李永樂：掛谷猜想究竟是什麼？90後女生王虹衝擊菲爾茲獎

【整理/唐曉甫】

近日，由紐約大學科朗數學研究所副教授王虹與不列顛哥倫比亞大學約書亞·扎爾合作的一篇長達127頁的論文，在預印本平台 arXiv上震撼發佈，宣告證明了長期懸而未決的三維掛谷猜想。該猜想的內容是：一個包含每個方向上單位長度線段的集合（Kakeya集），在三維空間中必須具有Minkowski和Hausdorff維度等於三。

掛谷猜想由日本數學家掛谷宗一（Sōichi Kakeya）於1917年提出，這個問題的原型是：一位武士在上廁所時遭到敵人襲擊，矢石如雨，而他只有一根短棒，為了擋住射擊，需要將短棒旋轉一週360°（支點可以變化）。但廁所很小，應當使短棒掃過的面積儘可能小。面積可以小到多少？轉換成數學表達即為：當一根無限細的針向所有可能的方向旋轉時，可以掃過的最小面積是多少？

陶哲軒對於相關成就非常高興

但是隨着研究的深入，人們發現它還與調和分析、偏微分方程、數論等眾多數學分支有着深刻的聯繫。事實上，掛谷猜想與傅里葉變換、限制猜想（restriction conjecture）、Bochner-Riesz 猜想以及局部光滑猜想（local smoothing conjecture）之間存在着一種層級關係：掛谷猜想成立往往是這些更高級問題得以解決的前提條件。

在二維空間中，數學家已經證明了掛谷猜想成立，也就是説，任何平面貝西科維奇集合的豪斯多夫維數必然為2。但在三維乃至更高維度的情形下，這個猜想依然是一個開放問題，雖然已經有不少部分結果（例如證明三維掛谷集合的維數下界至少為某個數值），但要證明它必須達到空間的全維數（即3維空間中維數為3）仍是一個極具挑戰性的難題。

所以三維掛谷猜想的證明，標誌着數學界在幾何測度論與調和分析交叉領域取得了重大突破，相關解決方法可能催生出新的數值方法和理論工具，這些都將在波動、量子力學、散射理論及信號處理等數學和物理領域中產生重要應用前景。

很多學者認為一旦上述arXiv預印本通過審稿，憑藉這一突破，那麼王虹極有可能獲得2026年的數學最高獎——菲爾茲獎。作為全世界最著名的為青年學者設置的數學界最高獎項，菲爾茲獎每四年評選2-4名有卓越貢獻且年齡不超過40歲的數學家，而且要求得獎者須在該年元旦前未滿四十歲。可以説菲爾茲獎的評選難度甚至高於諾貝爾獎。一旦成功，這將實現中國人在菲爾茲獎上零的突破。