化的許多下界之一，而它們都是以相似的方法證明的。其中第一個證明應用了來自交互證明系統理論中的一個結果，第一眼看來這個理論是複雜性理論中一個十分特殊的領域，但它卻非常有意思。緊隨其後的那些改進顯示出證明中所用到的最重要的數學構造是由代數方法得到的一個糾錯碼。這個算法本身依賴於前面的另外一系列結果，它們基於相距甚遠領域間的關聯。關鍵步驟是使用了半定最優化，它是線性規劃理論的推廣且很大程度上建立在對稱矩陣的譜理論之上。這也不是個孤立的結果；運用半定最優化（並結合隨機算法）在近似算法的設計上也取得了極大的成功。

概率論。這帶給我的話題似乎是要彌合數學中大部分的分界線。在組合理論、圖論及算法論中概率方法的重要程度正在猛烈增長着。除了傳統地在積分和模擬理論中運用 Monte-Carlo 方法之外，隨機算法被用於計數、精確與近似最優化、原始測試等等。Erdos 在五十年代首先在非算法圖論中引進了概率方法。它現在作為對象（圖或給定圖的着色）存在性證明的方法是很基本的也是非常強有力的。概率論已經進入那些在陳述上根本與概率無關的定理的證明中。概率論的作用絕不侷限於組合論和圖論：只要提一下素數理論中的篩法以及用統計力學對湍流所作的解釋就行了。

更深刻的統一性。比那種僅僅運用從別的分支引進工具來説明數學的統一性而言，概率論是唯一一個表現更深刻統一性的實例。許多基本問題並不只是認定它是否離散或連續一它們自可標以離散問題或連續問題。近年來我從事於樣本算法方面的工作（即這樣一種算法，它生成了一個一致分佈的隨機元）。而它屬於一個較大的並常常只以隱式描述的集合。這個問題會導出對馬爾可夫鏈的混合時間（即鏈成為實質穩定前的步數）的估計。從這個應用的角度看，自然要考慮有限馬爾可夫鏈—在計算機上的計算必須是有限的。但是分析起來，它取決於人們是願意使用有限還是願意運用一個廣義可測的狀態空間的特別選取。在這兩種模式中都具有已經發現的所有這些實質性的（也很有趣味的）關聯。事實上，一般的數學問題是擴散性的：我們對物質的熱擴散感興趣，或是對隨機遊動中的概率擴散或其他相關問題感興趣。總是有一個拉普拉斯算子來描述出這種擴散的一個步驟。擴散的速度由這個拉普拉斯算子的譜間斷所控制；但若對此間斷沒有有效的信息，則可將此擴散速度問題聯繫到狀態空間的等周不等式上去。要建立等周不等式人們經常去構造（顯示地或隱式地）多重物流。

我要舉的第二個例子更為含糊。就從這十來年在圖論中那一系列或許是最重要的成果，即從主要由 Robertson 和 Seymour 發展起來的圖子式理論（Graph Minor Theory）開始。回想一下 Kuratowski 的經典定理：一個圖可以被嵌入平面的充要條件是它不包含兩個特殊圖。包含性這個概念在這裏可以以許多不同但等價的方式來定義；讓我們來確定“包含子圖”的含意：如果從 G 中消去某些邊、節點、及將某些邊收縮於單個節點得到了圖 H，則稱 H 是 G 的一個子圖。平面圖類（正如嵌入在任何其他一個給定曲面的圖的類一樣）在取子圖時是封閉的。因此，平面圖類可以在除去子圖後再來刻劃（只要列出所有最少子圖的非平面圖即可）。Kuratowski 定理的關鍵就是證明被排除的那些子圖的集合只有兩個圖。在三十年代 Wagner 提出了一個大膽的猜想：每個在取子圖時封閉的圖類可以由有限個被排除的子圖來刻劃。Robertson-Seymour 理論的核心結果就是這個猜想的證明。然而我想要論及的是一個“輔助”結果，它在某種意義上描述了不含有一個給定圖 H 為子圖的一個較大的圖。不嚴格地説，即每個這樣的圖可由下述方式來構造：在一個具有界虧格的曲面上取一個隨意大的圖；加上一些邊以連結在同一曲面上的節點，但要有有界距離；加上有界個數的更遠的點；然後沿着樹形的節點的有界集合把這些圖粘合起來。這裏所用的“有界”是指只依賴於圖 G 而不依賴任何別的一個界。

在這裏我們可以看到出現一種圖的“整體”理論的端倪：一個巨大的圖是什麼樣子？在這種似乎無任何結構的龐然大物裏究竟能看出什麼隱藏的結構？或許存在一個更一般的理論能在大圖中識別出了3-維或 4-維結構？但是在 Robertson-Seymour 理論（現已擴大到超過了19篇論文）中的難以對付的難點警示我們，這樣一種理論恐怕不易建立。

最近我知道了 David 和 Semmes 的工作，不禁注意到它與 Robertson-Seymour 理論的某些相似之處。他們給出了一個“合理的”度量空間的分解，把它分成了大小不同的具有不同維數的片段。這個類似還有更多的內容嗎？但是一談到“整體”圖論就會想起其他一些重要結果。Szemeredi 的正規化定理説，每一個巨型圖可以“分解”為有界數目個片段，它看起來是“隨機的”（片段的個數依賴於近似隨機性的誤差；若要精確地表述要作過多的準備）。當前，這個基本引理的令人激動的應用潮流已經出現。是否 Szemeredi 引理有更廣泛的背景？Frieze 和 Kannan 最近的工作或許是一個提示，表明了 Szemerdi 引理與矩陣的低秩逼近之間的關聯。

沒有自然的方式來劃分數學，但是除非我們意識到必須作出努力去避免，否則就會發生嚴重的在交流上的斷裂：不僅僅要在組織上作出努力而且要用研究時間去致力於解説性寫作，閲讀那些解説性文章，致力於普及數學並從各種應用領域吸取數學問題。

致謝。感謝Tom Zaslavsky 仔細閲讀了此文並提出了許多改進建議。

註釋

注1）原題: One Mathematics, There is no natural way to divide mathematics, 譯自：Berlin Intelligencer, ICM'98

注2）作者系耶魯大學計算機科學教授

本文經授權轉載自微信公眾號“數學大院”，載於《中國數學會通訊》（1998年）。

注：本文封面圖片來自版權圖庫，轉載使用可能引發版權糾紛。

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