高級思維：數學翻譯害死人_風聞

先説一個數學中翻譯有問題的：有理數和無理數。不覺得很奇怪嗎，數字哪來的什麼有理和無理的？數字還分有道理和無道理？

有理數在英語裏叫rational，無理數叫irrational。rational確實是有理性的意思，但是在數學裏實際上是用的ratio這個詞根，意思是比例。所以有理數的真正意思是比例數，無理數的意思是不成比例的數。當一個數可以用整數的比例形式表示出來，它就是有理數，不能表示就是無理數。

這種翻譯錯誤導致的後果是，很多中國人，哪怕讀了大學，如果有一段時間不接觸，就不記得有理數和無理數表示什麼了。

再説方程一詞，英文中它是equation，就是等式的意思。化學方程式就是化學等式，即表示反應前後，物質相等的關係。物理方程就是運動前和運動後的物理量相等關係，例如動量守恆，機械能守恆。從漢語里根本看不出來“方程”表示什麼，結果就是很多中國人學了方程，缺乏“等式”這個上位概念。

下面是加州一套七年級數學教材，他們教所有的方程應用題，第一步都是要求把等式寫出來，整個步驟都是在“相等”的情形下進行加減乘除，而不是我們教的移項。下面第三步是兩邊同時減去三，等式仍然相等，而不是把三移到右邊變成負三。為此中國人還發明瞭機械記憶用的移項口訣，從數學嚴謹性上講，移項也不如同時加減乘除嚴謹。

中國人教方程應用題，出發點是設未知數，通常的做法是一開始就依據題目所求設個未知數，等式關係只是順帶的步驟。中國學生雖然做題做了很多，很會解方程，由於對相等這個概念很模糊，做題特別是做物理題這種經常要列方程（等式）的題目時，往往是機械式的模仿，而非在上位“相等”概念的引導之下的對題目情境的發現和有條理以及系統性的尋找物理量之間的等式。高中物理題的核心難點之一就是物理量之間的相等關係難於尋找，而不是如何設未知數。

更奇怪的是，變量或未知數，學函數的時候告訴你自變量，因變量，到了方程裏它又變成了“元”。例如解一個二元方程，老師教的方法是先消掉一個元，從而求出另一個元，再把值代入，得到第一個元的值。如果從“元”這個字面去理解求解方程的步驟，能夠明白是什麼意思嗎？不能。只有從變量和未知數的角度理解，二元方程在英文中是equation in two unknowns。兩個未知數，無法一起求解，先想辦法去掉一個，剩下只有一個變量的等式，求出這個變量，再代入，方程才能解出來。一個學生，初中時可能會機械式的解方程步驟，但是他未必明白這種“消元”行為是在幹嘛，甚至沒注意到他是在減少與消除未知數，到了高中遇到基本不等式的題目，就卡住了。

網上的各路輔導老師，為了幫助高中生處理基本不等式，總結了各種基本不等式題型的解法，試圖讓學生去死記硬背，費時費力還不討好。其實一言蔽之，這些方法都是在消除變量或未知數，因為最大值和最小值裏不包含變量和未知數。

上面的好幾種方法其實都是在利用分子分母相乘消未知數的方法。如第二種被命名為配湊法的方法，其實質就是分母有個x-2，要讓分子也有個x-2，然後兩式相乘，x就被消掉了。還有第三種被命名為1的代換的方法，不就是分子有個2a+3b兩個變量，要用分母去乘（這裏乘了兩次），消掉a與b兩個變量。第五種被稱為同除法的方法，其實質就是ab=（a+2b）/3，要求它的最小值，分子是a+2b，要找個分母來消除它們，所以用左右同除ab，變出來a與b是分母的式子1/b+2/a，再相乘消掉a和b。哪需要把這些方法分得那麼細，教給學生？分得這麼細，學生根本記不住。

還有“微分”一詞，這個翻譯也沒把微分的最重要數學含義表達出來，微分在英文中是differential，詞根是difference，本身就有變化的意思，微分實際上就是表示變化率或者説變化的快慢，而漢語中的微分一詞，只是表達了分開與細分，而沒有變化的意思，與其真正的數學用途相距甚遠，以至於很多人學了微分，對其應用領域只會照貓畫虎，不能融貫。還有“偏微分”，一個初學者能夠從術語裏直接獲得清晰的理解嗎？我覺得應該是不大可能，但是通過英文就可以。partial differential，直譯就是“部分的變化”，直接點明瞭偏微分的真正作用。partial主要含義就是部分的意思，不知道為什麼要取它的“偏袒，偏見”的意思來翻譯。

還有“切線”一詞，它對應的英文是“正切線”（tangent line），正切線的命名恰如其份地反映了其在數學裏的最大作用———切線的斜率（正切）。翻譯的時候把“正”去掉，意義就不明確了，結果就是學生學了個不切任何圖形不明不白的“切線”，失去了有益的聯想。

人工智能領域有“正則化”一詞，從漢語能明白這在數學上有什麼作用嗎？它的英文是regularization，其原詞是regulate，意思是“調節，校準”，它的數學作用就是如此：在損失函數後面加一點東西，調節參數。

還有物理中的速度和速率兩個詞，一個是矢量一個是標量。速度在日常生活的漢語中對應的是物理學中的速率，是個標量。初學物理，中國學生很容易把速度和速率混淆。學了線速度、角速度後，每次遇到這兩詞，中國人心裏都需要稍微回憶一下到底讀書時學的是矢量還是標量，時間久了就不記得了。而英語中速率是speed，矢量的速度是velocity，學習起來一般不會混淆。英文裏線速度是linear velocity，角速度是angular velocity，矢量的含義很明確。

有人爭辯説，詞語與人對數學的理解沒有什麼影響，關鍵是數學理解，用什麼語言詞彙都可以。當年希爾伯特也是這麼想的，在他的幾何公理體系中未直接定義點、直線 、平面等基本概念，而是通過五組公理構建邏輯關係，推導出幾何定理。他指出這些基本概念是未定義的數學對象，可以用“ 桌子 、 椅子 、 啤酒杯 ”等實物替代。但要是真用“桌子、椅子、啤酒杯”等詞來表達幾何裏點、直線與平面，幾何學馬上就對絕大部分人來説是不可理解的了。你指着一個點，告訴學生這是桌子，你看看學生是不是會糊塗。

語言對於數學理解的影響是很明顯的，在《腦與數學》一書中提到：“令人吃驚的是，語言差異導致美國兒童比同齡的中國兒童落後長達1年。4歲時，中國兒童平均能數到40。而在同樣的年齡，美國兒童只能艱難地數到15。他們需要花1年的時間才能趕上來並數到40或50。美國兒童並不是始終落後於中國兒童，在數到12之前，這兩組兒童水平相當。但是，當開始學習“13”和“14”這樣的特殊數字時，美國兒童遇到了麻煩，而中國兒童受益於語言可靠的規律性，能夠很容易地繼續進步。“

“中文口語中，數字的組織方式與書面阿拉伯數字的結構完全一致。因此，在學習以10為基數的位值符號原則時，中國兒童遇到的困難遠小於美國同齡人。在被要求用一些代表單位1的立方塊和代表10的條形塊組成數字25時，中國兒童輕而易舉就選擇了2個條形塊和5個立方塊，這表明他們理解基數10。同樣年齡的美國兒童則表現不同，他們中的大多數不能利用條形塊所提供的捷徑，而是費勁地數出25個立方塊。更糟糕的是，如果還有一個代表20的條形塊，比起兩個代表10的條形塊，他們通常會選擇前一個。他們似乎僅注意到了“twenty-five”（25）的表面信息，而中國兒童已經掌握了更深層次的以10為基數的結構。基數10是亞洲地區的語言中一個非常明顯的概念，卻令西方兒童相當頭痛。”

提到誘導公式，這又是非常典型的誤譯。

‌1.國際通用術語‌：在國際數學領域，誘導公式的標準英文名稱為“reduction formula”，直譯為“化簡公式”，更貼合其數學功能——將複雜角度的三角函數簡化為基本角度。

‌‌‌2.中文翻譯來源‌：中文“誘導公式”源於俄文“Формулыприведения”（意為“換算公式”），20世紀中國教材參考蘇聯課本時誤譯為“誘導”，並沿用至今。